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Esercizi sugli integrali

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Academic year: 2021

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Esercizi sugli integrali

Esercizio 1. Risolvi i seguenti integrali indeniti:

1. Z 1

(3 + 5x) 6 dx [− 1

25(3 + 5x) 5 + c]

2. Z √

x + 2dx [ 2( √

x + 2) 3

3 + c]

3. Z 1

4

2x + 1 dx [ 2( √

4

2x + 1) 3

3 + c]

4. Z x p

3 − 2x 2 dx [− 1

6 p(3 − 2x 2 ) 3 + c]

5. Z x

√ 2 − 3x 2 dx [− 1

3

√ 2 − 3x 2 + c]

6. Z x 3

√ 1 − x 4 dx [− 1 2

1 − x 4 + c]

7. Z

sin 5 (x) · cos(x)dx [ 1

6 sin 6 (x) + c]

8. Z log(x)

x dx [ 1 2 log 2(x) + c]

9. Z 1 x · 1

log(x) dx [log[log(x)| + c]

10. Z

3x · e x

2

dx [ 3

2 e x

2

+ c]

Esercizio 2. Risolvi i seguenti integrali deniti:

1. Z 1 0

x 3 dx [ 1

4 ] 2. Z 2

0

3x 2 dx [8]

3. Z 5

−1

7dx [42]

4. Z 1

−1

4x 2 dx [ 8

3 ] 5. Z 4

2

1

x 3 dx [ 3

32 ] 6. Z 4

0

x 2 − 4x + 4 dx [ 16

3 ] 7. Z 4

−4

−x 2 + 16 dx [ 256

3 ] 8. Z 3

1

 1

2 x 3 − 13

4 x 2 + 6x − 9 4



dx [ 4

3 ] 9. Z 1

−3

(x + 1) 3 dx [0]

10. Z 4 0

√ xdx [ 16

3 ]

1

(2)

11. Z 8 0

3

x 2 dx [ 96

5 ] 12. Z 2

0

x

(x 2 + 2) 3 dx [ 1

18 ] 13. Z 1

−1

1

x − 3 dx [− log(2)]

14. Z 1 0

1

2x − 3 dx [− log(3)

2 ] 15. Z 1

−1

e −3x dx [ e 3 − e −3

3 ]

16. Z

12

12

e 2x dx [ e 2 − 1

2e ] 17. Z 2

1

xe x

2

dx [ 1

2 e(e 3 − 1)]

18. Z

π4

0

sin(x)dx [1 −

√ 2 2 ] 19. Z

π3

π 6

cos(3x)dx [ π

12 ] 20. Z

π4

0

(sin(x) + cos(x)) 2 dx [ π

4 + 1 2 ] Esercizio 3. Dai la denizione di primitiva di una funzione e fornisci un esempio.

Esercizio 4. La primitiva di una funzione è unica? Motiva la risposta.

Esercizio 5. Dai la denizione di integrale denito partendo dalla costruzione delle somme infe- riori e superiori.

Esercizio 6. Enuncia il teorema fondamentale del calcolo integrale e fornisci un esempio.

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