Complementi di Matematica cdl in Informatica
Primo compitino (Analisi) 4 maggio 2012 Tema A
Cognome Nome Matr.
Le risposte saranno ritenute valide solo se giustificate (riportare i passaggi principali).
1) Si consideri la seguente equazione differenziale 2y0= 3(x − 1)2(y + 3)3 a) determinare le eventuali soluzioni costanti (2pt) ;
b) determinare in forma implicita la soluzione del problema di Cauchy (4pt) y(1) = −2
c) determinare in forma esplicita la soluzione del punto b) precisandone l’intervallo di definizione (4pt).
2) Si risolva il problema di Cauchy
y0= 2
x + e y + 5x (x + e) y(0) = e2
precisando l’intervallo di definizione della soluzione (6pt).
3) Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale (4pt) y00+ 10y0+ 25y = 0
4) Data la seguente funzione f : R2→ R
f (x, y) =
3 xy
(x + y)2− xy, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
a) stabilire se f `e continua in (0,0) (3pt);
b) stabilire se esiste il limite (2pt)
|(x,y)|→+∞lim f (x, y)
c) dare la definizione e quindi calcolare ∂f
∂x(0, 0) (2pt);
d) calcolare ∂f
∂x in (x, y) 6= (0, 0) (3pt).
Complementi di Matematica cdl in Informatica
Primo compitino (Analisi) 4 maggio 2012 Tema B
Cognome Nome Matr.
Le risposte saranno ritenute valide solo se giustificate (riportare i passaggi principali).
1) Si consideri la seguente equazione differenziale 2y0= 3(x + 1)2(y − 3)3 a) determinare le eventuali soluzioni costanti (2pt) ;
b) determinare in forma implicita la soluzione del problema di Cauchy (4pt) y(−1) = 4
c) determinare in forma esplicita la soluzione del punto b) precisandone l’intervallo di definizione (4pt).
2) Si risolva il problema di Cauchy
y0 = 4
2x + e y + 3x (2x + e) y(0) = e2
precisando l’intervallo di definizione della soluzione (6pt).
3) Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale (4pt) 4y00+ 12y0+ 9y = 0
4) Data la seguente funzione f : R2→ R
f (x, y) =
xy
xy − (x + y)2, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
a) stabilire se f `e continua in (0,0) (3pt);
b) stabilire se esiste il limite (2pt) lim
|(x,y)|→+∞f (x, y) c) dare la definizione e quindi calcolare ∂f
∂x(0, 0) (2pt);
d) calcolare ∂f
∂x in (x, y) 6= (0, 0) (3pt).
Complementi di Matematica cdl in Informatica
Primo compitino (Analisi) 4 maggio 2012 Tema C
Cognome Nome Matr.
Le risposte saranno ritenute valide solo se giustificate (riportare i passaggi principali).
1) Si consideri la seguente equazione differenziale 2y0= 3(x − 2)2(y + 5)3 a) determinare le eventuali soluzioni costanti (2pt) ;
b) determinare in forma implicita la soluzione del problema di Cauchy (4pt);
y(2) = −4
c) determinare in forma esplicita la soluzione del punto b) precisandone l’intervallo di definizione (4pt).
2) Si risolva il problema di Cauchy
y0 = 6
3x + e y + 2x (3x + e) y(0) = e2
precisando l’intervallo di definizione della soluzione (6pt).
3) Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale (4pt) 9y00− 12y0+ 4y = 0
4) Data la seguente funzione f : R2→ R
f (x, y) =
5 xy
xy + (x − y)2, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
a) stabilire se f `e continua in (0,0) (3pt);
b) stabilire se esiste il limite (2pt) lim
|(x,y)|→+∞f (x, y) c) dare la definizione e quindi calcolare ∂f
∂x(0, 0) (2pt);
d) calcolare ∂f
∂x in (x, y) 6= (0, 0) (3pt).
Complementi di Matematica cdl in Informatica
Primo compitino (Analisi) 4 maggio 2012 Tema D
Cognome Nome Matr.
Le risposte saranno ritenute valide solo se giustificate (riportare i passaggi principali).
1) Si consideri la seguente equazione differenziale 2y0= 3(x + 2)2(y − 5)3 a) determinare le eventuali soluzioni costanti (2pt) ;
b) determinare in forma implicita la soluzione del problema di Cauchy (4pt) y(−2) = 6
c) determinare in forma esplicita la soluzione del punto b) precisandone l’intervallo di definizione (4pt).
2) Si risolva il problema di Cauchy
y0= 8
4x + e y + x (4x + e) y(0) = e2
precisando l’intervallo di definizione della soluzione (6pt).
3) Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale (4pt) 25y00− 10y0+ y = 0
4) Data la seguente funzione f : R2→ R
f (x, y) =
2 xy
(x − y)2+ xy, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
a) stabilire se f `e continua in (0,0) (3pt);
b) stabilire se esiste il limite (2pt) lim
|(x,y)|→+∞f (x, y) c) dare la definizione e quindi calcolare ∂f
∂x(0, 0) (2pt);
d) calcolare ∂f
∂x in (x, y) 6= (0, 0) (3pt).
