Sistemi Dinamici e Meccanica Classica A/A 2010—2011.
Esame del 15/09/2011
Sistemi Dinamici
Esercizio SD1. Per la sufficienza: punti 1 e 2
1) Si studi qualitativamente il sistema dinamico definito da ( ˙x = y
˙y = −dU(x)
dx , con U(x) = x4− x
3
− 4x
2
− x + 1, tracciandone il diagramma di fase.
2) Si determinino le frequenze di oscillazione attorno ai punti di equilibrio stabile e le rette tangenti alle separatrici nei punti di equilibrio instabile.
3) Si scriva l’integrale che d`a il periodo del moto attorno al punto di equilibrio stabile con ascissa positiva, con valore nullo dell’Energia.
Esercizio SD2 – Per i 12 crediti. Si consideri il sistema dinamico:
˙x = x2+ xy − y2+ 4
˙y = xy + x (1)
Si determinino i punti di equilibrio e se ne discuta la stabilit`a con il primo metodo di Lya- punov.
Meccanica Hamiltoniana
Esercizio H1. Si dimostri che la trasformazione
Q1 = q1+ q2 P1 = p1q1− p2q2 q1− q2
− 2(q1+ q2) Q2 = q1q2 P2 = p1− p2
q2− q1
(2)
`e canonica e se ne determini una funzione generatrice di II specie.
Esistono funzioni generatrici di altre specie?
Esercizio H2 – Per i 12 crediti. Si consideri H = 1
2
px 2
x2 + 1 + pxpy
x2+ 1 + py 2
x2+ 1
+ x (3)
Si dimostri che l’equazione di Hamilton-Jacobi associata ad H ammette un integrale completo separato.
1
Meccanica Lagrangiana
Esercizio L. Per la sufficienza: punti 1 e 2.
Un sistema, nel piano verticale, `e costituito da due punti materiali P1 e P2, della stessa massa m. collegati da una sbarretta di massa trascurabile, lunga 2L. Il punto P1 `e vincolato a muoversi sull’asse orizzontale. P1 `e attratto dall’origine da una forza elastica di costante elastica k, mentre P2 `e attratto dall’asse orizzontale da una forza elastica di costante elastica k′ = k/4
1. Scrivere la Lagrangiana del sistema e le equazioni di Eulero-Lagrange.
2. Trovare le configurazioni di equilibrio del sistema e discuterne la stabilit`a per (0 <)kL
mg < 2.
3. Lo stesso per kL mg > 2.
4. Per kL = 45mg trovare frequenze proprie e modi normali di oscillazione attorno al punto di equilibrio stabile.
5. Facoltativo: Si “tolga la molla che collega P1 all’origine” e si riduca il problema ad uno ad un grado di libert`a.
P
P
1
2
x z
k’=k/4 k
2L
g
2
