0 se x &lt

III Appello di Processi Stocastici 2013/14 Cognome:

Laurea Magistrale in Matematica Nome:

17 settembre 2014 Email:

Quando non `e espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi `e possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non `e stata fornita la dimostrazione).

Esercizio 1. Siano X, Z variabili aleatorie reali, con densit`a congiunta f_X,Z(x, z) = e^−z1_{0≤x≤z}.

Si calcolino le speranze condizionali E[X|Z] e E[Z|X].

Soluzione 1. Determiniamo le densit`a marginali di X e Z.

fX(x) = Z

R

fX,Z(x, z) dz = (

0 se x < 0

R∞

x e^−zdz = e^−x se x ≥ 0 , f_Z(z) =

Z

R

f_X,Z(x, z) dx =

(0 se z < 0

Rz

0 e^−zdx = z e^−z se x ≥ 0 . In definitiva,

fX(x) = e^−x1{x≥0}, fZ(z) = z e^−z1{z≥0}.

Calcoliamo le densit`a condizionali. Per quanto riguarda f_X|Z=z(x), ci possiamo restringere a z ≥ 0, nel qual caso

f_X|Z=z(x) = fX,Z(x, z)

f_Z(z) = e^−z1_{0≤x≤z}

z e^−z = 1

z1_{0≤x≤z},

ossia la distribuzione condizionale di X dato Z = z `e uniforme continua nell’intervallo [0, z]. Di conseguenza

E[X|Z] =

 Z

R

x f_X|Z=z(x)



z=Z

= 1 z

Z z 0

x dx



z=Z

= Z 2 . Analogamente, restringendosi a x ≥ 0, calcoliamo f_Z|X=x(z):

f_Z|X=x(z) = f_X,Z(x, z)

fX(x) = e^−z1_{0≤x≤z}

e^−x = e^−(z−x)1{z≥x}, da cui

E[Z|X] =

 Z

R

z f_Z|X=x(z)



x=X

=

 e^x

Z ∞ x

z e^−zdz



x=X

. Con un’integrazione per parti si ottiene

Z ∞ x

z e^−zdz = − ze^−z∞ x +

Z ∞ x

e^−zdz = xe^−x + e^−x, da cui, infine,

E[Z|X] =

 e^x

Z ∞ x

z e^−zdz



x=X

=

e^x xe^−x + e^−x


x=X = X + 1 .

2

Esercizio 2. Sia Z = (Zm)_m∈N0 una submartingala, definita su (Ω, A, (Fn)_n∈N0, P).

(a) Si mostri che, per ogni n ∈ N0 e per ogni tempo d’arresto σ ≤ n, si ha E(Z_σ) ≤ E(Z_n).

[Sugg.: si esprima Z_σ sommando sui diversi valori che pu`o assumere σ.]

Supponiamo d’ora in avanti che Z sia limitata in L¹: C := sup

n∈N0

E[|Z_n|] < ∞ .

Di conseguenza, il limite Z∞(ω) := lim_n→∞Z_n(ω) esiste finito per q.o. ω ∈ Ω (perch´e?). Poniamo Z∞(ω) := 0 per gli ω per cui il limite non esiste, cos`ı che Z∞(ω) `e ben definita per ogni ω ∈ Ω.

Sia τ : Ω → N0∪ {∞} un tempo d’arresto arbitrario. Definiamo Z_τ : Ω → R ponendo (Z_τ)(ω) := Z_{τ (ω)}(ω) ,

che `e ben definita anche se τ (ω) = ∞. Lo scopo di questo esercizio `e mostrare che E[|Z_τ|] < ∞.

Ricordiamo che x⁺:= max{x, 0} e x⁻:= max{−x, 0}.

(b) Si mostri che E[Z_{τ ∧n}⁺ ] ≤ E[Z_n⁺], per ogni n ∈ N0. [Sugg.: Il processo Z⁺= {Z_n⁺}_n∈N0 `e una . . . ] (c) Si mostri che E[Z_{τ ∧n}⁻ ] ≤ E[Z_{τ ∧n}⁺ ] − E[Z₀].

(d) Si deduca che sup_n∈N0E[|Z_{τ ∧n}|] =: C⁰< ∞.

(e) Si mostri che Z_τ = lim_n→∞Z_{τ ∧n} q.c. e si concluda che E[|Z_τ|] < ∞.

Soluzione 2. (a) Dato che {σ = m} ∈ F_m, per m ≤ n si ha E[Z_m1_{σ=m}] ≤ E[Z_n1_{σ=m}] perch´e Z `e una submartingala. Di conseguenza, se σ ≤ n,

E[Zσ] =

n

X

m=0

E[Zm1{σ=m}] ≤

n

X

m=0

E[Zn1{σ=m}] = E[Zn] .

(b) Il processo Z⁺ `e una submartingala, in quanto funzione convessa e crescente della sub- martingala Z. Applicando il punto (a) alla submartingala Z⁺ e al tempo d’arresto τ ∧ n si ottiene la relazione E[Z_{τ ∧n}⁺ ] ≤ E[Z_n⁺].

(c) Applicando il teorema d’arresto alla submartingala Z e al tempo d’arresto limitato τ ∧ n, si ottiene la relazione E[Zτ ∧n] ≥ E[Z0]. Dato che E[Zτ ∧n] = E[Z_{τ ∧n}⁺ ] − E[Z_{τ ∧n}⁻ ], si ottiene la relazione cercata E[Z_{τ ∧n}⁻ ] ≤ E[Z_{τ ∧n}⁺ ] − E[Z0].

(d) Dato che E[|Zτ ∧n|] = E[Z_{τ ∧n}⁺ ] + E[Z_{τ ∧n}⁻ ], applicando i punti precedenti si ottiene E[|Z_{τ ∧n}|] ≤ 2 E[Z_{τ ∧n}⁺ ] − E[Z₀] ≤ 2 E[Z_n⁺] − E[Z₀] ,

e dato che E[Z_n⁺] ≤ E[|Z_n|] e − E[Z₀] ≤ E[|Z₀|], si ottiene sup

n∈N0

E[|Zτ ∧n|] ≤ 3 sup

n∈N0

E[|Zn|] = 3C < ∞.

(e) Se τ (ω) < ∞ allora τ (ω) ∧ n = τ (ω) per ogni n ≥ τ (ω), quindi la successione Z_{τ (ω)∧n}(ω) definitivamente assume il valore costante Z_{τ (ω)}(ω), da cui Z_{τ (ω)}(ω) = limn→∞Z_{τ (ω)∧n}(ω).

Se invece τ (ω) = ∞ allora τ (ω) ∧ n = n per ogni n ∈ N0; dato che Z∞(ω) = limn→∞Zn(ω) per q.o. ω ∈ Ω (per definizione di Z∞), possiamo riscrivere questa relazione come Z_{τ (ω)} = lim_n→∞Z_{τ (ω)∧n}(ω). In definitiva, abbiamo mostrato che Z_τ = lim_n→∞Z_{τ ∧n} q.c., da cui segue che |Z_τ| = lim_n→∞|Z_{τ ∧n}| q.c..

Applicando il lemma di Fatou, si ottiene E[|Z_τ|] ≤ lim inf

n→∞ E[|Z_{τ ∧n}|] ≤ C⁰ < ∞ , per il punto precedente.

3

Esercizio 3. Sia (Bt)t≥0 un moto browniano, definito su uno spazio di probabilit`a (Ω, A, P).

Definiamo il processo Z = (Z_t)_t∈[0,1] ponendo

Z_t:= B_t− tB₁.

(a) Si mostri che Z `e un processo gaussiano e se ne calcolino media e covarianza.

(b) Si mostri che il processo Z `e indipendente dalla variabile aleatoria B1.

[Sugg. Per mostrare l’indipendenza del processo Z dalla variabile aleatoria B1, `e sufficiente mostrare che ogni combinazione lineare finita di sue componenti a<sub>1</sub>Z<sub>t1</sub>+ . . . + a<sub>n</sub>Z<sub>tn</sub> `e indipendente da B₁. `E facoltativo giustificare tale affermazione.]

(c) Si calcoli E[Bt|B₁] per t ∈ [0, 1].

[Sugg. Non `e necessario fare calcoli!]

Fissiamo d’ora in avanti t ∈ [0, 1] e una funzione f : R → R misurabile e limitata. Definiamo quindi una nuova funzione ϕ_t,f : R → R ponendo

ϕ_t,f(x) := E[f (tx + Zt)] .

Si noti che ϕ_t,f(·) `e una funzione continua (perch´e?), quindi per ogni ε > 0 esiste δ0 > 0 tale che

|ϕ_t,f(x) − ϕ_t,f(0)| ≤ ε per ogni |x| ≤ δ0. (?) (d) Sfruttando il punto (a), si mostri che

E[f (B_t)|B₁] = ϕ_t,f(B₁) . (e) Si mostri che

limδ↓0

E[f (Bt)1_{|B1|≤δ}]

P(|B1| ≤ δ) = E[f (Zt)] .

Sempre per t ∈ [0, 1] fissato, indichiamo infine con X_t^(δ) una variabile aleatoria che ha la legge di Bt rispetto alla probabilit`a condizionale P( · | |B1| ≤ δ).

(f) Si deduca che per δ → 0 la variabile aleatoria X_t^(δ) converge in legge verso . . .

Soluzione 3. (a) Il processo Z `e gaussiano perch´e le sue componenti sono combinazioni lineari delle componenti del moto browniano B, che `e un processo gaussiano. Si ha

E[Z_t] = E[B_t] − t E[B₁] = 0 ,

Cov[Z_s, Z_t] = Cov[B_s, B_t] − s Cov[B₁, B_t] − t Cov[B_s, B₁] + st Cov[B₁, B₁]

= s ∧ t − st − ts + st = s ∧ t − st .

(b) Detta Y := a₁Z_t1 + . . . + a_nZ_tn una combinazione lineare di componenti di Z, mos- triamo l’indipendenza di Y da B1. Osserviamo che Y e B1 sono congiuntamente nor- mali, ossia il vettore (Y, B₁) `e normale, perch´e ogni combinazione lineare αZ + βB<sub>1</sub> `e una combinazione lineari di componenti del moto browniano B. Di conseguenza, basta verificare che Cov[Y, Z] = 0, e ci`o segue immediatamente dal fatto che Cov[Z_t, B₁] = Cov[B_t, B₁] − t Cov[B₁, B₁] = t − t = 0.

(c) Scrivendo B_t= Z_t+ tB₁ si ha E[B_t|B₁] = E[Z_t|B₁] + t E[B₁|B₁] = E[Z_t] + tB₁ = tB_t, per propriet`a standard della speranza condizionale, essendo Zt indipendente da B1.

(d) Scrivendo Bt = Zt+ tB1 si ha E[f (Bt)|B1] = E[f (tB1 + Zt)|B1] e applicando il lemma di congelamento si ottiene

E[f (B_t)|B₁] = E[f (tx + Z_t)|B₁]|_x=B1 = ϕ_t,f(x)|_x=B1 = ϕ_t,f(B₁) .

4

(e) Fissiamo ε > 0. Applicando il punto precedente e la relazione (?), per δ < δ0 si ha

E[f (B_t)1_{|B1|≤δ}] = E[ϕ_t,f(B₁)1_{|B1|≤δ}] ≤ (ϕ_t,f(0) + ε) E[1_{|B1|≤δ}] = (ϕ_t,f(0) + ε) P(|B₁| ≤ δ) , di conseguenza

lim sup

δ→0

E[f (B_t)1_{|B1|≤δ}]

P(|B₁| ≤ δ) ≤ ϕ_t,f(0) + ε . Dato che ε > 0 `e arbitrario, abbiamo mostrato che

lim sup

δ→0

E[f (Bt)1_{|B1|≤δ}]

P(|B1| ≤ δ) ≤ ϕ_t,f(0) . Con argomenti analoghi si mostra che

lim inf

δ→0

E[f (Bt)1_{|B1|≤δ}]

P(|B1| ≤ δ) ≥ ϕ_t,f(0) , ed essendo ϕ_t,f(0) = E[f (Z_t)], la conclusione segue.

(f) Se f : R → R `e una funzione continua e limitata, usando la definizione di Xt^(δ) e il punto precedente si ha

E[f (X_t^(δ))] = E[f (Bt)||Bt| ≤ δ] = E[f (B_t)1_{|Bt|≤δ}] P(|B_t| ≤ δ) −−−→

δ→0 E[f (Zt)] . Ci`o significa, per definizione, cheX_t^(δ) → Z_tin legge per δ → 0.