School of Economics and Management
Prova Finale di Statistica (esempio)
Nome_____________________Cognome_________________________Matr. ______________
Per ogni quesito, va barrata con una “X” la lettera associata alla risposta ritenuta corretta. In caso di errore è possibile effettuare la correzione cerchiando la lettera associata alla risposta ritenuta erroneamente corretta.
Ogni risposta corretta vale 1 punto, la dimostrazione vale 2 punti. Per superare la prova è necessario rispondere correttamente ad almeno 3 quesiti di teoria.
TEORIA
(per superare la prova è necessario rispondere correttamente ad almeno 3 quesiti)
16. Considerata la funzione di ripartizione F(x) di una variabile casuale discreta X indicare quale fra le seguenti affermazioni risulta falsa
a) Fissato un valore x1< x2 della X risulta F(x1)≤ F(x2) b) 0≤ F(x)≤1 per -∞< x <+∞
c) F(x) è una funzione a gradini, continua a destra e costante a tratti
d) F(x) è definita anche per valori che la X non può effettivamente assumere
e) calcolata in corrispondenza di un valore x, la F(x) fornisce la probabilità che la variabile X assuma quel particolare valore
17. Considerata una popolazione finita di N elementi in cui la variabile di interesse X ha distribuzione nota e considerato un campione di n elementi estratto da questa popolazione, indicare quale fra le seguenti affermazioni risulta falsa
a) le n variabili casuali Xi “valore della variabile X sulla i-esima unità estratta” hanno una distribuzione di probabilità uguale alla distribuzione del carattere X nella popolazione
b) le n variabili casuali Xi “valore della variabile X sulla i-esima unità estratta” sono indipendenti fra di loro quale che sia il metodo di estrazione utilizzato (con o senza ripetizione)
c) le n variabili casuali Xi “valore della variabile X sulla i-esima unità estratta” hanno tutte la medesima distribuzione d) il numero di campioni con ripetizione non ordinati che è possibile estrarre è pari a
n n
N 1
e) il numero di campioni senza ripetizione non ordinati che è possibile estrarre è pari a
n N
18. Considerata una variabile la cui distribuzione è caratterizzata da un solo parametro ignoto , indicare quale fra le seguenti affermazioni risulta falsa
a) è un valore numerico ignoto b) è una variabile casuale
c) è un valore numerico che non può mai essere stimato con certezza assoluta d) lo stimatore T di è una variabile casuale
e) la stima t è il valore assunto dallo stimatore T di sul campione effettivamente estratto
19. Considerato un intervallo di confidenza per un parametro ad un livello di confidenza 1, indicare quale fra le seguenti affermazioni risulta falsa
a) non si è mai certi che l’intervallo in questione contenga il parametro ignoto b) gli estremi dell’intervallo sono variabili casuali
c) il livello di confidenza è un valore di probabilità che viene fissato abbastanza elevato, ma sempre inferiore ad 1 d) una numerosità campionaria crescente genera intervalli di confidenza più corti a parità di tutte le altre condizioni
e) tanto minore è il livello di confidenza utilizzato, tanto maggiore è la probabilità che il parametro cada all’interno dell’intervallo
20. Indicare quale fra le seguenti affermazioni risulta falsa
a) l’ampiezza delle regioni di accettazione e di rifiuto dell’ipotesi nulla dipendono dal livello di significatività prescelto b) la statistica test deve avere una distribuzione completamente nota sotto ipotesi nulla
c) le regioni di accettazione e di rifiuto devono essere disgiunte d) l’ipotesi nulla è ritenuta falsa fino a prova contraria
e) i valori che delimitano la regione di rifiuto vengono chiamati valori soglia
ESERCIZI
21. Un dado è truccato in modo che le facce 1 e 2 hanno entrambe probabilità 1/20, la faccia 6 ha probabilità 3/20 e le restanti facce sono tutte equiprobabili fra loro. Determinare la distribuzione di probabilità della variabile casuale X che assume valore 0 se nel lancio del dado si ottiene una faccia pari e valore 1 se si ottiene una faccia dispari.
a) b) c) d) e)
x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) x P(x)
0 0.5 0 12/20 0 9/20 0 11/20 0 1/3
1 0.5 1 8/20 1 11/20 1 9/20 1 2/3
1.0 1.00 1.00 1.00 1.0
22. Data una popolazione di N=4 elementi su cui la variabile di interesse X assume i valori x1=0; x2=1; x3=2; x4=2, la distribuzione di probabilità della media campionaria X per un campione di 2 elementi estratto senza ripetizione corrisponde a
a) b) c) d) e)
x P x
x P x
x P x
x P x
x P x
0.0 1/6 0.5 1/4 0.5 1/6 0.0 2/16 0.5 1/3 0.5 2/6 1.0 1/4 1.0 2/6 0.5 6/16 1.0 1/3 1.0 2/6 1.5 1/4 1.5 2/6 1.0 6/16 1.5 1/3
2.0 1/6 2.0 1/4 2.0 1/6 1.5 2/16 1.0
1.0 1.0 1.0 1.0
23. Data una variabile casuale X con la seguente funzione di ripartizione
1 per 1 ; 1 2
1
3
x x
x
F
, il valoreatteso E(X) risulta
a) 0.0 b) -1.0 c) 0.5 d) 1.0 e) 1.5
24 Data la variabile casuale doppia (X,Y)con funzione di densità congiunta
0 1 , 0 1
5
, y 6 x
2 y x y x
f
,la funzione di densità marginale di X è
a)
0 1
5 3
6
2
x x
x
f
x b) 0 1
5
6
2
x x
x
f
x c) 0 1
5 3
6
3
x x x
x f
xd)
0 1
5 2
6
x x
x
f
x e) 0 1
5
6
x x
x f
x25. Siano X1 e X2 due variabili casuali indipendenti ciascuna con distribuzione normale di valore atteso 2 e varianza 5.
Calcolare P(2X1X2)>0.
a) 0.5 b) 0.3446 c) 0.5319 d) 0.6554 e) 0.4681
26. Da una popolazione in cui una variabile X si distribuisce in modo normale con varianza 2 = 9 è stato estratto un campione di 16 elementi la cui media è risultata uguale a 6. L’intervallo di confidenza di al livello di probabilità 1=0.95 risulta approssimativamente
a) (1.59; 10.41) b) (4.8975; 7.1025) c) (4.7664; 7.2336) d) (2.2991; 9.7009) e) (4.53; 7.47)
27. Su un campione di 9 elementi estratto da una popolazione normale di varianza nota 2=4 è stata ottenuta una media campionaria pari a 148. Per la verifica dell’ipotesi H0:=150 al livello di significatività=0.05 si ottengono i seguenti risultati
a) Il p-valore è pari a 0.0027. Si rifiuta H0
b) Il p-valore è pari a 0.1336. Non si ha motivo di rifiutare H0 c) Il p-valore è pari a 0.1336. Si rifiuta H0
d) Il p-valore è pari a 0.0027. Non si ha motivo di rifiutare H0 e) Il p-valore è pari a 0.005. Si rifiuta H0
28. Su due campioni provenienti da due popolazioni normali e omoschedastiche sono stati ottenuti i seguenti risultati relativi alla numerosità, alla media e alla varianza corretta
n1=10,
x
18 . 2
,s
1212 . 5
n2=15,
x
26 . 5
,s
2216 . 2
Per la verifica dell’ipotesi H0: 1=2 al livello di significatività=0.05 si ottengono i seguenti risultati
a) la statistica test vale circa 0.7108 e il quantile di riferimento è pari a 2.0687. Non si ha motivo di rifiutare H0 b) la statistica test vale circa 1.0842 e il quantile di riferimento è pari a 2.0687. Non si ha motivo di rifiutare H0 c) la statistica test vale circa 1.0842 e il quantile di riferimento è pari a 1.95996. Si rifiuta H0
d) la statistica test vale circa 0.1152 e il quantile di riferimento è pari a 1.7139. Non si ha motivo di rifiutare H0 e) la statistica test vale circa 0.1807 e il quantile di riferimento è pari a 1.64485. Non si ha motivo di rifiutare H0
DIMOSTRAZIONE
29. Siano X e Y due variabili casuali discrete con funzione di probabilità congiunta P(x,y) e valori attesi rispettivamente pari a E(X) e E(Y). Considerata la variabile casuale somma S=X+Y, dimostrare che il suo valore atteso è pari a E(S)=E(X)+E(Y)
