A.A. 2016/2017 Corso di Analisi Matematica 1

(1)

A.A. 2016/2017

Corso di Analisi Matematica 1

Stampato integrale delle lezioni

(Volume 3)

Massimo Gobbino

(2)

(3)

Indice

Lezione 094. Liminf e limsup di successioni: definizione, primi esempi, caratterizzazione, rapporto con l’eventuale limite. Teorema del confronto e teorema dei carabinieri in versione liminf/limsup. . . 7 Lezione 095. Dato un sottoinsieme dei reali, esiste una successione (volendo monotona)

a valori nell’insieme che tende al sup. Teorema delle sottosuccessioni in versione liminf/limsup. Caratterizzazione di liminf/limsup come minlim/maxlim. Utilizzo di stime e sottosuccessioni per determinare liminf/limsup. . . 12 Lezione 096. Criterio della radice, del rapporto e del rapporto–radice in versione li-

minf/limsup. Liminf/limsup del prodotto per una costante. Liminf/limsup della somma. Caso in cui uno dei due `e un limite. . . 17 Lezione 097. Liminf/limsup di funzioni: definizione, caratterizzazione come min-

lim/maxlim di successioni, priumi esempi. . . 23 Lezione 098. Linguaggio topologico nella retta reale: parte interna, chiusura, frontiera,

punti isolati, punti di accumulazione. Insiemi aperti e chiusi. Famiglie infinite di sottoinsiemi, e loro unione/intersezione. . . 29 Lezione 099. Caratterizzazione della chiusura per successioni. Topologia relativa.

Quattro facce della continuità: epsilon/delta, con le successioni, con i limiti, to- pologica. Equivalenza tra continuità epsilon/delta e continuità per successioni.

Continuit`a della composizione di funzioni continue. . . 33 Lezione 100. In un punto di massimo/minimo interno la derivata, se esiste, si annulla.

Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange. Controesempi ed interpretazioni geometriche. 38 Lezione 101. Enunciato e dimostrazione della formula di Taylor con resto di Peano e

di Lagrange. . . 44 Lezione 102. Dimostrazione dei teoremi di De L’Hˆopital. . . 49 Lezione 103. Teoremi di Stolz-Cesaro: enunciato, dimostrazione, esempi. Teorema

delle medie di Cesaro. Criterio rapporto -¿ radice come applicazione di Stolz-Cesaro. 54 Lezione 104. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Definizione di insieme compatto (come

chiuso e limitato). Dimostrazione del teorema di Weierstrass per funzioni continue su un compatto. Gli insiemi compatti ammettono max e min. Le funzioni continue non mandano chiusi in chiusi e limitati in limitati. . . 59

3

(4)

4 Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2016/2017 Lezione 105. Funzioni semicontinue inferiormente e superiormente: definizione, ca-

ratterizzazione con le successioni, esempi. Teorema di Weierstrass per funzioni semicontinue. Cosa succede a liminf/limsup di una successione quando si applica una funzione. . . 64 Lezione 106. Tre facce della compattezza: limitato e chiuso, compattezza per succes-

sioni, compattezza per ricoprimenti. Equivalenza tra le prime due. Le funzioni continue mandano compatti per successioni in compatti per successioni. Compatto per ricoprimenti implica limitato e chiuso. . . 70 Lezione 107. Le funzioni continue mandano compatti per ricoprimenti in compatti per

ricoprimenti. Lemma del raggio magico (numero di Lebesgue). Lemma dei distri- butori (esistenza della epsilon rete). Compatto per successioni implica compatto per ricoprimenti. Idea per dimostrazione alternativa del teorema di Weierstrass. . 75 Lezione 108. Definizione di successione di Cauchy e prime propriet`a. Completez-

za dei numeri reali: dimostrazione via liminf/limsup e via Bolzano-Weierstrass.

Equivalenza tra assioma di continuit`a e completezza + propriet`a archimedea. . . . 80 Lezione 109. Funzioni uniformemente continue: definizione, commenti, prime pro-

prietà. Lipschitzianità implica uniforme continuità. . . 86 Lezione 110. Teorema di Heine-Cantor: enunciato e due dimostrazioni (per assurdo

via compattezza per successioni, diretta via compattezza per ricoprimenti e raggio magico). Teorema di estensione: enunciato e dimostrazione. . . 91 Lezione 111. Uniformemente continua in una semiretta implica sublineare. Conti-

nua in una semiretta più limite finito implica uniformemente continua. Esercizi sull’uniforme continuità. . . 97 Lezione 112. Funzioni Holderiane: definizione, commenti, prime proprietà. Rapporti

tra Lipschitzianità, Holderianità, uniforme continuità, continuità, sia su insiemi generali, sia su insiemi limitati. . . 102 Lezione 113. Strategie per dimostrare che una funzione è (o non è) Lipschitzia-

na/Holderiana/uniformemente continua. Holderianit`a vs Lipschitzianit`a di oppor- tune potenze. Esempi di applicazione delle strategie. . . 107 Lezione 114. Combinazioni convesse e sottoinsiemi convessi della retta. Funzioni con-

vesse e strettamente convesse: definizione algebrica e significato geometrico. Ca- ratterizzazioni delle funzioni convesse: lemma dei due e dei tre rapporti incrementali.112 Lezione 115. Funzioni convesse: legami tra convessit`a e crescenza della derivata prima

(posto che questa esista), legami tra convessità e segno della derivata seconda (posto che questa esista). Continuità e locale lipschitzianità nella parte interna dell’insieme di definizione. Il max/sup di funzioni convesse è convessa. . . 117 Lezione 116. Funzioni convesse: derivata destra e sinistra (definizioni, esistenza, re-

lazione tra le due, monotonia, continuit`a a destra/sinistra). Caratterizzazione dei punti di derivabilit`a in termini di derivata destra/sinistra. . . 123

(5)

Stampato integrale delle lezioni (Volume 3) 5 Lezione 117. Disuguaglianze di convessit`a. Le funzioni convesse stanno sopra le rette

tangenti (sia nel caso regolare, sia nel caso generale). Disuguaglianza di Jensen (dimostrazione induttiva e dimostrazione via retta tangente). Disuguaglianza di Bernoulli come disuguaglianza di convessit`a. Disuguaglianza di Young. . . 129 Lezione 118. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: dimostrazione classica e per omoge-

neit`a. Disuguaglianza di Holder con due o pi`u specie. Medie p-esime e disuguaglianza tra le medie. . . 135 Lezione 119. Complementi sulle funzioni convesse (punti di massimo/minimo, pun-

ti stazionari, semicontinuità superiore, prodotto di funzioni convesse). Legami tra integrabilità in senso improprio su una semiretta, limiti all’infinito, uniforme continuità. . . 140 Lezione 120. Relazioni tra monotonia, iniettività, continuità. Lemma della sotto-sotto-

successione. Continuit`a della funzione inversa (insieme di partenza compatto). . . 145 Lezione 121. Continuit`a della funzione inversa (insieme di partenza convesso). Derivata

della funzione inversa. Ulteriore regolarit`a della funzione inversa e calcolo dei suoi polinomi di Taylor. . . 150 Lezione 122. Ricapitolazione sui simboli di Landau: o piccolo, O grande, equivalenza

asintotica. Rapporti tra le definizioni ed esempi. . . 155 Lezione 123. Propriet`a di Darboux delle derivate. Come dimostrare che una funzione

`

e derivabile o non derivabile in un punto. . . 160 Lezione 124. Formula di Stirling per l’approssimazione del fattoriale (equivalenza

asintotica e stima dal basso) e prodotto di Wallis. . . 165 Lezione 125. Stima dell’errore nel metodo dei trapezi per il calcolo approssimato di un

integrale. Stima asintotica per l’integrale della potenza n-esima del seno. Calcolo dell’integrale gaussiano a partire dalla stima asintotica precedente. . . 170 Lezione 126. Tre diverse definizioni di integrale: secondo Darboux unrestricted, secondo

Darboux ortodossa, secondo Riemann. Integrabilit`a delle funzioni continue su un intervallo. . . 175 Lezione 127. Dimostrazione dell’equivalenza tra le tre definizioni di integrale, ed in

particolare del fatto che una funzione integrabile secondo Darboux `e integrabile secondo Riemann. . . 180 Lezione 128. Postilla alla dimostrazione dell’implicazione tra integrabilit`a alla Dar-

boux e alla Riemann. Integrabilit`a del valore assoluto, del massimo/minimo e del prodotto di funzioni integrabili. . . 185 Lezione 129. Propriet`a di riordinamento e di raggruppamento per serie numeriche

assolutamente convergenti. Teorema di riordinamento di Riemann (riordinamento di serie convergenti, ma non assolutamente convergenti). . . 191

(6)

6 Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2016/2017 Lezione 130. Dimostrazione della formula per la derivata della funzione composta.

Moduli di continuit`a. Approssimazione di integrali mediante somme di Riemann:

stima dell’errore in funzione del modulo di continuit`a. . . 195 Lezione 131. Esempi di funzioni di classe C-infinito con tutte le derivate nulle in un

punto. Raccordo C-infinito tra due costanti. Approssimazione di funzioni integrabili mediante funzioni di classe C-infinito. Dimostrazione dell’integrabilit`a di una funzione discontinua in un punto. . . 200 Lezione 132. Definizioni formali degli insiemi numerici: numeri naturali via assiomi di

Peano, interi via quoziente su coppie di naturali, razionali via quoziente su coppie di interi, reali via sezioni di Dedekind (o semirette sinistre) di razionali. . . 205 Lezione 133. Funzioni elementari rivisitate: continuit`a e surgettivit`a delle potenze ad

esponente intero e delle relative inverse. Definizione dell’esponenziale via equazione funzionale, e sua monotonia e continuit`a. Accenno alla definizione delle funzioni trigonometriche via equazioni funzionali. . . 210 Lezione 134. Densit`a dei naturali sulla circonferenza trigonometrica. Teorema di ap-

prossimazione di Dirichlet (approssimazione degli irrazionali mediante frazioni).

Insiemi strani 1: accenno all’insieme di Cantor. . . 215 Lezione 135. Insiemi strani 2: razionali ingrassati. Dimostrazione dell’irrazionalit`a del

numero e. Serie armonica generalizzata ristretta agli interi che si scrivono in base 10 senza usare una data cifra. Divergenza della serie dei reciproci dei primi. . . 220

(7)

Stampato integrale delle lezioni (Volume 3) 7

Lezione 094

(8)

8 Corso di Analisi Matematica 1 – A.A. 2016/2017

Lezione 094

(9)

Lezione 094

(10)

Lezione 094

(11)

Lezione 094

(12)

Lezione 095

(13)

Lezione 095

(14)

Lezione 095

(15)

Lezione 095

(16)

Lezione 095

(17)

Lezione 096

(18)

Lezione 096

(19)

Lezione 096

(20)

Lezione 096

(21)

Lezione 096

(22)

Lezione 096

(23)

Lezione 097

(24)

Lezione 097

(25)

Lezione 097

(26)

Lezione 097

(27)

Lezione 097

(28)

Lezione 097

(29)

Lezione 098

(30)

Lezione 098

(31)

Lezione 098

(32)

Lezione 098

(33)

Lezione 099

(34)

Lezione 099

(35)

Lezione 099

(36)

Lezione 099

(37)

Lezione 099

(38)

Lezione 100

(39)

Lezione 100

(40)

Lezione 100

(41)

Lezione 100

(42)

Lezione 100

(43)

Lezione 100

(44)

Lezione 101

(45)

Lezione 101

(46)

Lezione 101

(47)

Lezione 101

(48)

Lezione 101

(49)

Lezione 102

(50)

Lezione 102

(51)

Lezione 102

(52)

Lezione 102

(53)

Lezione 102

(54)

Lezione 103

(55)

Lezione 103

(56)

Lezione 103

(57)

Lezione 103

(58)

Lezione 103

(59)

Lezione 104

(60)

Lezione 104

(61)

Lezione 104

(62)

Lezione 104

(63)

Lezione 104

(64)

Lezione 105

(65)

Lezione 105

(66)

Lezione 105

(67)

Lezione 105

(68)

Lezione 105

(69)

Lezione 105

(70)

Lezione 106

(71)

Lezione 106

(72)

Lezione 106

(73)

Lezione 106

(74)

Lezione 106

(75)

Lezione 107

(76)

Lezione 107

(77)

Lezione 107

(78)

Lezione 107

(79)

Lezione 107

(80)

Lezione 108

(81)

Lezione 108

(82)

Lezione 108

(83)

Lezione 108

(84)

Lezione 108

(85)

Lezione 108

(86)

Lezione 109

(87)

Lezione 109

(88)

Lezione 109

(89)

Lezione 109

(90)

Lezione 109

(91)

Lezione 110

(92)

Lezione 110

(93)

Lezione 110

(94)

Lezione 110

(95)

Lezione 110

(96)

Lezione 110

(97)

Lezione 111

(98)

Lezione 111

(99)

Lezione 111

(100)

Lezione 111

(101)

Lezione 111

(102)

Lezione 112

(103)

Lezione 112

(104)

Lezione 112

(105)

Lezione 112

(106)

Lezione 112

(107)

Lezione 113

(108)

Lezione 113

(109)

Lezione 113

(110)

Lezione 113

(111)

Lezione 113

(112)

Lezione 114

(113)

Lezione 114

(114)

Lezione 114

(115)

Lezione 114

(116)

Lezione 114

(117)

Lezione 115

(118)

Lezione 115

(119)

Lezione 115

(120)

Lezione 115

(121)

Lezione 115

(122)

Lezione 115

(123)

Lezione 116

(124)

Lezione 116

(125)

Lezione 116

(126)

Lezione 116

(127)

Lezione 116

(128)

Lezione 116

(129)

Lezione 117

(130)

Lezione 117

(131)

Lezione 117

(132)

Lezione 117

(133)

Lezione 117

(134)

Lezione 117

(135)

Lezione 118

(136)

Lezione 118

(137)

Lezione 118

(138)

Lezione 118

(139)

Lezione 118

(140)

Lezione 119

(141)

Lezione 119

(142)

Lezione 119

(143)

Lezione 119

(144)

Lezione 119

(145)

Lezione 120

(146)

Lezione 120

(147)

Lezione 120

(148)

Lezione 120

(149)

Lezione 120

(150)

Lezione 121

(151)

Lezione 121

(152)

Lezione 121

(153)

Lezione 121

(154)

Lezione 121

(155)

Lezione 122

(156)

Lezione 122

(157)

Lezione 122

(158)

Lezione 122

(159)

Lezione 122

(160)

Lezione 123

(161)

Lezione 123

(162)

Lezione 123

(163)

Lezione 123

(164)

Lezione 123

(165)

Lezione 124

(166)

Lezione 124

(167)

Lezione 124

(168)

Lezione 124

(169)

Lezione 124

(170)

Lezione 125

(171)

Lezione 125

(172)

Lezione 125

(173)

Lezione 125

(174)

Lezione 125

(175)

Lezione 126

(176)

Lezione 126

(177)

Lezione 126

(178)

Lezione 126

(179)

Lezione 126

(180)

Lezione 127

(181)

Lezione 127

(182)

Lezione 127

(183)

Lezione 127

(184)

Lezione 127

(185)

Lezione 128

(186)

Lezione 128

(187)

Lezione 128

(188)

Lezione 128

(189)

Lezione 128

(190)

Lezione 128

(191)

Lezione 129

(192)

Lezione 129

(193)

Lezione 129

(194)

Lezione 129

(195)

Lezione 130

(196)

Lezione 130

(197)

Lezione 130

(198)

Lezione 130

(199)

Lezione 130

(200)

Lezione 131