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Geometria per Informatica a.a. 2007 - 2008 Foglio 3

Esercizi sulla geometria lineare

1. Siano dati la retta r:

⎩ ⎨

⎧

= +

= t - -2 1 y

t

x e il punto P(1,1).

a) Determinare il punto Q proiezione ortogonale di P su r.

b) Determinare il punto R, riflessione di P rispetto ad r.

c) Determinare un punto T, distinto da P e da R, la cui proiezione ortogonale su r sia Q.

2. Siano dati i punti A(-1,2), B(0,2). Determinare la retta r rispetto a cui A è il punto riflessione di B.

3. Siano date le rette r:

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

= +

= 5 z 2

5 3 1 y

z

x , s:

⎩ ⎨

⎧

= +

−

0 3 - z 5 5x

0 1

2 x y .

a) Verificare che r ed s sono ortogonali.

b) Determinare D(q) , con q retta ortogonale ad r ed s.

4. Siano dati i punti P(1,2,-

4 1 ), A(0,0,0), B(2,3,-2). Stabilire se il piano π passante per P e

perpendicolare alla retta passante per A e B è il piano asse del segmento AB.

5. Siano dati i punti A(2,0,0), B(1,0,-1) e il piano α: x+y+z=1.

a) Determinare il piano π passante per A e B e perpendicolare ad α.

b) Sia r la retta passante per A e B. Determinare in forma cartesiana la retta s proiezione ortogonale di r su α.

6. Siano dati P(-1,0,1), r :

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

= 0 2 z

t y

t

x e π: x-y+z+2=0.

a) Determinare la proiezione ortogonale di P su r.

b) Determinare la proiezione ortogonale di P su π.

c) Determinare in forma parametrica la retta s, proiezione ortogonale di r su π.

7. Siano dati r:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

=

−

=

= t z

t y

t x

1 e P(0,0,1).

a) Determinare la retta s passante per P e parallela ad r.

b) Determinare la distanza d(r,s).

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2

8. Siano dati π: 2x-y+z=0 e r:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

= t z

t y

t x

3 2 . Determinare la retta s giacente in π, incidente e

perpendicolare ad r.

9. Siano dati i piani α: 6x-4y-2z=0, β: 9x-6y-3z+1=0.

a) Verificare che α e β sono paralleli.

b) Determinare d(α,β).

10. Siano date le rette r:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

−

=

−

= t z

t y

t x e s

_k

:

⎩ ⎨

⎧

= + + +

=

−

0 1 0

z y kx

z

x al variare di k∈R.

a) Stabilire se ci sono valori reali di k per cui le rette r ed s

_k

sono sghembe.

b) Si ponga k=0. Quante sono le comuni perpendicolari ad r e s

_k

(rette perpendicolari ed incidenti entrambe le rette)? Determinare una (o l’unica) di queste rette.

c) Si ponga k=1. Determinare una comune perpendicolare.

11. Siano dati il piano π: x-y+z-1=0 , il punto P(2,1,0) ∈π e la retta r:

⎩ ⎨

⎧

=

−

=

− 0 1

0 z

y

x .

a) Determinare la retta s passante per P e ortogonale a π.

b) Provare che r ed s sono sghembe.

c) Determinare il piano α passante per r e parallelo ad s.

d) Determinare d(r,s).

12. Siano P(2,1,0), Q(-1,0,0), r: P+<(1,0,1)>, s: Q+<(0,1,0)>.

a) Verificare che r ed s sono sghembe.

b) Determinare una retta m incidente r ed s e distinta dalla retta passante per P e Q.

c) Stabilire se esistono rette incidenti r ed s e parallele alla retta passante per P e Q.

d) Tra le rette incidenti r ed s ci sono rette h con D(h)=<(1,0,0)> ? 13. Siano dati π: x+y+z-1=0 e i punti P(1,0,0) e Q(0,1,0) appartenenti a π.

a) Determinare una retta r, non giacente su π, la cui proiezione ortogonale su π sia la retta passante per P e Q.

b) Determinare in forma cartesiana l’insieme di tutte le rette la cui proiezione ortogonale su π coincide con la retta passante per P e Q.

N.B. 12.c) , 13.b) sono esercizi di approfondimento.