Teorema di Weierstrass. Teoremi sulle funzioni derivabili
Teorema di Weierstrass. (Funzioni continue su un compatto).
Teorema di Fermat.
Teorema di Rolle.
Teorema dei valori intermedi (o degli incrementi finiti) di Lagrange.
Funzioni derivabili monot` one su un intervallo.
Teorema di Cauchy.
Regola di de L’Hospital.
(Versione: 14/10/2020)
Funzioni continue su un compatto. (Weierstrass)
Definizione (Funzione limitata)
Una funzione D −→ R si dice f limitata se la sua immagine Im(f ) ` e un sottoinsieme limitato di R:
(∃H ∈ R) (∀x ∈ D) |f (x)| ≤ H Teorema (Weierstrass, versione 1.)
Una funzione [a, b] −→ R continua su un intervallo compatto [a, b] f
` e limitata. Inoltre, f assume il valore massimo e il valore minimo.
Cio` e, esistono p, q ∈ [a, b] tali che, per ogni x ∈ [a, b]:
f (q) ≤ f (x ) ≤ f (p)
Il Teorema di Weierstrass. (Formulazione equivalente)
Il teorema di Weierstrass si pu` o enunciare nel modo seguente:
Teorema (Weierstrass, versione 2.)
Se [a, b] −→ R `e una funzione continua su un f intervallo compatto I = [a, b], allora la sua immagine f (I ) ` e l’intervallo compatto:
f ([a, b]) = [m, M]
dove m e M sono il valore minimo e il valore massimo che f assume sul suo dominio I = [a, b].
Commento. Per il teorema dei valori intermedi, f ([a, b]) deve
essere un intervallo J. Per Weierstrass versione 1, J deve essere
limitato e inoltre deve contenere il valore minimo m e il valore
massimo M. Quindi si deve avere J = [m, M].
Il Teorema di Weierstrass. Im(f ) = [m, M]
x y
a f (b)
b f (a)
f ([a, b])
m M
Ogni funzione continua su un intervallo compatto ` e limitata e
assume il valore massimo e il minimo; Im(f ) = [m, M].
Il Teorema di Weierstrass. Dimostrazione
Dimostrazione.(Teorema di Weierstrass) Dimostriamo che f as- sume il valore massimo (idem per il minimo). Sia L = sup f su I 0 = [a, b]. A priori, potrebbe essere L = +∞, ma la dimostrazione ci dir` a che L ` e finito. Bisechiamo I 0 con il punto di mezzo c 1 . In (almeno) uno degli intervalli [a, c 1 ], [c 1 , b], chiamiamolo I 1 , si avr` a sup I
1f = L. Iterando le bisezioni, costruiamo una successione di intervalli compatti inscatolati I n di ampiezza tendente a 0; sia c ∈ [a, b] il punto da essa individuato. Per la continuit` a di f in c, fissato ε > 0, esiste un δ > 0 tale che
x ∈ (c − δ, c + δ) =⇒ h
f (c) − ε < f (x ) < f (c) + ε i Siccome ci sono intervalli I n interamente contenuti in (c − δ, c + δ) si pu` o affermare che L ≤ f (c) + ε. Del resto, f (c) ≤ L. Dunque, f (c) ≤ L ≤ f (c) + ε. Per l’arbitrariet` a di ε, si deduce che L = f (c).
Dunque f (c) ` e il valore massimo (assoluto o globale) e c ` e un punto
di massimo.
Punti di massimo o minimo locale per una funzione
Definizione
Sia D −→ R una funzione definita su un sottoinsieme D ⊂ R. f
1 Un punto x 0 ∈ D `e punto di massimo locale per f , e il valore f (x 0 ) si chiama un massimo locale per f , se esiste un intorno I di x 0 tale che per ogni x ∈ I ∩ D si abbia
f (x 0 ) ≥ f (x ) (1)
2 Un punto x 0 in D ` e un punto di minimo locale per f , e il valore f (x 0 ) si chiama un minimo locale per f , se esiste un intorno I di x 0 tale che per ogni x ∈ I ∩ D si abbia
f (x 0 ) ≤ f (x ) (2)
Teorema d Fermat
Definizione
Un punto x 0 , appartenente a un insieme D ⊂ R, si dice interno a D se esiste un intorno I (x 0 ; r ) = (x 0 − r , x 0 + r ), di raggio r > 0, incluso in D:
I (x 0 ; r ) ⊂ D
Teorema (Fermat)
Sia D −→ R una funzione a valori reali definita su un insieme f D ⊂ R. Supponiamo che:
1 x 0 sia un punto di massimo (o di minimo) locale per f ;
2 x 0 sia interno a D;
3 f sia derivabile in x 0 .
Allora x 0 ` e un punto stazionario di f (o critico), cio` e f 0 (x 0 ) = 0.
Punti di massimo o minimo locale interni o di frontiera
x y
minimi locali massimo locale
il minimo assoluto (globale)
a x 1 x 2 x 3 b
il massimo assoluto (globale)
x 1 , x 2 , x 3 : punti di minimo o massimo locale, interni, in cui la funzione ` e derivabile: =⇒ (Fermat) f 0 (x 1 ) = f 0 (x 2 ) = f 0 (x 3 ) = 0.
a, b: punti di massimo locale (o globale) non interni (sulla
frontiera). (Non soddisfano le ipotesi del teorema di Fermat).
Dimostrazione del teorema di Fermat
Sia x 0 un punto di massimo locale per f . Esiste un intorno sufficientemente piccolo I di x 0 con le due propriet` a seguenti:
I ⊂ D (perch´ e x 0 ` e interno a D) e
∀x ∈ I f (x ) − f (x 0 ) ≤ 0 (3)
(perch´ e x 0 ` e punto di massimo locale). Per ogni x ∈ I , x 6= x 0 , si ha allora
f (x ) − f (x 0 ) x − x 0
≤ 0 (4)
se x > x 0 e
f (x ) − f (x 0 ) x − x 0
≥ 0 (5)
se x < x 0 . Passando al limite per x che tende a x 0 , si ricava rispettivamente f 0 (x 0 ) ≤ 0 e f 0 (x 0 ) ≥ 0. Di conseguenza
f 0 (x 0 ) = 0.
Teorema di Rolle
Teorema (Rolle, 1690) Ipotesi
1 [a, b] −→ R continua su [a, b], derivabile su (a, b). f
2 f (a) = f (b) Tesi
∃c ∈ (a, b) f 0 (c) = 0
f (a) = f (b)
c
a b
Dimostrazione (teorema di Rolle)
Per il teorema di Weierstrass la funzione f , continua sul compatto [a, b], assume il suo valore massimo M e il suo valore minimo m.
Questo significa che esistono (almeno) un punto x M ∈ [a, b] e (almeno) un punto x m ∈ [a, b] tali che f (x M ) = M e f (x m ) = m.
Sono possibili due casi.
(1) Sia x M sia x m cadono negli estremi di [a, b]. In tale caso, per l’ipotesi f (a) = f (b), si ha M = m. Ma allora f ` e costante, e quindi f 0 (x ) = 0 addirittura in ogni punto x di (a, b).
(2) Almeno uno dei due punti x m , x M ` e interno ad [a, b]. Allora, per il teorema di Fermat, in un tale punto la derivata si annulla .
Dunque, in ogni caso esiste (almeno) un punto c nell’intervallo
aperto (a, b) in cui la derivata si annulla.
Teorema del Valore Medio (o degli incrementi finiti)
Teorema (del Valore Medio (di Lagrange)) Ipotesi
[a, b] −→ R continua su [a, b], derivabile su (a, b). f Tesi
∃c ∈ (a, b) f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a)
f (b) − f (a) = f 0 (c) (b − a) A
B
c
a b
Dimostrazione del teorema del valore medio (Lagrange) La funzione, definita sull’intervallo [a, b],
g (x ) = f (x ) −
f (a) + f (b) − f (a)
b − a (x − a)
| {z }
retta AB
soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle. Dunque, esiste un punto c in (a, b) in cui g 0 (c) = 0. La derivata di g (x ) ` e
g 0 (x ) = f 0 (x ) − f (b) − f (a) b − a Quindi si ha
0 = g 0 (c) = f 0 (c) − f (b) − f (a) b − a
che ` e la tesi.
Funzioni con derivata nulla su un intervallo
Teorema (Derivata nulla su un intervallo) Ipotesi
1 I intervallo.
2 I −→ R derivabile. f
3 ∀x ∈ I f 0 (x ) = 0 Tesi
f costante. (Cio` e: (∃c ∈ R) (∀x ∈ I ) f (x) = c.) Dimostrazione
Prendiamo due punti qualsiasi x 1 , x 2 ∈ I . Per il Teorema di Lagrange, esiste un punto c, compreso tra x 1 e x 2 , per il quale f (x 2 ) − f (x 1 ) = f 0 (c)(x 2 − x 1 ) = 0 · (x 2 − x 1 ) = 0
Ne segue f (x 1 ) = f (x 2 ). Quindi f ` e costante.
Esercizio
La funzione R \ 0 −→ R f
f (x ) = arctan x + arctan 1
x ∀x 6= 0
` e costante?
Risposta. f 0 (x ) = 0 per ogni x nel dominio di f , ma f non ` e costante. Perch´ e? La ragione va cercata nella topologia del dominio (−∞, 0) ∪ (0, +∞), che non ` e connesso (non ` e un intervallo di R). La nostra funzione f `e costante su ogni
componente connessa del dominio; cio` e, f ` e costante su (−∞, 0) ed ` e costante su (0, +∞), intervalli sui quali assume
rispettivamente i valori − π 2 e π 2 . L’annullarsi della derivata implica
che f sia (non costante, ma) localmente costante. Questo significa
che per ogni x ∈ dom(f ) esiste un intorno U sul quale f ` e costante.
Funzioni con derivate uguali su un intervallo
Teorema (Derivate uguali su un intervallo) Ipotesi
1 I intervallo.
2 I −→ R e I f −→ R derivabili. g
3 ∀x ∈ I f 0 (x ) = g 0 (x ) Tesi
f e g differiscono per una costante.
(Cio` e: (∃c ∈ R) (∀x ∈ I ) f (x) = g (x) + c) Dimostrazione
Per il teorema precedente, ϕ(x ) = f (x ) − g (x ) ` e costante.
Funzioni monot` one e strettamente monot` one
Definizione (Funzioni monot` one e strettamente monot` one) Siano D un sottoinsieme qualunque di R (non richiediamo che sia un intervallo) e D −→ R una funzione. La funzione f si dice: f
1 monot` ona crescente (in senso debole) se:
(∀x 1 , x 2 ∈ D) x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) ≤ f (x 2 )
2 monot` ona decrescente (in senso debole) se:
(∀x 1 , x 2 ∈ D) x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) ≥ f (x 2 )
3 strettamente crescente se:
(∀x 1 , x 2 ∈ D) x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) < f (x 2 )
4 strettamente decrescente se:
(∀x 1 , x 2 ∈ D) x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) > f (x 2 )
5 monot` ona se ` e monot` ona crescente o monot` ona decrescente.
6 strettamente monot` ona se ` e strettamente crescente o
strettamente decrescente.
Funzioni derivabili strettamente monot` one
Teorema (Funzioni derivabili strettamente monot` one)
Sia I un intervallo aperto e sia f una funzione reale derivabile su I .
1 Se f 0 (x ) > 0 in ogni punto x ∈ I , allora f ` e strettamente crescente su I .
2 Se f 0 (x ) < 0 in ogni punto x ∈ I , allora f ` e strettamente decrescente su I .
Dimostrazione. (Affermazione (1))
Siano x 1 , x 2 due punti di I , con x 1 < x 2 . Per il Teorema di Lagrange esiste un punto c, compreso tra x 1 e x 2 , per il quale
f (x 1 ) − f (x 2 ) = f 0 (c)
| {z }
>0
(x 1 − x 2 )
| {z }
<0
< 0
Dunque f ` e strettamente crescente su I . (La (2) ` e analoga).
Attenzione: nel teorema appena dimostrato, l’ipotesi che I sia un intervallo non si pu` o eliminare:
Esercizio
Poniamo R \ 0 −→ R, f (x) = − f 1 x .
Dimostrare che f ` e derivabile, f 0 (x ) > 0 per ogni x nel dominio di f , ma f non ` e strettamente crescente (e nemmeno monot` ona crescente).
Esercizio
Sia f una funzione strettamente crescente e derivabile su un intervallo I . Possiamo concludere che si abbia f 0 (x ) > 0 per ogni x ∈ I ?
Risposta No. Controesempio: la funzione R −→ R, f (x) = x f 3 , ` e
strettamente crescente e derivabile sull’intervallo R, ma f 0 (0) = 0.
Funzioni derivabili monot` one su un intervallo
Teorema
Sia I un intervallo e sia f una funzione reale derivabile su I . Allora:
1 f monot` ona crescente su I ⇐⇒ f 0 (x ) ≥ 0 per ogni x ∈ I
2 f monot` ona decrescente su I ⇐⇒ f 0 (x ) ≤ 0 per ogni x ∈ I Dimostriamo l’affermazione (1) (La dimostrazione
dell’affermazione (2) ` e analoga).
Dimostrazione dell’affermazione (1): =⇒
Fissiamo x 0 ∈ I . Poich´e, per ipotesi, f `e monot` ona crescente, il rapporto incrementale ` e sempre maggiore o uguale a zero. Quindi (permanenza del segno), per x → x 0 il limite del rapporto
incrementale (la derivata) resta maggiore o uguale a zero:
f 0 (x 0 ) = lim
x →x
0f (x ) − f (x 0 ) x − x 0 ≥ 0
Dimostrazione dell’affermazione (1): ⇐=
Siano x 1 , x 2 ∈ I , con x 1 < x 2 . Per il Teorema di Lagrange, esiste un punto c, x 1 < c < x 2 , tale che
f (x 1 ) − f (x 2 ) = f 0 (c)
| {z }
≥0
(x 1 − x 2 )
| {z }
<0
≤ 0
(Per ipotesi, f 0 (c) ≥ 0.) Dunque f ` e monot` ona crescente in I .
Teorema di Cauchy
Teorema (di Cauchy)
Siano f e g due funzioni continue sull’intervallo compatto [a, b] e derivabili sull’intervallo aperto (a, b). Supponiamo g 0 (x ) 6= 0 per ogni x in (a, b). Allora esiste (almeno) un punto c ∈ (a, b) per il quale
f (b) − f (a)
g (b) − g (a) = f 0 (c)
g 0 (c) (6)
Interpretazione geometrica del Teorema di Cauchy
B = ~r(b)
~r(a) = A
(g 0 (γ), f 0 (γ)) = ~ r 0 (γ) (f 0 (γ), −g 0 (γ)) = ~ w (γ)
~r(b) − ~r( a)
Data una curva parametrizzata [a, b] −→ R 2 , t 7−→ ~r(t) = (g (t), f (t)), esiste almeno un c ∈ (a, b) tale che il vettore velocit` a
~ r 0 (c) = (g 0 (c), f 0 (c)) sia parallelo alla corda AB che congiunge i punti
estremi. (Vedere le note al sito del corso per la dimostrazione.)
Regole di de L’Hospital
Teorema (Joh. Bernoulli 1691, de L’Hospital 1696. Caso 0 0 .) Siano f e g due funzioni continue sull’intervallo [x 0 , b] (x 0 ∈ R) e derivabili in (x 0 , b). Supponiamo che valgano le seguenti ipotesi:
1 f (x 0 ) = g (x 0 ) = 0.
2 g 0 (x ) 6= 0 per ogni x ∈ (x 0 , b).
3 Esiste (finito o infinito) il limite lim x →x
+0
f
0(x ) g
0(x ) = L Allora esiste anche il limite lim x →x
+0
f (x )
g (x ) ed ` e uguale al precedente:
lim
x →x
0+f (x ) g (x ) = L
Limitiamoci a fare la dimostrazione nel caso L finito.
Dimostrazione di de L’Hospital
Caso L finito.
Applichiamo il teorema di Cauchy alla coppia di funzioni f ,g sull’intervallo [x 0 , x ]. Poich´ e f (x 0 ) = g (x 0 ) = 0, il teorema di Cauchy dice che
f (x )
g (x ) = f (x ) − f (x 0 )
g (x ) − g (x 0 ) = f 0 (c) g 0 (c)
per un opportuno c soddisfacente x 0 < c < x . Per x → x 0 + , anche il punto c, soddisfacente x 0 < c < x , tende a x 0 . Quindi, per x → x 0 + , poich´ e
f (x )
g (x ) = f 0 (c) g 0 (c)
e g f
00(x ) (x ) → L anche f (x ) g (x ) = f g
00(c) (c) → L.
Teorema (de L’Hospital, caso ∞ ∞ . (Senza dimostrazione))
Siano f e g due funzioni continue sull’intervallo [x 0 , b] e derivabili in (x 0 , b). Supponiamo che valgano le seguenti condizioni:
1 lim x →x
+0
f (x ) = lim x →x
+0
g (x ) = +∞
2 g 0 (x ) 6= 0 per ogni x ∈ (x 0 , b).
3 Esiste (finito o infinito) il limite lim
x →x
0+f 0 (x )
g 0 (x ) = L (7)
Allora esiste anche il limite lim x →x
+0
f (x )
g (x ) ed ` e uguale al precedente:
lim
x →x
0+f (x )
g (x ) = L (8)
(Non facciamo la dimostrazione).
Altri casi di de L’Hospital
Infine, le regole di de L’Hospital valgono anche per le forme di indeterminazione 0 0 o ∞ ∞ quando x tende a +∞ o −∞.
L’enunciato ` e sempre dello stesso tipo: se esiste il limite
x →+∞ lim f 0 (x ) g 0 (x ) = L
(finito o infinito) allora esiste anche il limite lim x →+∞ f (x ) g (x ) ed ` e uguale al precedente:
x →+∞ lim
f (x )
g (x ) = L
Teorema (de L’Hospital, caso ∞ ∞ . (Senza dimostrazione))
Siano f e g due funzioni continue sull’intervallo [x 0 , b] e derivabili in (x 0 , b). Supponiamo che valgano le seguenti condizioni:
1 lim x →x
+0
f (x ) = lim x →x
+0
g (x ) = +∞
2 g 0 (x ) 6= 0 per ogni x ∈ (x 0 , b).
3 Esiste (finito o infinito) il limite lim
x →x
0+f 0 (x )
g 0 (x ) = L (9)
Allora esiste anche il limite lim x →x
+0
