Il lato di un dado è pari a 2.1 cm.

Il lato di un dado è pari a 2.1 cm.

Usando le cifre significative per stimare l’errore calcolare il volume del cubo.

Supponendo che la deviazione standard nella misura del lato sia di 1 mm calcolare la deviazione standard che associata alla misura del volume. Supponendo ora che la deviazione standard sia di 0.5 mm, calcolare la deviazione standard sul volume.

Scrivere 2.1 cm implica dire che la misura sia compresa nell’intervallo 2.051 – 2.149 mm 1) Nota prima faccio i conti con tutte le cifre possibili

V=l ³ =(2.1) ³ =9.261

Poi scrivo il risultato finale con le cifre significative corrette V = 9.3 cm ³ Errore percentuale = 0.1/9.3 ~ 0.5 %

2) Anche in questo caso prima faccio i conti con tutte le cifre possibili, per trovare la deviazione standard devo usare la propagazione degli errori

V = 9.3 ± 1.2 cm ³ Errore percentuale = 1.3/9.3 ~ 14 %

3) E’ come il caso 2 con deviazione standard pari a 0.05 mm.

Devo usare la propagazione degli errori con sigma = 0.05 mm

V = 9.26 ± 0.66 cm ³ Errore percentuale = 0.66/9.26 ~ 7 %

In un esperimento per calibrare un pendolo per la misura dell’accelerazione di gravità si è misurato il periodo al variare della lunghezza del filo. Le misure ottenute sono state:

Il pendolo utilizzato funziona correttamente, cioè da il valore atteso di 9.806 m/s ² entro gli errori sperimentali per g ?

Esiste evidenza di un errore sistematico ?

Quanto sarebbe la lunghezza del pendolo per un periodo di oscillazione pari a 2.5 s ?

Verifico con una misura diretta di g

L’accelerazione di gravità sembra aumentare con la lunghezza del pendolo !

Estraendo il valore medio, la deviazione standard e la deviazione standard della media media

Il confronto con la probabilità che la misura sia una fluttuazione casuale del valore 9.806 da

(usando la distribuzione di Student, più corretta in questo caso) da una probabilità dell’11% che

giudichiamo essere NON accettabile

Faccio una regressione lineare (tempo sulle X – lunghezza sulle Y)

- Metto lo spostamento sulle Y poiche è il meno preciso e poiche è ragionevole avere li l’errore sistematico

Tabello i fattori necessari per calcolare i coefficienti della retta

Ho trovato il coefficiente angolare (m) ed il termine noto (q) Bisogna ora estrarre l’errore su queste due osservabili

  ²

1 2

2 2 2

2 2

2

1 







 



 

 

N

i

i i

y

i y a

y b

ax b N y

x N







 

 

 

  ²

2

1 2

1

























 



 







i i

i i i i

i

i i i

i

x x

N

y x x y

x a

y x y

x b

a bx y

  ²

1 2

2 2 2

2 2

2

1 







 



 

 

N

i

i i

y

i y a

y b

ax b N y

x N







 

Tabello i fattori necessari per calcolare l’errore

La deviazione standard sulla lunghezza data da sigma-y è di 0.15 mm – E sensata ? La deviazione standard percentuale sul termine noto è circa il 20%

La deviazione standard percentuale sul termine angolare è circa lo 0.024 %

Morale

1) l’accelerazione di gravità misurata NON è quella attesa, è sempre inferiore a 9.806

2) Analizzando i dati con una regressione lineare si ottiene un valore più vicino a quello atteso ma in ogni caso differente e non consistente con il valore atteso

3) Esiste un termine noto nella regressione lineare differente da zero e pari (se espresso in mm) a circa 1 mm o (se espresso in secondi) circa 2 ms

4) Ho quindi evidenza di un errore sistematico (ignoro se è nei tempi o nelle lunghezze o in

entrambi)

Nuova Domanda -> Estrapolazione

Devo estrapolare la regressione lineare per trovare la lunghezza del pendolo se T = 2.5 s

Cosa posso dire di piu’ ?

per verificare l’andamento lineare dei dati sperimentali devo fare un test del chi2 Questo verrà spiegato settimana prossima

    

 















N

i i y m

q

y x x

x q g T

L

a bx y

1 0 2 2 2

0 2 2

2 4

0

  





Un gas perfetto viene compresso adiabaticamente e i valori di pressione e volume registrati mediante sensori. I dati sono riportati in tabella

V (cm3) 80 60 40 20

P (millibar) 216.6 571.6 855 1508

Verificare usando il coefficiente di correlazione lineare, qual’è la forma funzionale della legge fisica più probabile tra le due proposte e calcolare ,in questo caso,a e b e i relativi errori.

a) P=a V ^b

b) P=a+bV

Log(p) = log(a) + b*log(V) P = a + bV

La misura dello spostamento di un oggetto e del tempo trascorso ha dato il seguente risultato:

s (cm) 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

t (ms) 12.6 12.7 13 13.1 13.4 13.7

Sapendo che la misura del tempo risulta essere più precisa di quella dello spostamento, estrarre dai dati la velocità S = VT del corpo e la sua posizione a t=0. Sapendo che l’errore sulla misura dello spostamento è di circa 1 mm come cambiano i risultati della regressione lineare ?

Poiché esiste una relazione lineare tra il tempo e lo spazio percorso allora il moto è rettilineo uniforme. Quindi la velocità è pari a 4.43 cm/s con una deviazione standard di 0.35 cm/s A t=0 la posizione è X = -53.5 con dev std pari a 4.6

Nel caso l’errore sulle Y sia di 1 mm allora non cambierà ne la pendenza ne l’incertezza.

Cambierà solo l’errore sigma-m = 0.11 e sigma-q=1.4 Nel caso si inverta X con Y si ha che m’ = 1/m e q’ = q/m.

I valori ottenuti non sono necessariamente esattamente uguali. Attenzione alle ipotesi usate nella regressione lineare.