1. Grandezze fisiche

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█ Grandezze fisiche, misure ed errori

Appunti e complementi per gli studenti

Franco Fusier - 2008

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Indice

1. Grandezze fisiche... 4

1.1 Il Sistema Internazionale (S.I.)... 4

1.2 ÆApprofondimenti sul concetto di Grandezza Fisica... 4

1.3 Grandezze fondamentali e derivate ... 6

1.4 Convenzioni da rispettare nella scrittura delle unità del SI... 8

1.5 Misure dirette e indirette ... 8

1.6 Il risultato di una misura ... 10

1.6.1 Cifre significative ... 10

2. Classificazione degli errori nelle misure dirette ... 11

2.1 Introduzione ... 11

2.2 Sensibilità, risoluzione e fondo scala di uno strumento ... 11

2.3 Errore di sensibilità (incertezza strumentale)... 12

2.4 Errori sistematici ... 13

2.4.1 Difetto dello strumento usato ... 14

2.4.2 Interazione strumento-sperimentatore ... 14

2.4.3 Interazione strumento-fenomeno in esame... 14

2.4.4 Errate condizioni di lavoro ... 15

2.4.5 Imperfetta realizzazione del fenomeno... 15

2.4.6 Conclusioni sugli errori sistematici ... 15

2.5 Errori casuali... 16

2.5.1 Precisione ed accuratezza di una misura ... 18

2.5.2 Trattamento degli errori casuali... 19

2.6 Ripasso: quando usare l’incertezza statistica e quando l’incertezza strumentale ... 20

2.7 Incertezza assoluta, incertezza relativa e incertezza percentuale ... 22

2.7.1 Introduzione e definizioni... 22

2.7.2 Ulteriori chiarimenti su errore assoluto, relativo e percentuale... 23

2.8 Come si approssimano la media e l’incertezza assoluta... 25

3. Incertezze nelle misure indirette (propagazione degli errori) ... 27

3.1 Incertezza nella somma di due grandezze ... 27

3.1.1 Presentazione del risultato... 27

3.2 Incertezza nella differenza fra due grandezze ... 27

3.2.1 Presentazione del risultato... 28

3.3 Incertezza nel prodotto e nel quoziente fra due grandezze... 28

3.3.1 Introduzione ... 28

3.3.2 Applicazioni ... 29

3.4 Incertezza nell’elevamento a potenza e nelle radici ... 29

3.5 Incertezza nel prodotto (o nel quoziente) fra una grandezza avente un’incertezza e un numero senza incertezza ... 30

3.6 Applicazioni... 31

3.7 Riepilogo sugli errori nelle misure indirette... 35

3.7.1 Come le incertezze sui dati influenzano il risultato finale... 35

3.7.2 Quanti decimali usare …... 35

3.8 Compatibilità e incompatibilità tra due misure ... 36

3.8.1 Confronto tra due misure... 36

3.8.2 Confronto tra un valore misurato e un valore accettato... 37

4. Esercizi ... 39

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Nota

La lettura dei paragrafi contrassegnati con Æ può essere rimandata, senza precludere la comprensione delle parti successive.

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Ad esempio nella misura della velocità è praticamente impossibile effettuare una misura diretta. Infatti dovremmo disporre di un campione omogeneo alla velocità da assumere come unità. Dovrebbe essere un oggetto che si muove con velocità unitaria in modo da poter essere confrontato direttamente (cioè

durante il moto …) con la velocità da misurare, e questo risulta

difficile anche solo immaginarlo.

Se vogliamo misurare

il volume di una stanza è possibile, ma decisamente poco conveniente, tentare una misura diretta. Dovremmo avere una serie di cubi di lato un metro e,

se vogliamo la precisione al cm3, una serie di cubetti di lato un centimetro con i quali riempire

completamente la stanza, ed infine contare quanti ne sono stati usati. È nettamente più pratico misurare con un metro la lunghezza, la profondità e l’altezza

della stanza poi calcolare il

volume facendo il prodotto delle tre misure. In questo modo facciamo la misura diretta delle lunghezze e una misura indiretta del volume.

Osservazione 1

Risolvere un problema o effettuare un esperimento significa fare una misura indiretta delle

grandezze richieste.

I dati sono le grandezze

conosciute. Le incognite sono le grandezze da misurare

indirettamente attraverso il calc

olo. Quindi il calcolo, cioè la manipolazione dei numeri,

riveste un ruolo fondamentale.

Per chiarire meglio

1. Grandezze fisiche

1.1 Il Sistema Internazionale (S.I.)

Le grandezze fisiche si riferiscono a tutte quelle sensazioni, cioè quelle percezioni dei nostri sensi, che è possibile misurare. Ad esempio non sono grandezze fisiche la simpatia, il dolore, la bellezza, ecc. Se la bellezza fosse una grandezza fisica non avrebbe senso effettuare i noti concorsi, nei quali una giuria decide quale partecipante è più bella (o più bello); sarebbe sufficiente misurare questa particolare caratteristica di ogni candidata (o candidato) e poi compilare una graduatoria. Una grandezza fisica dei partecipanti è l’età, cioè il tempo trascorso dall’istante della nascita di ognuna di queste persone. Per stabilire qual è più giovane basta sapere l’età di tutte le partecipanti. La stessa cosa si può dire per l’altezza. Per stabilire qual è più alta basta misurare l’altezza di tutte le partecipanti e quella a cui corrisponde il numero maggiore è la più alta.

Il senso è tutto qui, la bellezza non può essere misurata, essa ha un carattere soggettivo e occasionale. Infatti non è detto che ripetendo il concorso vinca sempre la stessa partecipante. L’altezza e l’età sono invece delle verità oggettive, nel senso che ogni giurato non può che constatare l’altezza o l’età della candidata. Questo è vero però solo se si sono stabiliti di comune accordo:

• il campione di riferimento;

• la procedura operativa con la quale effettuare la misura.

Una grandezza fisica è tale solo quando è stata definita in maniera operativa, cioè quando sono stati chiariti i due punti precedenti.

1.2 ÆApprofondimenti sul concetto di Grandezza Fisica

Effettuare una misurazione può sembrare una operazione banale e molto semplice. In realtà l’operazione del “misurare una grandezza fisica” è ben lontana dall’essere una banale operazione pratica come potrebbe apparire in prima approssimazione. Essa non solo nasconde una serie di tematiche di grande rilevanza nella scienza, ma soprattutto cela questioni e implicazioni di natura epistemologica¹ molto importanti.

Il processo di misura, cioè l’atto operativo attraverso il quale si consente di associare a una grandezza fisica un numero seguito da una unità di misura è in realtà estremamente complesso. La semplicità dell’atto di misurare con uno strumento appositamente costruito spesso maschera il più difficile processo culturale e tecnologico che l’uomo abbia mai inventato e utilizzato nel corso dei secoli, in grado di fargli ottenere i grandi successi che egli ha conseguito nella storia dell’umanità.

Di che cosa si tratta in realtà? Cosa c’è sotto questa questione? In realtà v’è molto di più di una semplice osservazione. In essa è contenuta l’idea che si ha scienza quando si è consapevoli dell’esigenza dell’uso sistematico delle definizioni operative delle grandezze fisiche.

Perché? Basta per un istante immaginare come si può definire con precisione il concetto di tempo.

1 L'epistemologia è quella branca della filosofia che si occupa delle condizioni sotto le quali si può avere conoscenza scientifica e dei metodi per raggiungere tale conoscenza, come suggerisce peraltro l'etimologia del termine, il quale deriva dall'unione delle parole greche “episteme”, scienza, conoscenza certa, e “logos”, discorso. In un'accezione più ristretta l'epistemologia può essere identificata con la filosofia della scienza, la disciplina che si occupa dei fondamenti delle diverse discipline scientifiche.

Osservazione 1

Per chiarire meglio

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Osservazione 1

Per chiarire meglio

Aristotele, nella sua costruzione del mondo, definisce il tempo partendo dalla constatazione che esso esiste: “[...]una parte di esso è stata e non è più, una parte sta per essere e non è ancora”. Poi si occupa di che cos’è il tempo e della sua misura affermando che

“[...]l’esistenza del tempo non è possibile senza quella di cangiamento; quando, infatti, noi non mutiamo nulla entro il nostro animo o non avvertiamo di mutar nulla, ci pare che il tempo non sia trascorso affatto[...]”. Da qui ecco la sua definizione: “il numero del movimento secondo il prima ed il poi” e poi “la conversione circolare uniforme è la misura per eccellenza” di esso.

Come si vede le argomentazioni aristoteliche sono davvero molto sottili e complesse, ma lasciano completamente insoddisfatti dal punto di vista scientifico. La situazione non muta successivamente con altri illustri pensatori.

Sant’Agostino dice: “Che cos’è il tempo? Se nessuno me lo chiede, lo so; se dovessi spiegarlo a chi me lo chiede, non lo so: eppure posso affermare con sicurezza di sapere che se nulla passasse, non esisterebbe un passato; se nulla sopraggiungesse, non vi sarebbe un futuro; se nulla esistesse non vi sarebbe un presente”².

Come si vede l’insoddisfazione continua e ancora non si riesce ad avere un’idea più chiara. Si potrebbe continuare ancora su questa falsariga: la situazione non muterebbe.

Sembrerebbe logico aggirare l’ostacolo in maniera traumatica, definendo il tempo come quella grandezza fisica che si misura con un orologio e l’orologio è lo strumento con cui si misura il tempo. Questa situazione di circolarità è certamente tautologica³. Come si può superarla? Il circolo vizioso si supera mediante una “definizione operativa” in modo tale da descrivere in modo non ambiguo la grandezza fisica in esame ricorrendo a “operazioni” di misura che sono un metodo che permette di conoscere quantitativamente la grandezza fisica descrivendo “ciò che si fa quando lo si usa”.

In definitiva si tratta di un atteggiamento che permette di definire i concetti ancorandoli a esperienze e osservazioni per quanto possibili ripetibili da parte di altri in modo tale che costituiscano un programma diretto a far corrispondere a ogni termine scientifico determinate operazioni manuali e mentali atte a individuarne, in modo univoco, il significato.

Non si insisterà mai abbastanza sul fatto che attraverso i concetti di misura, di criterio operazionale, di definizione operativa di una grandezza fisica in realtà si realizza concretamente l’obiettivo di prendere un’idea pre-scientifica associata alla proprietà di un oggetto o di un fenomeno facendogli perdere il suo aspetto intuitivo, insoddisfacente dal punto di vista fisico, per fargli acquistare il carattere ben definito di grandezza fisica.

2 Quid est ergo tempus?

si nemo ex me quaerat, scio; si quaerenti explicare uelim, nescio:

fidenter tamen dico scire me, quod, si nihil praeteriret, non esset praeteritum tempus, et si nihil adueniret, non esset futurum tempus, et si nihil esset, non esset praesens tempus.

(Agostino, Confessioni, Libro XI, Capitolo XIV)

3 In logica, una tautologia è un'affermazione vera per definizione, quindi fondamentalmente priva di valore informativo. Le tautologie logiche ragionano circolarmente attorno agli argomenti o alle affermazioni.

Osservazione 1

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Osservazione 1

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1.3 Grandezze fondamentali e derivate

Le grandezze fondamentali sono riportate nella tabella 1. Le prime tre sono specifiche della meccanica.

Unità di misura fondamentali del SI

Grandezza fisica Nome Simbolo

lunghezza metro m

massa chilogrammo kg

tempo secondo s

corrente elettrica ampere A

temperatura termodinamica kelvin K

quantità di sostanza mole mol

intensità luminosa candela cd

Tabella 1: grandezze fondamentali meccaniche nel S.I.

Tutte le altre grandezze sono derivate dalle precedenti e alcune hanno un nome proprio.

Unità di misura derivate (esempi)

Grandezza fisica Nome Simbolo

frequenza hertz Hz energia joule J forza newton N potenza watt W pressione pascal Pa

carica elettrica coulomb C

differenza di potenziale

elettrico volt V

resistenza elettrica ohm Ω

conduttanza elettrica siemens S

capacità elettrica farad F

flusso magnetico weber Wb

induttanza henry H

densità di flusso magnetico⁴ tesla T

flusso luminoso lumen lm

illuminazione lux lx

4 Nota anche come induzione magnetica

Osservazione 1

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Osservazione 1

Per chiarire meglio

angolo piano⁵ radiante rad

angolo solido steradiante sr

Tabella 2: principali grandezze derivate nel S.I.

Il S.I. prevede di inserire dei prefissi per ottenere i multipli e sottomultipli. Nella tabella 3 sono riportati alcuni tra i prefissi più comuni.

Multipli e sottomultipli

Prefisso Simbolo Valore per cui risulta moltiplicata la misura

exa E 10¹⁸

peta P 10¹⁵

tera T 10¹² mille miliardi

giga G 10⁹ miliardo

mega M 10⁶ milione

kilo k 10³ mille

milli m 10^-3 millesimo

micro µ 10^-6 milionesimo

nano n 10^-9 miliardesimo

pico p 10^-12

femto f 10^-15

atto a 10^-18

Tabella 3: I principali multipli e sottomultipli nel S.I.

Le unità di misura che seguono vengono accettate accanto a quelle ufficiali del SI, in quanto il loro uso è tutt’oggi molto diffuso in tutta la popolazione. Questa categoria contiene soprattutto unità di tempo e di angoli.

Alcune unità non SI accettate per essere usate con il Sistema Internazionale

Nome Simbolo Equivalenza in termini di unità fondamentali SI

minuto min 1 min = 60 s

ora h 1 h = 60 min = 3 600 s

giorno d 1 d = 24 h = 86 400 s

grado ° 1° = (π/180) rad

5 Inizialmente, il radiante e lo steradiante creavano una categoria a parte chiamata "Unità supplementari".

Questa categoria è stata abrogata nel 1995 dalla 20^a Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure (CGPM), ed il radiante e lo steradiante sono ora considerate unità derivate.

Osservazione 1

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Osservazione 1

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minuto ′ 1′ = (1/60)° = (π/10 800) rad secondo ″ 1″ = (1/60)′ = (π/648 000) rad

litro l, L 1 L = 1 dm³ = 10^-3 m³

tonnellata t 1 t = 10³ kg

Tabella 4: alcune unità di misura non S.I. ancora accettate

1.4 Convenzioni da rispettare nella scrittura delle unità del SI

I simboli dei nomi delle unità di misura sono scritti con lettere minuscole ad eccezione del caso il cui nome derivi da un nome proprio, ad esempio la forza si indica con la lettera N come iniziale di I. Newton e la pressione con Pa in onore di Blaise Pascal.

I simboli per i prefissi sono scritti dopo il simbolo delle unità senza spazio, es. cm, mentre va inserito uno spazio tra i simboli delle unità nelle unità derivate, es. N m per newton metro. I prefissi composti non devono essere mai usati, es. 1 ns invece di 10^-9s è esatto, 1mµ s è sbagliato. Un simbolo per una unità con un prefisso è considerato un unico simbolo che può essere elevato a potenza senza usare le parentesi, ad esempio con cm² si intende (0.01 m)².

La parola grammo occupa un posto speciale nel SI; sebbene non sia una unità i prefissi sono attaccati al simbolo g e non a kg, es. 10³kg è scritto (raramente) Mg e non kkg.

Quando si scrivono numeri con unità del SI le cifre (digits) sono raggruppate in gruppi di tre separati da uno spazio, es. 10⁵ è scritto 100 000 e non 100,000 o 100000 e 10^-5 è scritto 0.000 01. Se il numero ha solo 4 cifre è scritto senza spazi, es. 1000 o 0.0001.

Il SI di unità chiarisce completamente la relazione tra quantità fisica e le unità nelle quali è espressa:

Quantità fisica = valore numerico ⋅ unità di misura

Le generiche quantità fisiche possono essere trattate con le usuali regole del calcolo algebrico (sono assimilate a monomi), ad esempio:

( )

² ¹

2 1

2 24

32 4 1

4 6

8 ⋅ ⁻ ⋅ ⁻ ⋅ ⋅ = ms⁻

s s s kg kg

1

2 32 16

4

2⋅ ms⁻ ⋅ m = ms⁻

1.5 Misure dirette e indirette

Definizione 1 [Misura diretta]

La misura diretta di una grandezza è il rapporto tra la grandezza stessa ed il campione omogeneo preso come unità.

La grandezza e il campione devono essere omogenei perché, ad esempio, per misurare quanto siamo alti non usiamo un orologio o una bilancia ma un metro: vogliamo misurare una lunghezza quindi il campione deve essere una lunghezza, non un tempo o una forza.

Misurando la lunghezza di un tavolo con un regolo graduato facciamo una misura diretta, infatti per misurare la lunghezza del tavolo la confrontiamo direttamente con la lunghezza del metro.

A volte non è possibile o non conveniente effettuare una misura diretta e siamo costretti a effettuare una misura indiretta, cioè ci aiutiamo con dei calcoli.

Osservazione 1

Per chiarire meglio

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Osservazione 1

Per chiarire meglio

Ad esempio nella misura della velocità è praticamente impossibile effettuare una misura diretta. Infatti dovremmo disporre di un campione omogeneo alla velocità da assumere come unità. Dovrebbe essere un oggetto che si muove con velocità unitaria in modo da poter essere confrontato direttamente (cioè durante il moto …) con la velocità da misurare, e questo risulta difficile anche solo immaginarlo.

Se vogliamo misurare il volume di una stanza è possibile, ma decisamente poco conveniente, tentare una misura diretta. Dovremmo avere una serie di cubi di lato un metro e, se vogliamo la precisione al cm³, una serie di cubetti di lato un centimetro con i quali riempire completamente la stanza, ed infine contare quanti ne sono stati usati. È nettamente più pratico misurare con un metro la lunghezza, la profondità e l’altezza della stanza poi calcolare il volume facendo il prodotto delle tre misure. In questo modo facciamo la misura diretta delle lunghezze e una misura indiretta del volume.

Osservazione 1

Risolvere un problema o effettuare un esperimento significa fare una misura indiretta delle grandezze richieste.

I dati sono le grandezze conosciute. Le incognite sono le grandezze da misurare indirettamente attraverso il calcolo. Quindi il calcolo, cioè la manipolazione dei numeri, riveste un ruolo fondamentale.

Per chiarire meglio le idee immaginiamo il seguente esperimento: misurare la velocità di una automobile.

Prendiamo una fettuccia con graduazione di un centimetro e tracciamo due strisce trasversali sulla carreggiata stradale distanti tra loro 10 metri. Poi con un cronometro al decimo di secondo misuriamo il tempo che impiega l’automobile tra l’attraversamento della prima striscia e l’attraversamento della seconda striscia. Infine facciamo il rapporto tra la distanza percorsa e il tempo impiegato. Abbiamo ottenuto la misura indiretta della velocità (media):

t v_m x

Δ

= Δ .

Concentriamoci ora sull’aspetto matematico del problema.

Una automobile impiega 4.0 secondi quindi la sua velocità è:

s 2.5m s

4.0 m v₁ =10.0 =

Si tratta di un numero limitato ad una cifra decimale.

Un’altra automobile impiega 3 secondi e quindi:

s 3m s 3.

3.0 m v₂ =10.0 =

20 15 10 5

10.0 m

0 Δt

Osservazione 1

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Osservazione 1

Per chiarire meglio

Il risultato ottenuto è 10 diviso 3 il cui valore è un numero periodico (illimitato), cioè con infinite cifre, vale a dire che ha precisione infinita, e questo è assurdo. Possiamo ritenere fisicamente accettabile approssimare il numero con un solo decimale, cioè con due cifre significative perché la misura meno precisa è quella del tempo, che ha appunto solo due cifre significative. Il risultato quindi è v2=3.3 m/s.

Conclusione 1

Il numero illimitato può essere solo il risultato di una misura indiretta.

Tutto questo ci porta a un’altra importantissima conclusione.

Conclusione 2

I numeri illimitati sono solo dei modelli astratti della misura di grandezze (fisiche, economiche, ecc.).

In generale quindi i numeri reali sono un oggetto matematico che deve essere usato con molto buon senso nella misura di grandezze, ma che ci semplifica molto la vita. Infatti potremo dire che due ragazzi hanno uguale altezza o uguale peso anche se sappiamo che non sono possibili misure esatte. Oppure che quel quadrilatero è un quadrato anche se sappiamo che non possiamo misurare con esattezza sia gli angoli sia i lati.

Conclusione 3 Per esprimere una uguaglianza tra il valore di due misure useremo il simbolo

“= uguale” e non il simbolo “ quasi uguale”.

Nel linguaggio comune spesso si parla di misura esatta, ad esempio “è alto 1 m e 62 cm”, ma non dovremo mai dimenticare il significato della seguente definizione.

Definizione 2 [Misura praticamente esatta]

Una misura è considerata esatta se riusciamo ad ottenerla col grado di precisione richiesto dal problema in esame.

1.6 Il risultato di una misura

1.6.1 Cifre significative

Senza addentrarci nelle tecniche di misurazione ma fidandoci della nostra esperienza quotidiana, possiamo dire che non esiste uno strumento di misura che ci fornisce infinite cifre. Il contachilometri della nostra automobile ha 5 cifre, la bilancia pesa persone della nostra casa ha una tacca ogni mezzo chilo, il righello tiralinee ha una incisione ogni millimetro, la lancetta dei secondi dell’orologio fa uno scatto ogni secondo, il cronometro digitale ci mostra i centesimi di secondo, ecc.

Possiamo quindi trarre la seguente importantissima conclusione.

Conclusione 4 [La misurazione è una stima]

Con una misurazione non è possibile determinare il risultato con infinite cifre, cioè infinitamente preciso ovvero la misura esatta.

I numero delle cifre con le quali scriviamo il numero ha un preciso significato.

Osserviamo il contachilometri parziale della automobile nel quale ci sono quattro cifre poi un punto ed ancora una cifra (spesso scritta su fondo rosso) per un totale di cinque cifre.

Il numero più grande che può indicare è quindi 9999.9. Se ad esempio l’indicazione è 0127.9 diciamo che sono stati percorsi 127 km e 900 m. In realtà non è così, potrebbero essere 127 km e 921 m oppure 127 km e 988 m o qualsiasi altro valore compreso tra 127 km e 900 Ad esempio nella misura della velocità è praticamente impossibile effettuare una misura diretta. Infatti dovremmo disporre di un campione omogeneo alla velocità da assumere come unità. Dovrebbe essere un oggetto che si muove con velocità unitaria in modo da poter essere confrontato direttamente (cioè

Osservazione 1

Per chiarire meglio

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Osservazione 1

Per chiarire meglio

m e 127 km e 999 m. In altre parole 0.9 km non significano 900 m ma solo 0.9 km perché la cifra 9 è incerta. Le cifre certe sono soltanto quelle del numero 127 che misura i chilometri.

Le cifre significative quindi sono 4, cioè le tre certe 127 e quella incerta 9.

Definizione 3 [Cifre significative]

Le cifre significative sono tutte quelle certe più la prima incerta.

La distanza reale percorsa rimane sconosciuta e, se la indichiamo con x, possiamo solo dire che 127.9 km<x<128.0 km.

Se il contachilometri parziale indica 0128.0 si hanno ancora quattro cifre significative, infatti ripetendo il ragionamento otteniamo

128.0 km<x<128.1 km

Nell’indicazione 0128.0 il primo zero non è significativo mentre l’ultimo è significativo perché ci indica la precisione con la quale è stata effettuata la misura. Il primo zero può non essere riportato mentre l’ultimo zero deve essere scritto.

In altre parole dal punto di vista matematico scrivere 128 oppure 128.0 è la stessa cosa.

Dal punto di vista della misura di una grandezza fisica 128 e 128.0 sono completamente diversi, il secondo è dieci volte più preciso del primo.

2. Classificazione degli errori nelle misure dirette

2.1 Introduzione

Una misura deve essere vista come una stima. La precisione del risultato finale di un esperimento non può essere migliore della precisione delle misure fatte durante la realizzazione dell’esperienza. L’obiettivo dello sperimentatore deve essere quello di fare le stime nel miglior modo possibile.

Ci sono molti fattori che contribuiscono alla precisione di una misura. In particolare, un operatore distratto ottiene spesso cattivi risultati. Comunque una misura grossolanamente sbagliata può essere individuata e non usata nell’analisi finale.

Ora parleremo di errori e di livello di precisione nel caso in cui l’esperimento è condotto da persone attente che fanno buon uso degli strumenti.

2.2 Sensibilità, risoluzione e fondo scala di uno strumento

La sensibilità di uno strumento è costituita dalla più piccola grandezza in grado di generare uno spostamento apprezzabile rispetto all’inizio della scala dello strumento. Così definita, la sensibilità determina il limite inferiore del campo di misura dello strumento, mentre il limite superiore è dato dal fondo scala: i due determinano insieme l’intervallo di funzionamento.

La risoluzione di uno strumento rappresenta la minima variazione apprezzabile della grandezza in esame attraverso tutto il campo di misura: essa rappresenta il valore dell’ultima cifra significativa ottenibile.

Si osservi che non sempre sensibilità e risoluzione coincidono: la loro differenza risiede nella definizione delle due grandezze. Infatti la sensibilità è relativa all’inizio del campo di misura, mentre la risoluzione è considerata sull’intero campo di misura dello strumento.

Se, come spesso accade, la scala dello strumento parte da zero ed è lineare la risoluzione è costante lungo tutto il campo di misura e risulta numericamente uguale alla sensibilità.

Osservazione 1

Per chiarire meglio

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Osservazione 1

Per chiarire meglio

Il fondo scala, infine, rappresenta il limite superiore del campo di misura e prende anche il nome di portata dello strumento: insieme alla sensibilità ne delimita l’intervallo di funzionamento.

2.3 Errore di sensibilità (incertezza strumentale)

Introduciamo il concetto di errore di sensibilità (o incertezza strumentale) con un semplice esempio: eseguiamo 10 volte la misura della lunghezza di un libro ottenendo sempre un valore compreso tra 35 cm e 36 cm.

Ci chiediamo a questo punto se il valore vero di questa lunghezza è 35 cm, 36 cm, oppure 35.5 cm.

È facile intuire che nessuna di queste tre misure può essere ritenuta uguale al valore vero, in quanto con il regolo graduato che stiamo utilizzando possiamo solamente concludere che quest’ultimo risulterà presumibilmente maggiore (o uguale) di 35 cm e minore (o uguale) di 36 cm.

Alla luce di quanto detto in precedenza possiamo affermare che quando i risultati di una serie di misurazioni di una stessa grandezza fisica, ottenuti utilizzando sempre la stessa strumentazione, risultano coincidenti allora non siamo in presenza del valore vero ma di una misura affetta da errore di sensibilità, attribuibile (in genere) alla non elevata qualità dei dispositivi utilizzati.

L’errore di sensibilità viene posto forfettariamente pari al valore della grandezza che corrisponde alla sensibilità (o alla risoluzione) dello strumento utilizzato. Occorre peraltro notare che in alcuni casi, soprattutto quando la risoluzione dello strumento risulta “bassa”, l’errore di sensibilità viene assunto pari alla metà della risoluzione strumentale.

Per evidenziare chiaramente la presenza dell’errore di sensibilità, il risultato finale assume la forma: x=x_m±e_s, dove x è il valore più probabile della grandezza e _m e è l’errore _s di sensibilità.

In base a queste considerazioni scriveremo il risultato finale dell’esempio precedente come L=(35.5±0.5) cm oppure L=(35.5±1.0) cm. Procedendo in questo modo vogliamo evidenziare che la misura è affetta da un’incertezza di 0.5 cm (oppure di 1.0 cm) dovuta alla strumentazione (cioè l’incertezza strumentale) e questa incertezza non è eliminabile, almeno con il regolo a nostra disposizione.

Qui di seguito sono riportati tre diversi strumenti tarati adatti alla misura di piccole lunghezze. È importante notare come al crescere della qualità della strumentazione migliora anche la sensibilità.

0 10 20 30 40

35.5 ± 0.5

Osservazione 1

Per chiarire meglio

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Osservazione 1

Per chiarire meglio

Il righello è uno strumento tarato con la sensibilità (risoluzione) di un millimetro. Possiamo solo dire con certezza che la misura è compresa tra 41.6 cm e 41.7 cm.

Con il calibro si può avere la sensibilità (risoluzione) di 1/20 mm.

Con il micrometro (palmer) si può avere la sensibilità (risoluzione) di 1/100 mm.

2.4 Errori sistematici

Le incertezze sperimentali che non possono essere individuate attraverso la ripetizione delle misure sono dette sistematiche.

La principale caratteristica di questo tipo di errori è, come già accennato, la loro difficile individuazione e valutazione in quanto non sono riconoscibili attraverso la ripetizione delle misure: è compito dello sperimentatore accertare la presenza di tali errori in base ad una

“sensibilità sperimentale” che si acquisisce soprattutto con la pratica.

Già da questi brevi cenni appare chiaro che il trattamento degli errori sistematici è tanto importante quanto delicato. La loro natura subdola, che “forza” la misura sempre nello stesso verso, ne rende difficile l’individuazione; nonostante ciò si conoscono le fonti principali di tali errori, qui di seguito sono elencate le più importanti:

• difetto dello strumento usato;

• interazione strumento-sperimentatore;

• interazione strumento-fenomeno in esame;

• errate condizioni di lavoro,

• imperfetta realizzazione del fenomeno.

I metodi per individuare tali errori sono fondamentalmente due, dettati direttamente dalla natura dell’errore sistematico: o si ricorre ad una previsione teorica del fenomeno e la si

Osservazione 1

Per chiarire meglio

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Osservazione 1

Per chiarire meglio

confronta con le misure ottenute, oppure si eseguono ulteriori misure utilizzando apparati diversi che evidenzino la presenza (ma non sempre la natura) di tali errori. Mentre attraverso il confronto con una previsione teorica può rimanere il dubbio che quest’ultima sia errata, ripetendo le misure con strumenti diversi, l’individuazione di possibili errori sistematici attraverso le discrepanze tra i valori ottenuti risulta molto più agevole.

Analizziamo adesso con maggiore dettaglio le principali cause di errori sistematici.

2.4.1 Difetto dello strumento usato

Tipici esempi di difetti di funzionamento sono quelli relativi alla taratura dello strumento. Infatti il funzionamento del dispositivo in uso non appare alterato, ma viene a mancare la concordanza tra la sua risposta e il valore effettivo della grandezza.

Per rendere chiaro quanto detto si pensi ad esempio all’errata taratura di un dinamometro, alla marcia di un orologio il cui meccanismo periodico per la scansione della frequenza non sia regolato sulla frequenza corretta, oppure ad una bilancia a bracci uguali con il perno dei bracci in posizione non corretta o dove, a causa di polvere o del deterioramento delle strutture, le oscillazioni non possano avvenire liberamente. Tutti questi apparati daranno dei risultati viziati da errori sistematici che andranno a influenzare il valore della misura sempre nello stesso verso: o in eccesso o in difetto.

Quando si ripetono le misure con lo stesso strumento, l’influenza del difetto strumentale rimane celata allo sperimentatore che eventualmente noterà delle fluttuazioni dovute ad errori casuali, ma sarà difficilmente portato a dubitare dell’affidabilità dello strumento che sta usando.

2.4.2 Interazione strumento-sperimentatore

Gli errori introdotti dall’interazione strumento-sperimentatore sono forse i più facili da eliminare in quanto sono frutto, spesso, di disattenzioni dello sperimentatore stesso. Per fare un esempio di disattenzione che possa dar origine ad errori sistematici, immaginiamo di prelevare una misura da uno strumento ad ago stando seduti di fianco ad esso. In questo modo, traguardando l’ago con la scala graduata dietro ad esso generalmente si introduce spesso un errore detto di “parallasse”. Per ovviare a questo problema, tipico degli strumenti ad ago, è stato ideato un piccolo stratagemma: viene applicato uno specchietto al di sotto della scala graduata in modo tale che, traguardando l’ago con la sua immagine riflessa fino a farli combaciare, si possa eliminare la parallasse. Si deve comunque notare che, anche attraverso questo stratagemma, non si riesce ad eliminare totalmente l’incertezza legata alla lettura del valore, poiché, per quanto ci si possa sforzare, non si riuscirà mai a posizionare gli occhi esattamente di fronte allo strumento. Persisteranno sempre delle piccole incertezze, riducibili usando un solo occhio per la lettura, ma non totalmente eliminabili.

2.4.3 Interazione strumento-fenomeno in esame

Il fatto che uno strumento, al momento dell’esecuzione della misura, interagisce col sistema fisico di cui si vuol misurare una grandezza modificandone in maniera più o meno consistente alcuni parametri, non è affatto chiaro alla maggior parte degli delle persone.

Anche se per la verità gran parte degli strumenti è stata realizzata in modo tale da non influenzare in maniera sensibile la misura per la quale sono stati ideati, è bene che uno sperimentatore sia al corrente del possibile rischio di “falsare” la misura attraverso l’interazione del proprio strumento con il sistema.

Ma in che modo l’apparecchio di misura incide sul risultato del finale?

Osservazione 1

Per chiarire meglio

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Osservazione 1

Per chiarire meglio

Per capirlo esaminiamo un esempio classico: supponiamo di voler misurare la temperatura di un liquido in un recipiente attraverso un termometro a mercurio. L’inserimento di quest’ultimo all’interno del fluido provocherà, nel caso che i due non si trovino alla stessa temperatura, un passaggio di calore dal corpo più caldo al corpo più freddo, modificando di conseguenza le temperature del termometro e del fluido.

Nel caso del termometro, valutare l’entità della perturbazione introdotta non è facile, mentre lo può essere in un altro caso, utile per la comprensione di questo tipo di problematica.

Immaginiamo un circuito percorso da corrente che per semplicità supporremo essere continua: se ora vogliamo misurare l’intensità della corrente che lo percorre inseriamo un amperometro in un punto qualunque del nostro circuito e registriamo il valore che viene visualizzato come valore effettivo della corrente nel circuito. A questo punto cerchiamo di capire dove risiede il problema: nel momento in cui inseriamo il tester nel circuito parte della corrente che attraversava quest’ultimo comincia a circolare nello strumento attraverso la sua resistenza interna. In questo modo, anche se la resistenza interna è di solito trascurabile rispetto a quella del circuito originale, è facile intuire che la nostra misura darà sempre valori approssimati per difetto.

2.4.4 Errate condizioni di lavoro

L’insorgere di errori sistematici dovuti ad errate condizioni di impiego della strumentazione è indipendente dalla presenza o meno di difetti insiti nella strumentazione stessa. Infatti con “errate condizioni di lavoro” si intendono tutte quelle situazioni in cui la taratura originale dello strumento viene meno. Questo accade, per strumenti quali, ad esempio, il calibro o il micrometro (palmer), quando si lavora a temperature lontane da quelle in cui sono stati tarati (di solito 20^o centigradi): in questo caso, i materiali di cui sono composti risentono della dilatazione termica alterando cosi la lettura. Per ovviare a questo inconveniente a volte è il costruttore stesso che fornisce una tabella o un grafico dove sia evidenziato il comportamento dei materiali al variare della temperatura per correggere tali effetti.

Per un altro strumento quale il contatore Geiger-Muller per la misura dell’intensità di radiazione, una condizione di lavoro non appropriata è rappresentata da una erronea scelta della soglia del potenziale di lavoro: al di fuori di questa l’efficienza del contatore cala molto rapidamente fino a dare dei valori non più corretti riguardo l’emissione.

2.4.5 Imperfetta realizzazione del fenomeno

A volte può capitare che non si riesca a realizzare un esperimento così come lo si era progettato: si prenda ad esempio la caduta di un grave.

Se attraverso questo esperimento si vuol verificare la legge del moto di un corpo immerso in un campo gravitazionale occorre eliminare o almeno tener conto della spinta di Archimede e dell’attrito dell’aria, agenti questi che introducono errori di tipo sistematico.

In generale ogni qualvolta che nella realizzazione di un esperimento si trascurano dei fattori legati ad esempio all’ambiente nel quale esso si svolge, si rischia di introdurre errori sistematici nella misura in cui gli elementi non considerati influiscono sull’evoluzione del fenomeno.

2.4.6 Conclusioni sugli errori sistematici

Torniamo all’esempio iniziale del contachilometri parziale dell’automobile. Questa volta lo usiamo per misurare la distanza tra le località A e B distanti diversi chilometri.

Osservazione 1

Per chiarire meglio