School of Economics and Management
Esempio di Prova Finale di Statistica
TEORIA
16. Considerata un’urna contenente palline bianche e nere si può utilizzare il modello Zero-Uno quando a) l’estrazione delle palline viene effettuata con ripetizione
b) l’estrazione delle palline viene effettuata senza ripetizione
c) il numero di palline bianche contenute nell’urna è maggiore del numero di palline nere d) il numero di palline bianche contenute nell’urna è uguale al numero di palline nere e) l’esperimento consiste nell’estrazione di una singola pallina
17. Data la distribuzione bivariata relativa a due v.c. X e Y, la v.c. D = XY a) ha valore atteso E(D) pari a E(X )EY ) se e solo se X e Y sono indipendenti b) ha valore atteso E(D) pari a E(X )EY )-2EXY )
c) ha varianza V(D) pari a V(X )VY ) se e solo se X e Y sono indipendenti d) ha varianza V(D) pari a V(X )VY )Cov(X,Y)
e) ha varianza V(D) pari a V(X )VY ) se e solo se X e Y sono indipendenti
18. Se lo stimatore T di un parametro è consistente significa che a) il suo valore atteso E(T) coincide con il parametro da stimare
b) il suo valore atteso E(T) tende a zero quando la numerosità campionaria tende ad infinito c) la sua varianza V(T) è uguale a zero
d) il suo errore quadratico medio MSE(T) tende a zero quando la numerosità campionaria tende ad infinito e) la sua distorsione B(T) tende a zero quando la numerosità campionaria tende ad infinito
19. Nella costruzione di un intervallo di confidenza il valore 1- rappresenta
a) la probabilità di ottenere un intervallo che contenga al suo interno il valore del parametro ignoto b) la probabilità che l’intervallo non contenga al suo interno il valore del parametro ignoto
c) l’area di probabilità isolata all’esterno dell’intervallo d) la regione di accettazione di un’ipotesi falsa
e) la regione di rifiuto di un’ipotesi falsa
20. In una verifica di ipotesi sul valore di una proporzione H0: 0
lo stimatore “media campionaria” ha una distribuzione asintoticamente a) Zero-Uno di parametro
b) t di Student con n-1 gradi di libertà, per una numerosità campionaria maggiore di 30 unità
c) Normale, di parametri
N ( 1 n )
,
0 00
, per una numerosità campionaria maggiore di 30 unitàd) Normale, di parametri
N n
0, n
0( 1
0)
, quando sono verificate le ipotesi sottostanti il teorema limite centralee) Normale, di parametri
N ( 1 n )
,
0 00
, quando sono verificate le ipotesi sottostanti il teorema limite centraleESERCIZI
21. Si consideri un lotto di articoli contenente 22 unità di tipo A, 2 unità di tipo B e 1 sola unità di tipo C. Si estraggano 2 articoli senza reinserimento e sia X la v.c. “numero di unità di tipo C estratte”. La distribuzione di probabilità di X risulta
a) x P(x) b) x P(x) c) x P(x) d) x P(x) e) x P(x)
0 0.6 0 0.5 0 0.75 0 0.92 0 1/3
1 0.3 1 0.3 1 0.20 1 0.08 1 1/3
2 0.1 2 0.2 2 0.05 2 0.00 2 1/3
1.0 1.0 1.00 1.00 1.0
22. Considerata una v.c. X con distribuzione Zero-Uno di parametro =0.5 il terzo momento dall’origine E(X3) è pari a
a) 0, perché la distribuzione è simmetrica b) 0.5
c) 0.53 d) 0.25 e) 1
23. Considerato un dado in cui le facce pari hanno probabilità 0.75 mentre le facce dispari hanno probabilità 0.25, determinare se sia più probabile che lanciando 10 volte il dado si verifichi l’evento A “7 facce pari e 3 dispari” o l’evento B “8 facce pari e 2 dispari”.
a)
P A 0 . 5504 P B 0 . 4496
b)P A 0 . 1042 P B 0 . 0453
c)
P A 0 . 0021 P B 0 . 0063
d)P A 0 . 2903 P B 0 . 3224
e)
P A 0 . 2503 P B 0 . 2816
7 3 0 . 75
80 . 25
28
25 10 . 0 75 . 7 0
10
P B
A P
24. Sia X una v.c. con funzione di densità f
x kx2 perx
2;2
.Determinare k affinché f(x) sia una densità a)3
16
b)3
8
c) 1 d)16
3
e) 016 1 3
3 1 16
1 3
2
2 2 3
2
2
x k x k k
k
25. Siano XN(1, 2) e YN(0.5, 12) due v.c. con distribuzione normale. Calcolare P[(XY)>0] sapendo che la loro covarianza vale Cov(X,Y)=1.
a) 0.5 b) 0 c) 0.7257 d) 0.6406 e) 0.7054
E(XY)=1-1=0, per cui P[(XY)>0]=1-(0)=0.5
26. Data una popolazione che si distribuisce come una Zero-Uno di parametro , calcolare il valore atteso del
seguente stimatore di tale parametro:
2 1
1
n X T
n i
i
a) E(T) = b)
2
n T n
E
c)
2 1
n T
E
d)
2 1
n T n
E
e)
2 1
n T n
E
1
2 1 1
2 1 1
2 1
1 1
n n
X n E
X n E
T E
n i
i n
i i
27. Su un campione di 16 elementi estratto da una popolazione normale la media è risultata pari a 10 e la varianza a 150. L’intervallo di confidenza di al livello di probabilità 1=0.99 risulta approssimativamente:
a) non è possibile calcolarlo perché l’estremo inferiore risulta minore di zero b) (1.0779; 18.9221) c) (0.6817; 19.3183)
d) (1.7702; 18.2298) e) (2.6445; 17.3555)
3183 . 19
6817 . 10 0 9467 . 2 16 10
9467 160 . 2 10
160 15 150
ˆ
216
S
28. Data la distribuzione campionaria relativa a due variabili qualitative, si vuole verificare l’ipotesi che le due variabili siano indipendenti al livello di significatività =0.10.
X\Y a b c A 150 100 250 500 B 120 80 200 400 C 30 20 50 100 300 200 500 1000
a) la statistica test è pari a 0, il quantile di riferimento è 9.4877, per cui si rifiuta H0
b) la statistica test è pari a 0, il quantile di riferimento è 7.7794, per cui non si ha motivo di rifiutare H0 c) la statistica test è pari a 0, il quantile di riferimento è 1.063, per cui non si ha motivo di rifiutare H0 d) la statistica test è pari a 17.5, il quantile di riferimento è 4.6052, per cui si rifiuta H0
e) la statistica test è pari a 25.85, il quantile di riferimento è 7.7794, per cui si rifiuta H0
Soluzione
