School of Economics and Management
Esempio 1 di Prova Finale di Statistica
TEORIA
16. Individuare quale delle seguenti affermazioni relative ad una variabile casuale discreta è vera a) può assumere tutti i valori in un intervallo reale
b) è una funzione da in R e è un insieme non numerabile c) può assumere solo valori positivi
d) può assumere solo valori non negativi
e) è una funzione da in R e è un insieme finito o numerabile
17. Individuare quale delle seguenti affermazioni relative alla funzione di densità di una variabile casuale X è falsa a) non può mai assumere valori negativi
b) il rapporto tra l’area sottesa alla funzione su un certo intervallo e l’ampiezza dell’intervallo rappresenta la probabilità che X assuma un valore in quell’intervallo
c) l’area totale sottesa alla funzione di densità è pari a uno
d) l’area sottesa alla funzione su un certo intervallo rappresenta la probabilità che X assuma un valore in quell’intervallo e) non può mai assumere valori negativi e l’area totale sottesa alla funzione è pari a uno
18. Individuare quale delle seguenti affermazioni relative al momento secondo dell’errore di stima MSE(T) dello stimatore T è vera
a) se T è distorto il momento secondo dell’errore di stima coincide con la varianza dello stimatore
b) in base al momento secondo dell’errore di stima uno stimatore distorto può essere preferibile ad uno stimatore corretto c) sulla base del momento secondo dell’errore di stima si possono confrontare soltanto stimatori distorti
d) tra due stimatori è preferibile quello con momento secondo dell’errore di stima più alto
e) il momento secondo dell’errore di stima coincide con la differenza tra la varianza e la distorsione al quadrato 19. Gli stimatori ottenuti con il metodo della massima verosimiglianza sono
a) corretti e consistenti
b) corretti, consistenti ed efficienti
c) asintoticamente corretti, consistenti, efficienti e con distribuzione asintoticamente normale d) distribuiti normalmente
e) corretti ed efficienti
20. L’intervallo di confidenza stimato per il parametro al livello 1-
a) contiene con probabilità 1-
b) può contenere o non contenere il parametro c) è un intervallo casuale
d) non è la realizzazione di un intervallo casuale
e) è la realizzazione di un intervallo casuale che contiene con probabilità
ESERCIZI
21.
Si lanci due volte un dado perfetto. Sia X la variabile casuale che assume valore 0 se la somma dei punteggi delle due facce è minore di 4, assume valore 2 se la somma dei punteggi delle due facce è maggiore o uguale a 10 e valore 4 in tutti gli altri casi. Calcolare il valore atteso di X.
a) 2/9 b) 31/9 c) 10/3 d) 5/36 e) 5/36
22.
Sia X una v.c. discreta con la seguente funzione di probabilità
3 . 0 ) 3 P(X 5 . 0 ) 2 P(X 2 . 0 ) 0
P(X .
Sia inoltre Y una v.c. con varianza pari a 2 e tale Cov(X,Y)=0.1. Determinare la varianza di W =2X-Y.
a) 2.36 b) 1.96 c) 5.96 d) 1.09 e) 3.96
23. Sia (X,Y) una variabile casuale doppia continua con la seguente funzione di densità congiunta .
1 2 0 3
21
2
2
x y x , y
y , x f
La funzione di densità marginale di X sull’intervallo [1,2] risulta
a)
221 2 x x
f
x
b)
221 9 x x
f
x
c)fy y y 21
6
d)f
x x x
2 e)
221 1 x x
f
x
24.
Sia X una variabile casuale continua con la seguente funzione di ripartizione .
2 7 1
) 1 (
3
x x
x F Approssimare il quantile di ordine 0.5.
a) 1.2 b) 1.5 c) 1.60 d) 1.65 e) 1.55
25
. Siano X
1, X
2, X
3variabili casuali normali indipendenti con media 4 e varianza Calcolare
X
1 12 , X
2 4
P .
a) 0.3654 b) 0.44035 c) 0.42065 d) 0.6584 e) 0.07935
26. Siano X1, X2, X3 variabili casuali normali indipendenti con media μ e varianza e siano
3 2 1
1
X X X
T ;
3
3 2 1 2
X X T X
Calcolare il momento secondo dell’errore di stima dei due stimatori.
a) MSE(T1) = 2
MSE(T2) = b) MSE(T1) =
MSE(T2 ) =c) MSE(T1) = 3
MSE(T2) = d) MSE(T1) =
MSE(T2) = e) MSE(T1) = 3
MSE(T2)=27.
Sulla base del campione osservato x
1,…,x
4, realizzazione delle variabili casuali campionarie X
1,..,X
4indipendenti e con distribuzione normale con valore atteso è stato costruito l’intervallo di confidenza per al livello di copertura 1-=0.95. L’intervallo così ottenuto è (2;8). Calcolare la media campionaria e la varianza campionaria corretta.
a) 3, 3.06 b) 5, c) 5, d) 5, 7.5 e) 5,
28. Il manager di una azienda che produce macchine fotografiche vuole valutare la proporzione di pezzi difettosi prodotti sulla base di un campione casuale di n = 100 osservazioni. Nel campione il numero di macchine fotografiche difettose è 5.
Per la verifica dell’ipotesi H0:=0.06 al livello di significatività=0.05 si ottengono i seguenti risultatia) la statistica vale 0.46 e il quantile di riferimento è pari a 1.96. Non si ha motivo di rifiutare H0 b) la statistica vale 0.46 e il quantile di riferimento è pari a 1.645. Si rifiuta H0
c) la statistica vale 0.42 e il quantile di riferimento è pari a 1.96. Non si ha motivo di rifiutare H0 d) la statistica vale 0.42 e il quantile di riferimento è pari a 1.645. Non si ha motivo di rifiutare H0 e) la statistica vale 0.42 e il quantile di riferimento è pari a 1.859. Si rifiuta H0
SOLUZIONE Teoria
16 e) 17 b) 18 b) 19 c) 20b) Esercizi
21 c) 22 c) 23 b) 24 d) 25 e) 26 e) 27 c) 28 c)
21.
Somma < 4: 1,1; 1,2; 2,1
Somma > 9: 4,6; 6,4; 5,5; 5,6; 6,5; 6,6
x P(x)0 3/36 2 6/36 4 27/36
E(X)=120/36=10/3 22.
x P(x)
0 0.2 2 0.5 3 0.3
E(X) = 1.9 E(X
2) = 4.7 V(X) = 1.09
V(W) = 4V(X)+V(Y)-4Cov(X,Y) = 4.36+2-0.4 = 5.96
23.
2 2
3
0 2 2 3
0 2
21 9 2 9 21
2 2
21 2 21
2
y x xx dy y
x
24.
3 3
3
5 . 4
5 . 4 1 5 . 3
5 . 7 0
1
x x x
25.
1 1 0 1 0 . 8413 0 . 5 0 . 07935 8
4 4 8
4
1 12
26.
T1
E
;
2
3
T E
T1 V T1
2
2
23
2MSE
;
3 9
2 2 2 2 2 2
V T TMSE
27.
55 . 3
8856 . 182 1 . 3 5 2 8
2 8 182 . 3 5
2 5 8 2
8 2 182 4
. 3 975
. 0
182 . 3 975 . 0
4
2 3 3
c c
c
c c
s s
s x
x s n t s
x t n
28.
96 . 1
4211 . 0 100
94 . 0 06 . 0
06 . 0 05 . 0
975 . 0 2 /
1
z
z
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Esempio 2 di Prova Finale di Statistica TEORIA
16. Considerata un’urna contenente palline bianche e nere si può utilizzare il modello Zero-Uno quando a) l’estrazione delle palline viene effettuata con ripetizione
b) l’estrazione delle palline viene effettuata senza ripetizione
c) il numero di palline bianche contenute nell’urna è maggiore del numero di palline nere d) il numero di palline bianche contenute nell’urna è uguale al numero di palline nere e) l’esperimento consiste nell’estrazione di una singola pallina
17. Data la distribuzione bivariata relativa a due v.c. X e Y, la v.c. D = XY a) ha valore atteso E(D) pari a E(X )EY ) se e solo se X e Y sono indipendenti b) ha valore atteso E(D) pari a E(X )EY )-2EXY )
c) ha varianza V(D) pari a V(X )VY ) se e solo se X e Y sono indipendenti d) ha varianza V(D) pari a V(X )VY )Cov(X,Y)
e) ha varianza V(D) pari a V(X )VY ) se e solo se X e Y sono indipendenti 18. Se lo stimatore T di un parametro è consistente significa che
a) il suo valore atteso E(T) coincide con il parametro da stimare
b) il suo valore atteso E(T) tende a zero quando la numerosità campionaria tende ad infinito c) la sua varianza V(T) è uguale a zero
d) il suo errore quadratico medio MSE(T) tende a zero quando la numerosità campionaria tende ad infinito e) la sua distorsione B(T) tende a zero quando la numerosità campionaria tende ad infinito
19. Nella costruzione di un intervallo di confidenza il valore 1- rappresenta
a) la probabilità di ottenere un intervallo che contenga al suo interno il valore del parametro ignoto b) la probabilità che l’intervallo non contenga al suo interno il valore del parametro ignoto
c) l’area di probabilità isolata all’esterno dell’intervallo d) la regione di accettazione di un’ipotesi falsa
e) la regione di rifiuto di un’ipotesi falsa
20. In una verifica di ipotesi sul valore di una proporzione
H0: 0
lo stimatore “media campionaria” ha una distribuzione asintoticamente a) Zero-Uno di parametro
b) t di Student con n-1 gradi di libertà, per una numerosità campionaria maggiore di 30 unità
c) Normale, di parametri
N( 1
n)
,
0 00
, per una numerosità campionaria maggiore di 30 unitàd) Normale, di parametri N
n
0,
n
0( 1
0)
, quando sono verificate le ipotesi sottostanti il teorema limite centralee) Normale, di parametri
N( 1
n)
,
0 00
, quando sono verificate le ipotesi sottostanti il teorema limite centraleESERCIZI
21. Si consideri un lotto di articoli contenente 10 unità di tipo A, 10 unità di tipo B e 5 di tipo C e si consideri un esperimento che consiste nell’estrazione di 3 articoli con ripetizione. Indicata con Xi la v.c. “numero di unità di tipo C estratte alla i-esima prova”, con i = 1,2,3, si determini la distribuzione di probabilità della variabile S = X1+ X2+ X3
a) s P(s) b) s P(s) c) s P(s) d) s P(s) e) s P(s)
0 0.6 0 0.25 0 0.008 0 0.512 0 1/3
1 0.2 1 0.25 1 0.096 1 0.384 1 1/3
2 0.1 2 0.25 2 0.384 2 0.096 2 1/3
3 0.1 3 0.25 3 0.512 3 0.008 1.0
1.0 1.00 1.000 1.000
22. Considerata una v.c. X con distribuzione Zero-Uno di parametro =0.5 il terzo momento dall’origine E(X3) è pari a a) 0, perché la distribuzione è simmetrica b) 0.5
c) 0.53 d) 0.25 e) 1
23. Considerato un dado in cui le facce pari hanno probabilità 0.75 mentre le facce dispari hanno probabilità 0.25, determinare se sia più probabile che lanciando 10 volte il dado si verifichi l’evento A “7 facce pari e 3 dispari” o l’evento B
“8 facce pari e 2 dispari”.
a) P
A 0 . 5504
P
B 0 . 4496
b) P
A 0 . 1042
P
B 0 . 0453
c) P
A 0 . 0021
P
B 0 . 0063
d) P
A 0 . 2903
P
B 0 . 3224
e) P
A 0 . 2503
P
B 0 . 2816
24. Sia X una v.c. con funzione di densità f
x kx2 perx
2;2
.Determinare k affinché f(x) sia una densità a)3
16
b)3
8
c) 1 d)16
3
e) 025. Siano XN(1, 2) e YN(0.5, 12) due v.c. con distribuzione normale. Calcolare P[(XY)>0] sapendo che la loro covarianza vale Cov(X,Y)=1.
a) 0.5 b) 0 c) 0.7257 d) 0.6406 e) 0.7054
26. Data una popolazione che si distribuisce come una Zero-Uno di parametro , calcolare il valore atteso del seguente
stimatore di tale parametro:
2 1
1
n X T
n i
i
a) E(T) = b)
2
n T nE
c)
2 1
T nE
d)
2 1
n T nE
e)
2 1
n T nE
27. Su un campione di 16 elementi estratto da una popolazione normale la media è risultata pari a 10 e la varianza a 150.
L’intervallo di confidenza di al livello di probabilità 1=0.99 risulta approssimativamente:
a) non è possibile calcolarlo perché l’estremo inferiore risulta minore di zero b) (1.0779; 18.9221) c) (0.6817; 19.3183)
d) (1.7702; 18.2298) e) (2.6445; 17.3555)
28. Data la distribuzione campionaria relativa a due variabili qualitative, si vuole verificare l’ipotesi che le due variabili siano indipendenti al livello di significatività =0.05.
X\Y a b c A 150 100 250 500 B 120 80 200 400 C 30 20 50 100 300 200 500 1000 a) la statistica test è pari a 0, il quantile di riferimento è 11.14, per cui si rifiuta H0
b) la statistica test è pari a 0, il quantile di riferimento è 9.488, per cui non si ha motivo di rifiutare H0 c) la statistica test è pari a 0, il quantile di riferimento è 1.96, per cui non si ha motivo di rifiutare H0 d) la statistica test è pari a 17.5, il quantile di riferimento è 11.14, per cui si rifiuta H0
e) la statistica test è pari a 25.85, il quantile di riferimento è 9.488, per cui si rifiuta H0
SOLUZIONE Teoria
16 e) 17 c) 18 d) 19 a) 20e) Esercizi
21 d) 22 b) 23 e) 24 d) 25 a) 26 d) 27 c) 28 b)
21.
Data la distribuzione della generica x
ixi P(xi)
0 0.8
1 0.2
1.0
l
a distribuzione di S corrisponde a una binomiale di parametri n=3 e =0.222. I momenti ordinari di qualsiasi ordine della Zero-Uno sono tutti uguali a
23.
7 3 0 . 75
80 . 25
28
25 10 . 0 75 . 7 0
10
PBA P
24.
16 1 3
3 1 16
1 3
2
2 2 3
2
2
x k x k kk
25.
E(XY)=1-1=0, per cui P[(XY)>0]=1-(0)=0.5
26.
1
2 1 1
2 1 1
2 1
1 1
n nX n E
X n E
T E
n i
i n
i i
27.
3183 . 19
6817 . 10 0 9467 . 2 16 10
9467 160 . 2 10
160 15 150
2
