10. ESERCIZI su FUNZIONI DERIVABILI, parte 2 Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa. 1. Sia f (x) funzione definita in R con f (x) · x

10. ESERCIZI su FUNZIONI DERIVABILI, parte 2

Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

1. Sia f (x) funzione definita in R con f(x) · x 0 per ogni x 2 R e derivabile in x 0 = 0. Posto g(x) = |f(x)|, si ha che

A. g(x) `e continua in x 0 = 0.

B. g(x) non `e derivabile in x 0 = 0.

2. Sia f (x) una funzione derivabile in R con f ⁰ (x) 6= 0 per ogni x 2 R, allora A. l’equazione f (x) = 0 non ammette soluzioni

B. l’equazione f (x) = 0 ammette al pi` u una soluzione C. l’equazione f (x) = 0 ammette almeno una soluzione

3. Sia f (x) funzione derivabile in R tale che f ⁰ (x) 6= 0 per ogni x 2 R. Allora A. f (x) `e iniettiva

B. Im f (x) = R C. esiste lim

x !+1 f (x)

Stabilire dove risultano derivabili le seguenti funzioni e, dove esiste, calcolarne la derivata 4. f (x) = x arctan _x ^{log x}

x

5. f (x) = p

(cosh x 1) ³ 6. f (x) = p

| sin x|

7. f (x) = log(1 + x ² ) sinh |x ² x |.

8. f _↵ (x) = 2 ^x

^x sinh ^↵ |x| al variare di ↵ > 0 Risolvere i seguenti problemi di ottimizzazione

9. Determinare il valore massimo della somma dei quadrati di due numeri reali non negativi la cui somma `e n 2 N.

10. Tra le aree di tutti i rettangoli inscritti in un ellisse di semiassi a e b determinare quella massima.

11. Determinare il raggio del cilindro circolare retto di volume massimo che pu` o essere inscritto in una sfera di raggio 1.

Determinare l’immagine delle seguenti funzioni 12. f (x) = log(x + 1) x ²

13. g(x) = x | log x| x

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14. f _↵ (x) = (↵ x)e ^x al variare di ↵ 2 R 15. f ↵ (x) = ↵ + log x

1 log x al variare di ↵ 2 R

Determinare il numero di soluzioni delle seguenti equazioni.

16. arcsin p x = p

1 x ² 17. e ^x |x ² 1 | = 1 18. arctan x

p 1 + x ²

x = ↵ al variare di ↵ 2 R 19. |x| ^↵ e ^x = 1 al variare di ↵ > 0

20. ↵x ² log(1 + x ² ) = 0 al variare di ↵ 2 R

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