(1) Determinare l’ insieme di definizione A, l’ insieme B dove esistono le derivate parziali e le derivate parziali f

(1)

Analisi matematica 2 per Chimica (6 CFU) 2021-22 Docente Lucio Damascelli

Universit` a di Tor Vergata

Alcuni esempi svolti a lezione, esercizi simili e di esame

CALCOLO DI DERIVATE PARZIALI

(1) Determinare l’ insieme di definizione A, l’ insieme B dove esistono le derivate parziali e le derivate parziali f

x

(x, y), f

y

(x, y), (, f

_z

(x, y, z) ) delle seguenti funzioni.

a) f (x, y) = x

³

+ y

²

− xy b) f (x, y) = sin(x) cos(y) c) f (x, y, z) = sin(xy) cos(z) d) f (x, y) =

_1−x^y

e) f (x, y) = e

^x³^y²

f) f (x, y) =

^x_y²3

g) f (x, y) = x

²

y sin(xy) h) f (x, y) = px

²

+ y

²

i) f (x, y) = log (y − x

²

) j) f (x, y) = p4 − x

²

− y

²

k) f (x, y) = arccos(x

²

+ y

²

− 2) l) f (x, y) = arctan(p1 + x

²

y

⁴

) m) f (x, y) = x

^y

n) f (x, y, z) = z

^xy

o) f (x, y, z) = (xy)

^z

p) f (x, y) = (xy)

^(xy)

[ a) A = B = R

²

, f

_x

(x, y) = 3x

²

− y , f

_y

(x, y) = 2y − x b) A = B = R

²

, f

_x

(x, y) = cos(x) cos(y) , f

_y

(x, y) =

− sin(x) sin(y)

c) A = B = R

²

, f

_x

(x, y) = y cos(xy) cos(z) , f

_y

(x, y) = x cos(xy) cos(z) , f

_z

(x, y) = − sin(xy) sin(z)

d) A = B = [x 6= 1] ( abbreviazione che useremo anche in seguito invece della notazione completa {(x, y) ∈ R

²

: x 6= 1} ), f

_x

(x, y) =

_(1−x)^y 2

, f

_y

(x, y) =

_1−x¹

1

(2)

e) A = B = R

²

, f

_x

(x, y) = 3x

²

y

²

e

^x³^y²

, f

_y

(x, y) = 2x

³

ye

^x³^y²

f) A = B = [y 6= 0] ( abbreviazione che useremo anche in seguito invece della notazione completa {(x, y) ∈ R

²

: y 6= 0} ), f

_x

(x, y) =

^2x_y3

, f

_y

(x, y) =

^−3x_y4²

g) A = B = R

²

, f

_x

(x, y) = 2xy sin(xy) + x

²

y

²

cos(xy) , f

y

(x, y) = x

²

sin(xy) + x

³

y cos(xy)

h) A = R

²

, B = [x

²

+ y

²

6= 0] = R

²

\ {(0, 0)}, f

_x

(x, y) =

√

x

x²+y²

, f

_y

(x, y) = √

^y

x²+y²

i) A = B = [y > x

²

], f

x

(x, y) =

_y−x^−2x2

, f

y

(x, y) =

_y−x¹ 2

j) A = [x

²

+ y

²

≤ 4] = B

₂

((0, 0)), B = [x

²

+ y

²

< 4] = B

₂

((0, 0)), f

_x

(x, y) = √

^−x

4−x²−y²

, f

_y

(x, y) = √

^−y

4−x²−y²

k) A = [1 ≤ x

²

+ y

²

≤ 3] = B

^√_3((0,0))

\ B

1

((0, 0)), B = [1 <

x

²

+ y

²

< 3] = B

^√_3((0,0))

\ B

₁

((0, 0)), f

_x

(x, y) = √

^−2x

1−(4−x²−y²)²

, f

_y

(x, y) = √

^−2y

1−(4−x²−y²)²

l) A = B = R

²

, f

_x

(x, y) =

_2+x¹2y⁴ 1 2

√

1+x²y⁴

2xy

⁴

=

xy⁴ (2+x²y⁴)

√

1+x²y⁴

, f

_y

(x, y) =

_2+x¹2y⁴ 1 2

√

1+x²y⁴

4x

²

y

³

=

^2x²^y³

(2+x²y⁴)

√

1+x²y⁴

m) A = B = [x > 0], f

_x

(x, y) = yx

^y−1

, f

_y

(x, y) = x

^y

log(x)

n) A = B = [z > 0], f

_z

(x, y, z) = xyz

^xy−1

, f

_x

(x, y, z) = yz

^xy

log(z) , f

_y

(x, y, z) = xz

^xy

log(z)

o) A = B = [xy > 0] (unione di primo e terzo quadrante senza gli assi), f

_x

(x, y, z) = yz(xy)

^z−1

, f

_y

(x, y, z) = xz(xy)

^z−1

, f

_z

(x, y, z) = (xy)

^z

log(xy)

p) A = B = [xy > 0] (unione di primo e terzo quadrante

senza gli assi), f (x, y) = (xy)

^(xy)

= e

(xy) log(xy)

, f

_x

(x, y) =

(xy)

^(xy)

[y log(xy) + y] , f

_y

(x, y) = (xy)

^(xy)

[x log(xy) + x]

(3)

Sia f = f (x, y) : A → R, dove A `e un aperto di R

²

, una funzione differenziabile in (x

₀

, y

₀

) ∈ A.

Il piano tangente al grafico della funzione nel punto (x

₀

, y

₀

, z

₀

), dove z

₀

= f (x

₀

, y

₀

) (dove z

₀

si calcola a partire da x

₀

, y

₀

), ` e il piano in R

³

di equazione

z − z

₀

= f

_x

(x

₀

, y

₀

) (x − x

₀

) + f

_y

(x

₀

, y

₀

) (y − y

₀

)

(2) Data la funzione di due variabili f (x, y) = e

^x²

arctan(y

²

) calcolare il gradiente in un punto generico (x, y) ∈ R

²

e scrivere l’

equazione del piano tangente al grafico della funzione nel punto (x

0

, y

0

, z

0

), dove x

0

= 0, y

0

= 1, z

0

= f (x

0

, y

0

)

[ f

_x

(x, y) = 2xe

^x²

arctan(y

²

) , f

_y

(x, y) = e

^x² _1+y^2y4

, z

0

= f (0, 1) =

^π₄

, f

x

(0, 1) = 0 , f

y

(0, 1) = 1 Il piano tangente nel punto (0, 1,

^π₄

) ha equazione z − z

0

= f

x

(x

0

, y

0

)(x − x

₀

) + f

_y

(x

₀

, y

₀

)(y − y

₀

), cio` e z = y − 1 +

^π₄

. ]

(3) Data la funzione di due variabili f (x, y) = e

^x−y²

+p1 + x

²

+ y

⁴

calcolare il gradiente in un punto generico (x, y) ∈ R

²

e la derivata di f nella direzione v = (

^√¹

2

,

⁻¹^√

2

) nel punto (1, 1). Scrivere poi l’ equazione del piano tangente al grafico della funzione nel punto (x

₀

, y

₀

, z

₀

), dove x

₀

= 1, y

₀

= 1, z

₀

= f (x

₀

, y

₀

)

[ f

_x

(x, y) = e

^x−y²

+ √

^x

1+x²+y⁴

, f

_y

(x, y) = −2ye

^x−y²

+

2y³

√

1+x²+y⁴

In particolare il gradiente di f nel punto (1, 1) ` e il vettore (1+

^√¹

3

, −2+

^√²

3

). La funzione ` e di classe C

¹

(R

²

), quindi

`

e differenziabile, e la derivata direzionale si pu` o calcolare con la formula del gradiente

^∂f_∂v

(1, 1) = ∇f (1, 1) · v = (1 +

^√¹

3

, −2 +

√2

3

) · (

^√¹₂

,

^√⁻¹₂

) =

^√¹₂

+

^√¹₆

+ √ 2 −

√

√2

3

Il piano tangente nel punto (1, 1, 1 + √

3) ha equazione z = 1 + √

3 + (1 +

^√¹₃

)(x − 1) + (−2 +

√2

3

)(y − 1). ]

(4) Calcolare le derivate parziali della funzione f (x, y) = arctan h

p1 + x

²

y

⁴

i , x, y ∈ R, dire motivando la risposta se la funzione `e differen-

ziabile in R

²

, e scrivere l’ equazione del piano tangente al grafico della funzione nel punto (x

0

, y

0

, z

0

), dove x

0

= 0, y

0

= 0, z

0

= f (x

0

, y

0

)

[ f

_x

(x, y) =

^xy⁴

(2+x²y⁴)

√

1+x²y⁴

, f

_y

(x, y) =

^2x²^y³

(2+x²y⁴)

√

1+x²y⁴

. f

`

e differenziabile ovunque, essendo continue le sue derivate par-

ziali. Il piano tangente nel punto (0, 0,

^π₄

) ha equazione z =

^π₄

.

]

(4)

(5) Data la funzione di due variabili f (x, y) = (x y)

^{log(x y)}

, x > 0, y > 0

a) calcolare il gradiente in un punto generico (x, y) con x > 0, y > 0 b) dire se la funzione ` e differenziabile in ogni punto (x, y) con x > 0, y > 0

[ La funzione f (x, y) = (x y)

^{log(x y)}

= e

^log²^{(x y)}

` e differenziabile nei punti indicati perch´ e le sue derivate parziali sono continue:

f

_x

(x, y) =

^{2 log(xy)}_x

(x y)

^{log(x y)}

, f

_y

(x, y) =

^{2 log(xy)}_y

(x y)

^{log(x y)}

] (6) Data la funzione di due variabili: f (x, y) = arcsin(

_1+x^x²^y2²y²

) tro-

vare il dominio D e l’ immagine I della funzione, verificare che esistono le derivate parziali in ogni punto di D e calcolarle, dire se f ` e differenziabile in D motivando la risposta.

[ La funzione arcoseno ` e definita nell’ intervallo [−1, 1] e ha per immagine l’ intervallo [−

^π₂

,

^π₂

], e l’ immagine dell’ intervallo [0, 1) ` e l’ intervallo [0,

^π₂

). Al variare di x, y ∈ R

²

la frazione

x²y²

1+x²y²

` e compresa tra 0 e 1 e descrive tutto l’ intervallo [0, 1) ( dato t ∈ [0, +∞), scegliendo x = y = √

⁴

t vengono assunti tutti i valori della funzione

_t+1^t

per t ≥ 0 ... ) Quindi D = R

²

, I = [0,

^π₂

). La funzione ` e differenziabile in D perch´ e sono (definite essendo

_1+x^x²^y2²y²

< 1 e ) continue in D le derivate parziali f

x

(x, y) =

^2xy²

(1+x²y²)

√

1+2x²y²

, f

y

(x, y) =

^2x²^y

(1+x²y²)

√

1+2x²y²

] (7) Data la funzione di due variabili : f (x, y) = arctan[ √

y log(x) ] trovare l’ insieme di definizione A, discutere la derivabilit` a nei punti di A e calcolare le derivate parziali di f

[ Il logaritmo ` e definito e derivabile in (0, +∞), la radice ` e definita e continua in [0, +∞), derivabile in (0, +∞). Ne segue che A = (0, +∞) × [0, +∞); inoltre nei punti (x, y) con x > 0, y > 0 f ha derivate parziali continue f

_x

(x, y) =

_{1+y log}¹ 2(x)

√y x

, f

_y

(x, y) =

_{1+y log}¹ 2(x)

log(x) 2√

y

, quindi ` e ivi differenziabile; nei punti (x, 0) con x > 0 la derivata rispetto a x esiste ed ` e nulla, mentre se x 6= 1 non esiste la derivata (destra) rispetto a y; nel punto (1, 0) la derivata destra rispetto a y ` e nulla ]

(8) Calcolare insieme di definizione A e di derivabilit` a B e calcolare il gradiente in B delle seguenti funzioni (importanti per il seguito)

a) f

1

(x, y) = arctan(

_x^y

) ( A ⊆ R

²

; dire a parole cosa ` e questa

funzione)

(5)

b) f

₂

(x) = f (x

¹

, . . . , x

^N

) = p(x

¹

)

²

+ · · · + (x

^N

)

²

( A ⊆ R

^N

; dire a parole il nome di questa funzione e scrivere il gradiente in termini di questo nome . . . )

[ f

₁

(x, y) ` e l’ argomento principale ϑ in coordinate polari del punto P che ha (x, y) come coordinate cartesiane se il punto P appartiene al semipiano S = [ x > 0 ]

N. B. Qui e in seguito scriveremo spesso notazioni brevi come [ x > 0 ] invece della notazione completa {(x, y) ∈ R

²

: x > 0}

Il gradiente di f

₁

(x, y) ` e ∇f

₁

(x, y) = (

_x2^−y+y²

,

_x2+y^x ²

)

f

2

(x) = kxk ` e la norma del vettore x ∈ R

ⁿ

, definita e continua in R

ⁿ

.

E derivabile solo in R `

ⁿ

\ {0}, e se x 6= 0 il suo gradiente `e

∇f

₂

(x) =

_kxk^x

(se n = 1 ritroviamo che la funzione modulo ` e derivabile eccetto che in zero con derivata

_|x|^x

= sgn (x) =

( 1 se x > 0

−1 se x < 0 ) ]

(9) Data la funzione f : R

³

→ R

⁴

definita da

f (x, y, z) =







f

1

(x, y, z) f

₂

(x, y, z) f

₃

(x, y, z) f

₄

(x, y, z)







=







y

²

− z

²

yz xy xz







calcolare la matrice jacobiana J

_f

(x, y, z) in un punto generico di R

³

e dire se la funzione ` e differenziabile in (ogni punto di) R

³

.

[ La matrice jacobiana (matrice 4 × 3) ` e







0 2y −2z

0 z y

y x 0

z 0 x







La funzione ` e differenziabile perch´ e tutte le derivate parziali

∂fi

∂xj

(i = 1, . . . , 4, j = 1, . . . 3) sono continue. ]

(10) Date le funzioni f : R → R

³

e g : R

³

→ R definite da f(t) =



 x(t) y(t) z(t)



 =



 t 1 − t

2t



 , g(x, y, z) = x

²

+ y

²

− z

²

calcolare la derivata di α(t) = g ◦ f : R → R

i) direttamente, scrivendo esplicitamente la composta ii) usando il teorema di differenziabilit` a delle funzioni com-

poste

(6)

Verificare che ` e definita anche la funzione h = f ◦ g, specificarne dominio e codominio, scriverla esplicitamente e calcolarne la matrice jacobiana.

[ α(t) = −2t

²

− 2t + 1, α

⁰

(t) = −4t − 2 , J

_g

(x, y, z) = ∇g(x, y, z) = (2x, 2y, −2z) , J

f

(t) = f

⁰

(t) =



 1

−1 2



,

J

_g

(x(t), y(t), z(t)) J

_f

(t) = ∇g(x(t), y(t), z(t)) · f

⁰

(t) = (2t, 2 − 2t, −4t)



 1

−1 2



 = −4t − 2

f ◦ g : R

³

→ R

³

, f (x, y, z) =





x

²

+ y

²

− z

²

1 − x

²

− y

²

+ z

²

2x

²

+ 2y

²

− 2z

²



, con

matrice jacobiana J

_f

(x, y, z) =





2x 2y −2z

−2x −2y 2z

4x 4y −4z



 ]

(11) Date le funzioni f : R → R

³

e g : R

³

→ R definite da f (t) =



 x(t) y(t) z(t)



 =





R cos(t) R sin(t)

kt



 , g(x, y, z) = (x

²

+ y

²

)z calcolare la derivata di α(t) = g ◦ f : R → R

i) direttamente, scrivendo esplicitamente la composta ii) usando il teorema di differenziabilit` a delle funzioni com-

poste

Verificare che ` e definita anche la funzione h = f ◦ g, specificarne dominio e codominio, scriverla esplicitamente e calcolarne la matrice jacobiana.

[ a) α(t) = R

²

k t, α

⁰

(t) = k R

²

,

J

_g

(x, y, z) = ∇g(x, y, z) = (2xz, 2yz, (x

²

+ y

²

)) , J

_f

(t) = f

⁰

(t) =





−R sin(t) R cos(t)

k



,

J

g

(x(t), y(t), z(t)) J

f

(t) = ∇g(x(t), y(t), z(t)) · f

⁰

(t) = (2Rkt cos(t), 2Rkt sin(t), R

²

)





−R sin(t) R cos(t)

k



 = k R

²

f ◦g : R

³

→ R

³

` e definita da f (x, y, z) =





R cos((x

²

+ y

²

)z) R sin((x

²

+ y

²

)z)

k(x

²

+ y

²

)z





e la sua matrice jacobiana (matrice 3 × 3) ` e data da . . . ]

(7)

ESERCIZI SULLA DIFFERENZIABILIT ` A

(Facoltativa la lettura che pu` o essere omessa o posposta, non sono state approfondite molto le tecniche relative a lezione).

(1) Data la funzione di due variabili f (x, y) = |xy| , motivando le risposte,

a) dire in quali punti esiste la derivata parziale f

_x

e calcolarla in tali punti

b) dire in quali punti esiste la derivata parziale f

_y

e calcolarla in tali punti

c) dire in quali punti la funzione ` e differenziabile

[ Nei punti (x, y) con x 6= 0 , y 6= 0 le derivate parziali esistono continue, quindi la funzione ` e ivi differenziabile e i loro valori sono f

_x

(x, y) = |y|

_|x|^x

, f

_y

(x, y) = |x|

_|y|^y

. Nei punti con x = 0, y 6= 0 non esiste la derivata parziale f

_x

mentre f

_y

= 0, nei punti con y = 0, x 6= 0 non esiste la derivata parziale f

_y

mentre f

_x

= 0, in ogni caso in questi punti la funzione non ` e differenziabile. Nel punto (0, 0) le derivate parziali esistono e sono nulle (la funzione ` e nulla sugli assi) e inoltre la funzione ` e differenziabile, essendo lim

(h,k)→(0,0)

|h||k|

√h²+k²

= 0 essendo

|h||k|

√h²+k²

=

^√_h^|h|₂_+k₂

|k| ≤ |k| → 0 se (h, k) → (0, 0) ]

(2) Data la funzione di due variabili f (x, y) = log(1 + x

²

) |sin(y)| , motivando le risposte,

a) dire in quali punti esiste la derivata parziale f

_x

e calcolarla in tali punti

b) dire in quali punti esiste la derivata parziale f

_y

e calcolarla in tali punti

c) dire in quali punti la funzione ` e differenziabile

[ f

_x

(x, y) =

_1+x^2x2

| sin(y)| esiste continua in ogni punto; nei punti (x, y) con y 6= kπ, k ∈ Z si ha che f

y

(x, y) = log(1 + x

²

)

_{| sin(y)|}^sin(y)

cos(y) ed ` e continua; f

y

(x, y) non esiste, quindi la funzione non ` e differenziabile, nei punti (x, y) con x 6= 0, y = kπ, k ∈ Z; infine nei punti (x, y) con x = 0, y = kπ, k ∈ Z si ha che f

_y

(x, y) = 0 e in tali punti la funzione ` e differenziabile come si verifica in base alla definizione. ]

(3) Data la funzione di due variabili f (x, y) =

(

_{y( e}x−1)

x

se x 6= 0

y se x = 0 ,

calcolare le derivate parziali e dire se la funzione ` e differenziabile

in R

²

.

(8)

[ Le derivate parziali esistono ovunque e sono f

x

=

(

_y(xex−e^x+1)

x²

se x 6= 0

y

2

se x = 0

( f

_x

(0, 0) = lim

_x→0_x¹

[

^{y( e}^x_x⁻¹⁾

− y ] = lim

_x→0

y

¹_x

[

^{( e}^x^−1−x)_x

] = lim

x→0

y

1

2x²+o(x²) x²

=

^y₂

) f

y

(x, y) =

(

e^x−1

x

se x 6= 0

1 se x = 0 (f

y

(0, 0) = lim

y→0 f (0,y)−f (0,0)

y

=

lim

_y→0 ^y_y

= 1 )

La funzione ` e differenziabile, si pu` o verificare in base alla definizione o come conseguenza del fatto che ` e di classe C

¹

(R

²

), come segue calcolando i limiti per (x, y) → (0, y

₀

) delle derivate parziali (per f

_x

usare ad es. lo sviluppo di Taylor). ]

(4) Data la funzione di due variabili f (x, y) = (

_xy

x²+y²

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) , motivando le risposte dire

a) se f ` e continua in (0, 0)

b) se esistono le derivate parziali in (0, 0)

c) se esistono le derivate direzionali in (0, 0) secondo una direzione generica v = (v

1

, v

2

) e in caso affermativo calcolarle d) se la funzione ` e differenziabile in (0, 0)

[ a) No, basta calcolare il limite in coordinate polari e os- servare che ` e diverso lungo rette diverse passanti per l’ origine.

b) S`ı e sono nulle, essendo la funzione nulla sugli assi. c) No, a meno che non siano le derivate parziali. d) No, per quanto visto in precedenza. ]

(5) Data la funzione di due variabili f (x, y) = (

_x2y

x²+y²

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) , motivando le risposte dire

a) se f ` e continua in (0, 0)

b) se esistono le derivate parziali in (0, 0)

c) se esistono le derivate direzionali in (0, 0) secondo una direzione generica v = (v

₁

, v

₂

) e in caso affermativo calcolarle d) se la funzione ` e differenziabile in (0, 0)

[ a) Si, il limite in coordinate polari ` e 0 uniformemente

rispetto alla variabile angolare ϑ : |

^ρ³^cos²^{(ϑ) sin(ϑ)}_ρ2

| ≤ ρ → 0 se

ρ → 0. b) S`ı e sono nulle, essendo la funzione nulla sugli

assi. c) S`ı,

^∂f_∂v

(x, y) = lim

_t→0¹_t_t2^tv²₁²^v+t²¹^tv²²v²₂

= v

²₁

v

₂

. d) No, per

verifica diretta o per quanto visto in precedenza, perch´ e non

vale l’ eguaglianza

^∂f_∂v

(x, y) = ∇f (x, y) · v . ]

(9)

(6) Data la funzione di due variabili f (x, y) =

(

_x2y²

x²+y²

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) , motivando le risposte dire

a) se f ` e continua in (0, 0)

b) se esistono le derivate parziali in (0, 0)

c) se esistono le derivate direzionali in (0, 0) secondo una direzione generica v = (v

1

, v

2

) (tra queste ci sono le derivate parziali), e in caso affermativo calcolarle

d) se la funzione ` e differenziabile in (0, 0)

[ a) Si, il limite in coordinate polari ` e 0 uniformemente rispetto alla variabile angolare ϑ : |

^ρ⁴^cos²^{(ϑ) sin}_ρ2 ²^(ϑ)

| ≤ ρ

²

→ 0 se ρ → 0. b) S`ı e sono nulle, essendo la funzione nulla sugli assi. c) S`ı,

^∂f_∂v

(x, y) = lim

_t→0¹_t_t^t2²v^v₁²¹²+t^t²²^vv²²²₂

= 0. d) S`ı, per verifica diretta: lim

(h,k)→(0,0) h²k²

(h²+k²)√

h²+k²

= 0 essendo |

^h²^k²

(h²+k²)√

h²+k²

| =

h² h²+k²

√ |k|

h²+k²

|k| ≤ |k| → 0 se (h, k) → (0, 0) ] (7) GENERALIZZAZIONE

Generalizzando gli esercizi precedenti si possono trovare con- dizioni necessarie e sufficienti per continuit` a e differenziabili` a di funzioni del tipo

f (x, y) =

(

_|x|^α_|y|^β

(x²+y²)^γ²

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0) , con α , β γ > 0.

Mostrare, usando le coordinate polari, che una tale funzione ` e continua in (0, 0) se e solo se α + β > γ, ha tutte le derivate direzionali in (0, 0) se e solo se α + β ≥ γ + 1, ` e differenziabile in (0, 0) se e solo se α + β > γ + 1.

[ Se α + β > γ si ha che

^ρ^α+β^{| cos(ϑ)|}_ργ^α^{| sin(ϑ)|}^β

≤ ρ

^α+β−γ

e quindi il limite per ρ → 0 ` e 0 uniformemente rispetto a ϑ, mentre se α + β ≤ γ il limite dipende da ϑ o non esiste.

Inoltre la funzione ha derivate parziali nulle nell’ origine, essendo nulla sugli assi, e si vede facilmente che ha tutte le derivate direzionali se e solo se α + β ≥ γ + 1, e queste sono tutte nulle se e solo se α + β > γ + 1. Per la formula del gradiente questa

`

e allora una condizione necessaria per la differenziabili` a, ed ` e anche sufficiente (

¹_ρ ^ρ^α+β^{| cos(ϑ)|}_ργ^α^{| sin(ϑ)|}^β

≤ ρ

^{α+β−(γ+1)}

. . . ) ]

(8) Data la funzione di due variabili f (x, y) = (

_x2y

x⁴+y²

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0) ,

motivando le risposte dire

(10)

a) se f ` e continua in (0, 0)

b) se esistono le derivate parziali in (0, 0)

c) se esistono le derivate direzionali in (0, 0) secondo una direzione generica v = (v

₁

, v

₂

) (tra queste ci sono le derivate parziali), e in caso affermativo calcolarle

d) se la funzione ` e differenziabile in (0, 0)

[ a) No, il limite in coordinate polari ` e nullo lungo ogni retta passante per l’ origine, ma lungo la parabola y = x

²

vale

1

2

. b) S`ı e sono nulle, essendo la funzione nulla sugli assi. c) S`ı,

^∂f_∂v

(x, y) = lim

_t→0¹_t_t₄^t_v²4^v¹²^tv²

1+t²v²₂

= (

_v2

1

v2

se v

₂

6= 0

0 se v

2

= 0 . d) No, per verifica diretta o per quanto visto in precedenza, perch´ e non vale l’ eguaglianza

^∂f_∂v

(x, y) = ∇f (x, y) · v . ]

(9) Data la funzione di due variabili f (x, y) =

(

_x2y

|x|³+y²

se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) , motivando le risposte dire

a) se f ` e continua in (0, 0)

b) se esistono le derivate parziali in (0, 0)

c) se esistono le derivate direzionali in (0, 0) secondo una direzione generica v = (v

₁

, v

₂

) (tra queste ci sono le derivate parziali), e in caso affermativo calcolarle

d) se la funzione ` e differenziabile in (0, 0)

[ a) S`ı, perch´ e il limite della funzione per x → 0 ` e nullo.

Infatti, utilizzando la disuguaglianza

|ab| = |a||b| ≤ 1

2 (a

²

+b

²

) (equivale a (|a|−|b|)

²

= a

²

+b

²

−2|a||b| ≥ 0 ) si ha che

_|x|^|x3²+y^y|²

=

^|x|

1

2(|x|³²|y|)

|x|³+y²

≤

^|x|

1

2(|x|³+y²)

=

^|x|

1 2

2

→ 0 se (x, y) → (0, 0).

b) S`ı e sono nulle, essendo la funzione nulla sugli assi.

c) S`ı,

^∂f_∂v

(x, y) = lim

_t→0¹_t_t3|v^t²1^v|³²¹+t^tv²²v²₂

= (

_v2

1

v2

se v

₂

6= 0 0 se v

₂

= 0 .

d) No, per verifica diretta o per quanto visto in precedenza, perch´ e non vale l’ eguaglianza

^∂f_∂v

(x, y) = ∇f (x, y) · v . ]

(10) Data la funzione di due variabili f (x, y) = ((x

²

+ y

²

) sin( √

¹

x²+y²

) se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

, dire, motivando le risposte,

a) se f ` e continua in (0, 0)

(11)

b) se esistono le derivate direzionali in (0, 0) secondo una direzione generica v = (v

₁

, v

₂

) (tra queste ci sono le derivate parziali), e in caso affermativo calcolarle

c) se la funzione ` e differenziabile in (0, 0) d) se la funzione ` e di classe C

¹

in R

²

[ Si vede facilmente che la funzione ` e continua e ha derivate parziali nulle nell’ origine, ricordando che il limite di un prodot- to tra una funzione infinitesima ed una limitata ` e nullo. Inoltre la funzione ` e differenziabile, essendo

lim

(h,k)→(0,0)

(h²+k²) sin(√ ¹

h2+k2)

√h²+k²

= lim

(h,k)→(0,0)

√ h

²

+ k

²

sin(

^√_h₂¹_+k₂

) = 0

(ancora limite del prodotto tra una funzione infinitesima e una limitata).

Dalla formula del gradiente si deduce che esistono le derivate secondo ogni direzione e sono nulle.

La funzione non ` e per` o di classe C

¹

in R

²

perch´ e nel punto (0, 0) le derivate parziali non sono continue: se (x, y) 6= (0, 0)

`

e f

_x

(x, y) = 2x sin( √

¹

x²+y²

) − √

^x

x²+y²

cos( √

¹

x²+y²

) e non esiste

lim

(x,y)→(0,0)

f

_x

(x, y), analogamente per f

_y

. ]

(12)

MASSIMI E MINIMI LIBERI DI FUNZIONI SCALARI DI PI ` U VARIABILI

NOTA.

Il Criterio di Sylvester per determinare se una matrice quadrata n × n simmetrica A ` e definita positiva/negativa, basato sul segno dei minori principali di una matrice, pu` o essere posto in una forma semplice nel caso di funzioni di due variabili (n = 2), caso nel quale si riesce sempre a determinare il carattere della matrice

Data una matrice 2 × 2 simmetrica A = a b b c

il suo determinante ` e det (A) = ac − b

²

, mentre la

TRACCIA di A ` e la somma degli elementi diagonali:

Tr (A) = a + c.

Data una matrice 2 × 2 simmetrica A si hanno i seguenti casi.

• Se det (A) < 0 allora A `e indefinita.

• Se det (A) > 0 allora A `e definita positiva [rispettivamente negativa] se Tr (A) > 0 [rispettivamente Tr (A) < 0]

• Se det (A) = 0 la matrice non `e definita (positiva o negativa) ma ` e comunque una matrice semidefinita: A ` e semidefinita positiva [rispettivamente semidefinita negativa] se Tr (A) > 0 [rispettivamente Tr (A) < 0].

Si noti che se n ≥ 3 e il determinante si annulla, non ci sono criteri altrettanto semplici e spesso non si riesce a determinare il carattere di una matrice.

Inoltre attenzione, in due dimensioni una matrice definita positiva o negativa ha sempre determinante positivo (e se il determinante ` e negativo la matrice ` e indefinita), ma ad esempio in dimensione 3 una matrice definita negativa ha determinante negativo.

(1) Data la funzione di due variabili f (x, y) = x

³

+ 3x

²

+ 2λxy + y

²

trovare il valore di λ tale che il punto (

²₃

, −

⁴₃

) sia un punto critico di f . Per tale valore trovare eventuali altri punti critici di f , e per ogni punto critico specificare se si tratta di punto di minimo, massimo o sella.

[ ∇f (x, y) = (3x

²

+ 6x + 2λy, 2λx + 2y) = (0, 0) se e solo

se y = −λx. (

²₃

, −

⁴₃

) ` e punto critico se λ = 2. Per tale

valore i punti critici sono i punti P

1

= (0, 0), punto di sella

poich´ e la matrice hessiana ha determinante −4, e P

₂

= (

²₃

, −

⁴₃

),

punto di minimo relativo (stretto) poich´ e la matrice hessiana

ha determinante 4 e traccia 12 ]

(13)

(2) Data la funzione di due variabili f (x, y) = x

³

+ y

³

−

¹⁵₂

y

²

− 48x + 18 y trovare i punti critici di f , specificando se si tratta di punto di minimo, massimo o sella.

[ ∇f (x, y) = (3x

²

−48, 3y

²

−15y+18) = (0, 0) se e solo se x =

±4, y = 2 oppure y = 3. I punti critici sono dunque P

1

= (4, 3), P

2

= (−4, 3), P

3

= (4, 2), P

4

= (−4, 2). La matrice hessiana H(x, y) ` e diagonale con gli elementi diagonali (6x, 6y − 15).

Il punto P

₁

` e un punto di minimo locale stretto, la matrice hessiana essendo diag (24, 3), il punto P

₄

` e un punto di massimo locale stretto (diag (−24, −3)), i punti P

₂

( diag (−24, 3)), P

₃

( diag (24, −3)) sono punti di sella, essendo det H < 0. ]

(3) Data la funzione di due variabili f (x, y) = x

⁴

+ y

³

− 4x

²

− 3y

²

trovare i punti critici di f , specificando se si tratta di punto di minimo, massimo o sella. Trovare estremo superiore ed inferiore della funzione e dire se ha massimo e/o minimo assoluto su R

²

. [ ∇f (x, y) = (4x

³

− 8x, 3y

²

− 6y) = (0, 0) se e solo se x = 0 o x = ± √

2 , y = 0 oppure y = 2. I punti critici sono dunque P

₁

= (0, 0), P

₂

= (0, 2), P

_3,4

= (± √

2, 0), P

_5,6

= (± √

2, 2). La matrice hessiana ` e diagonale con gli elementi diagonali (12x

²

− 8, 6y − 6) e si deduce allora che P

₁

` e punto di massimo locale stretto, P

2

, P

3

e P

4

sono punti di sella, mentre P

5

e P

6

sono punti di minimo locale stretto.

La funzione non ha massimi n´ e minimo assoluto, perch´ e sup

_(x,y)∈R2

= +∞, inf

_(x,y)∈R²

= −∞ .

Infatti lungo la retta x = 0 la funzione vale f (0, y) = y

³

− 3y

²

e la funzione g(y) = y

³

− 3y

²

ha immagine (−∞, +∞). ] (4) Data la funzione di due variabili f (x, y) = x

⁴

+ x

²

y

²

+ y

⁴

trovare

i punti critici di f , specificando se si tratta di punto di minimo, massimo o sella. Trovare estremo superiore ed inferiore della funzione e dire se ha massimo e/o minimo assoluto su R

²

.

[ ∇f (x, y) = (4x

³

+ 2xy

²

, 4y

³

+ 2x

²

y) = (0, 0) se e solo se x = y = 0. Il punto critico ` e dunque (0, 0). La matrice hessiana ha entrate H

_1,1

= 12x

²

+ 2y

²

, H

_1,2

= H

_2,1

= 4xy, H

_2,2

= 12y

²

+ 2x

²

, e ha determinante nullo. Ciononostante si pu` o vedere che l’ origine ` e punto di minimo, non solo dall’

analisi della funzione (che ` e nulla solo se x = y = 0 e positiva

altrove), ma anche dal criterio basato sul carattere della matrice

hessiana in un intorno di un punto critico: essa ` e semidefinita

positiva in un intorno del punto critico (in questo esempio in

tutto R

²

) avendo determinante 132 x

²

y

²

+ 24 x

⁴

+ 24 y

⁴

≥ 0 e

traccia 14 x

²

+ 14 y

²

≥ 0.

(14)

L’ origine (0, 0) ` e (l’ unico) punto di minimo assoluto, perch´ e in tale punto la funzione ` e nulla, mentre negli altri punti di R

²

` e positiva. La funzione non ha massimo assoluto perch´ e sup

_(x,y)∈R2

= +∞, basta studiare g(x) = f (x, 0) = x

⁴

. ]

(5) Data la funzione di due variabili f (x, y) =

_x⁸

+

^x_y

+ y trovare i punti critici di f , specificando se si tratta di punto di minimo, massimo o sella.

[ ∇f (x, y) = (

⁻⁸_x2

+

¹_y

,

^−x_y2

+1) = (0, 0) se e solo se x = 4, y = 2.

La matrice hessiana ha entrate H

_1,1

=

_x¹⁶3

, H

_1,2

= H

_2,1

=

⁻¹_y2

, H

_2,2

=

^2x_y3

, in particolare nel punto (4, 2) si ha che H

_1,1

=

¹₄

, H

_1,2

= H

_2,1

=

⁻¹₄

, H

_2,2

= 1. Essendo quindi definita positiva si deduce che l’ unico punto critico ` e punto di minimo. ]

(6) Data la funzione di tre variabili f (x, y, z) = −2x

²

− xy − 2y

²

+ 5x + 5y − z

²

+ 2z individuare i punti critici di f , specificando se si tratta di punti di minimo, massimo o sella.

[ L’ unico punto critico ` e il punto (1, 1, 1), ed ` e un punto di massimo relativo (stretto) perch´ e la matrice hessiana, con minori principali −4, 15, −30 ` e definita negativa ]

(7) Data la funzione di tre variabili f (x, y, z) = x

⁴

+ x

³

+ y

²

+ z

²

trovare i punti critici di f , specificando se si tratta di punto di minimo, massimo o sella.

[ ∇f (x, y, z) = (4x

³

+ 3x

²

, 2y, 2z) = (0, 0, 0) se e solo se y = z = 0, x = 0 oppure x = −

³₄

, i punti critici sono dunque P

1

= (−

³₄

, 0, 0) e P

2

= (0, 0, 0). La matrice hessiana ` e diagonale con gli elementi diagonali (12x

²

+ 6x, 2, 2). Nel punto P

₁

` e diag (

⁹₄

, 2, 2), definita positiva perch´ e i minori principali sono tutti positivi, quindi P

₁

` e di minimo relativo (stretto). In P

₂

`

e diag (0, 2, 2) con determinante 0, quindi non si pu` o decidere in base ad essa. Osservando per` o la funzione si deduce che l’

origine ` e un punto di sella, perch´ e la restrizione di f all’ asse x ` e g(ε) = f (ε, 0, 0) = ε

⁴

+ ε

³

, strettamente crescente in un intorno di 0 (con un flesso in 0). ]

(8) Data la funzione di tre variabili f (x, y, z) = z

²

−x

²

+2xy− √ 2y

²

z trovare i punti critici di f , specificando se si tratta di punto di minimo, massimo o sella.

[ ∇f (x, y, z) = (−2x+2y, 2x−2 √

2yz, 2z − √

2y

²

). Si annulla

nei punti P

0

= (0, 0, 0) e P

1,2

= (±1, ±1,

^√¹₂

). La matrice hes-

siana ha entrate H

1,1

= −2, H

1,2

= H

2,1

= 2, H

1,3

= H

3,1

= 0

(15)

H

_2,2

= −2 √

2z, H

_2,3

= H

_3,2

= −2 √

2y, H

_3,3

= 2. Si pu` o dedurre che tutti i punti critici sono di sella osservando che il determinante ` e non nullo (−8 in P

₀

, −32 in P

_1,2

), quindi gli autovalori non sono nulli; in particolare non ` e possibile che la matrice sia semidefinita (positiva o negativa) senza essere definita (positiva o negativa). D’ altra parte gli autovalori non possono avere tutti lo stesso segno perch´ e non ` e verificata la condizione necessaria e sufficiente di definita positivit` a, minori principali tutti positivi, n´ e quella di definita negativit` a, minori con segno alterno −, +, − in questo ordine. Nel nostro caso i minori principali sono −2, −4,−8 nel punto P

₀

, −2, 0,16 nei punti P

1,2

. ]

(9) Data la funzione di due variabili f (x, y) = xy trovare i punti critici di f e specificare se si tratta di punto di minimo, massimo o sella. Trovare poi il massimo e il minimo assoluti di f sull’

insieme B = {(x, y) ∈ R

²

: x

²

+ y

²

≤ 1}.

[ Essendo ∇f (x, y) = (y, x), l’ unico punto critico in tutto R

²

della funzione ` e P = (0, 0), che ` e un punto di sella, dato che la matrice hessiana ha determinante −1 ed ` e quindi indefinita.

Per il Teorema di Weierstrass, essendo B compatto e f continua, esistono punti di massimo e minimo assoluto di f in B. Se un punto di estremo si trova all’ interno, cio` e in B = int (B) = {(x, y) ∈ R

²

: x

²

+ y

²

< 1}, deve essere un punto critico, e abbiamo visto che l’ unico punto critico ` e un punto di sella.

Ne segue che i punti di massimo e minimo assoluti sono sulla frontiera, cio` e sulla circonferenza C = {(x, y) ∈ R

²

: x

²

+ y

²

= 1}, che ` e immagine della funzione α(t) = (cos(t), sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2π. Studiando la funzione composta f ◦ α(t) = cos(t) sin(t) in [0, 2π] si osserva che il massimo ` e

¹₂

, assunto nei punti

^π₄

,

^5π₄

, che α manda nei punti (±

^√¹

2

, ±

^√¹

2

), che sono quindi punti di massimo assoluto per f su B, mentre il minimo ` e −

¹₂

, assunto nei punti

^3π₄

,

^7π₄

, che α manda nei punti (∓

^√¹

2

, ±

^√¹

2

), che sono quindi punti di massimo assoluto per f su B. ]

NOTA Per problemi di massimi/minimi assoluti di funzioni definite su insieme compatti vedi la sezione su massimi e minimi vincolati.

(10) Determinare massimi e minimi, relativi ed assoluti, della funzione f (x, y) = x

²

+ xy + y

²

.

[ L’ unico punto critico ` e l’ origine, ed ` e un punto di minimo perch´ e la matrice hessiana 2 1

1 2

`

e definita positiva. Tale

(16)

punto ` e anche di minimo assoluto, perch´ e f (0, 0) = 0 e altrove la funzione ` e sempre positiva. Infatti f (x, 0) = x

²

, mentre per ogni y 6= 0 fissato il trinomio (nella variabile x) x

²

+xy+y

²

ha sempre segno positivo, essendo il discriminante y

²

− 4y

²

= −3y

²

< 0 . ]

(11) Determinare massimo e minimo assoluto della funzione f (x, y) = x

²

y

²

e

^−x²^y²

[ Posto t = x

²

y

²

≥ 0, e g(t) = te

⁻

t , la funzione si pu` o scrivere come f (x, y) = g(x

²

y

²

).

Studiando la funzione g(t) = te

⁻

t in [0, +∞), si vede che g

⁰

(t) = (1 − t)e

⁻

t, quindi g cresce da x = 0, con g(0) = 0, a x = 1, con g(1) = e

⁻¹

, e poi decresce in (1, +∞), con lim

_x→+∞

g(t) = 0, ha quindi in [0, +∞) un minimo assoluto in t = 0, con valore 0, e un massimo assoluto in t = 1, con valore e

⁻¹

.

Ne segue che il minimo assoluto di f ` e 0, ed ` e assunto nei punti con t = x

²

y

²

= 0, cio` e sugli assi cartesiani, mentre il massimo assoluto ` e e

⁻¹

ed ` e assunto nei punti con t = x

²

y

²

= 1, cio` e nei punti delle iperboli xy = 1 e xy = −1. ]

(12) Determinare i punti critici della funzione

f (x, y) = y log(y + 4x

²

) , specificandone la natura (massimo, minimo o sella).

[ L’ insieme di definizione della funzione ` e D = [y > −4x

²

], insieme dei punti che stanno sopra la parabola y = −4x

²

.

Il gradiente ` e ∇f (x, y) = (

_y+4x^8xy2

, log(y + 4x

²

) +

_y+4x^y 2

) e si annulla in P

1

= (0,

¹_e

) e nei punti P

₂^±

= (±

¹₂

, 0).

La matrice hessiana ` e H

_f

(x, y) =

8y(y−4x²) (y+4x²)2

32x³ (y+4x²)2 32x³

(y+4x²)2

y+8x² (y+4x²)2

!

Essendo H

_f

(0,

¹_e

) = 8 0 0 e

definita positiva, il punto P

₁

` e un punto di minimo.

Essendo H

_f

(±

¹₂

, 0) = 0 ±4

±4 2

indefinita, i punti P

₂^±

sono punti di sella. ]

(13) Data la funzione di due variabili

f (x, y) = x

³

+ 3x

²

+ 4xy − 4x + y

²

− 2y

trovare i punti critici di f , e per ogni punto critico specificare se si tratta di punto di minimo, massimo o sella.