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1 ⎩⎨⎧ == 00

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Academic year: 2021

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Geometria per Informatica a.a. 2007 - 2008 Foglio 2

Esercizi su spazi affini

1. Siano dati il piano π:x-y+2z-1=0 e il pto P(1,0,-1), determinare a) Il piano passante per P e parallelo a π.

b) Due rette distinte passanti per P e parallele a π.

2. Sia r la retta passante per P(1,-2,-1) , di giacitura

⎩ ⎨

=

= +

0 4

0 2

z x

y

x . Determinare l’equazione

cartesiana del piano parallelo ad r e passante per A(1,0,0) e B(0,1,0).

3. Determinare in forma parametrica il piano passante per la retta r:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

=

=

= t z y

t x

1 e parallelo alla

retta s:

⎩ ⎨

=

= 0 z - x

1 y -

x .

4. Siano date le rette r:

⎩ ⎨

=

= +

⎪ ⎩

⎪ ⎨

=

=

=

0 z - 2x

0 1 - z 2y - : x s , 1

0

z t y

x .

a) Determinare l’equazione cartesiana di tutti i piani paralleli ad r ed s.

b) Tra i piani determinati in a) ne esiste uno contenente la retta q:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

+

=

=

= 1 4 2 3 t z

t y

t

x ?

5. Siano dati il piano π: y+z-2=0 e la retta r:

⎩ ⎨

=

= 0

0 z y .

a) Provare che esistono rette giacenti su π e parallele ad r. Quante sono ? b) Determinare una delle rette di a) nella forma u+<S>.

6. Siano dati il piano π:

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧ +

=

= +

= t 1 z

t s y

t s

x , il pto Q(1,1,1)∈π, e la retta r :

⎩ ⎨

= +

= +

0 1 2

0 z x

y

x .

Determinare in forma cartesiana la retta s passante per Q, giacente su π ed incidente r.

7. Siano dati i piani α:x-y+3z-1=0, β: 2x+4z-1=0 e la retta r:

⎩ ⎨

= +

= +

− 1

0 z

y

z y

x .

a) Provare che α∩β≠∅ .

b) Rappresentare nella forma u+S il piano contenente s :α∩β e parallelo ad r.

(2)

2

8. Determinare in forma parametrica il sottoinsieme affine A di R

3

, di dimensione minima, contenente i seguenti insiemi di punti :

a) { A(1,0,0), B(1,1,0), C(1,2,0)}

b) { A(1,0,0), B(1,1,0), C(1,1,1), D(1,2,1), E(1,2,0)}.

9. Siano dati il piano π: x-y+2z+2=0 e la retta r:

⎩ ⎨

=

=

0 1 0 z x

y . E’ vero che per ogni piano β

contenente r si ha D(β)≠D(π) ? In caso affermativo determinare in forma cartesiana uno di questi piani.

10. Siano dati il piano π di giacitura D(π) =<(1,0,1), (0,1,-1)> e passante per P(1,0,0), e la retta r passante per i pti A(-4,1,2) , B(2,2,6).

Stabilire se π è parallelo ad r e in caso negativo determinare il pto P= π∩r.

Riferimenti