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METODI MATEMATICI PER L’INGEGNERIA DELL’INFORMAZIONE (6 CFU) Elementi di topologia in Rn. Norme in

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Academic year: 2021

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METODI MATEMATICI PER L’INGEGNERIA DELL’INFORMAZIONE (6 CFU) Elementi di topologia in R

n

. Norme in R

n

. Disuguaglianze di Young, Holder, e Minkowski.

Insiemi compatti. Funzioni a valori reali. Massimi e minimi. Funzioni continue su insiemi compatti: teorema di Weierstrass. Calcolo differenziale in R

n

. Gradiente. Derivate direziona- li. Differenziabilit` a. Sottodifferenziali e sopradifferenziali e loro propriet` a. Formula di Taylor.

Analisi del resto. Resto secondo Peano. Matrice Hessiana. Forme quadratiche. Caratteriz- zazione delle forme definite. Studio di massimi e minimi locali e globali. Esempi di problemi vincolati. Calcolo di massimi e minimi in semplici insiemi compatti. Metodo dei moltiplica- tori di Lagrange. Definizione di insieme convesso. Funzioni convesse e strettamente convesse.

Definizione. Disuguaglianza discreta di Jensen. Minimi locali per funzioni convesse (minimo globale). Criteri di convessit` a per le funzioni differenziabili. Trasformata di Legendre-Fenchel.

Esempi. Funzioni convesse e regolarit` a C

2

. Complementi alle forme quadratiche. Le condizioni di Fritz John. Alcune condizioni di qualificazione dei vincoli. Le condizioni di Karush-Kuhn- Tucker. Dualit` a: problemi primali e duali. Esempi di problemi di controllo ottimo. La funzione valore. Il principio della programmazione dinamica e l’equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.

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