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School of Economics and Management

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Academic year: 2021

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(1)

School of Economics and Management

Esempio di Prova Finale di Statistica

TEORIA

1. Individuare quale delle seguenti affermazioni relative ad una variabile casuale discreta è vera a) può assumere tutti i valori in un intervallo reale

b) è una funzione da in R e  è un insieme non numerabile c) può assumere solo valori positivi

d) può assumere solo valori non negativi

e) è una funzione da in R e  è un insieme finito o numerabile

2. Individuare quale delle seguenti affermazioni relative alla funzione di densità di una variabile casuale X è falsa a) non può mai assumere valori negativi

b) il rapporto tra l’area sottesa alla funzione su un certo intervallo e l’ampiezza dell’intervallo rappresenta la probabilità che X assuma un valore in quell’intervallo

c) l’area totale sottesa alla funzione di densità è pari a uno

d) l’area sottesa alla funzione su un certo intervallo rappresenta la probabilità che X assuma un valore in quell’intervallo e) non può mai assumere valori negativi e l’area totale sottesa alla funzione è pari a uno

3. Individuare quale delle seguenti affermazioni relative al momento secondo dell’errore di stima MSE(T) dello stimatore T è vera

a) se T è distorto il momento secondo dell’errore di stima coincide con la varianza dello stimatore

b) in base al momento secondo dell’errore di stima uno stimatore distorto può essere preferibile ad uno stimatore corretto c) sulla base del momento secondo dell’errore di stima si possono confrontare soltanto stimatori distorti

d) tra due stimatori è preferibile quello con momento secondo dell’errore di stima più alto

e) il momento secondo dell’errore di stima coincide con la differenza tra la varianza e la distorsione al quadrato 4. Gli stimatori ottenuti con il metodo della massima verosimiglianza sono

a) corretti e consistenti

b) corretti, consistenti ed efficienti

c) asintoticamente corretti, consistenti, efficienti e con distribuzione asintoticamente normale d) distribuiti normalmente

e) corretti ed efficienti

5. L’intervallo di confidenza stimato per il parametro  al livello 1-

a) contiene  con probabilità 1-

b) può contenere o non contenere il parametro  c) è un intervallo casuale

d) non è la realizzazione di un intervallo casuale

e) è la realizzazione di un intervallo casuale che contiene  con probabilità 

(2)

ESERCIZI

6.

Si lanci due volte un dado perfetto. Sia X la variabile casuale che assume valore 0 se la somma dei punteggi delle due facce è minore di 4, assume valore 2 se la somma dei punteggi delle due facce è maggiore o uguale a 10 e valore 4 in tutti gli altri casi. Calcolare il valore atteso di X.

a) 2/9 b) 31/9 c) 10/3 d) 5/36 e) 5/36

Somma < 4: 1,1; 1,2; 2,1 Somma > 9: 4,6; 6,4; 5,5; 5,6; 6,5; 6,6

x

P(x) 0 3/36 2 6/36 4 27/36 E(X)=120/36=10/3

7.

Sia X una v.c. discreta con la seguente funzione di probabilità

3 . 0 ) 3 P(X 5 . 0 ) 2 P(X 2 . 0 ) 0

P(X      

.

Sia inoltre Y una v.c. con varianza pari a 2 e tale cov(X,Y)=0.1. Determinare la varianza di W =2X-Y.

a) 2.36 b) 1.96 c) 5.96 d) 1.09 e) 3.96

x P(x)

0 0.2 2 0.5 3 0.3

E(X) = 1.9 E(X

2

) = 4.7 V(X) = 1.09 V(W) = 4V(X)+V(Y)-4Cov(X,Y) = 4.36+2-0.4 = 5.96 8. Sia (X,Y) una variabile casuale doppia continua con la seguente funzione di densità congiunta

.

  1 2 0 3

21

2

2

   

x y x , y

y , x f

La funzione di densità marginale di X sull’intervallo (1,2) risulta

a)

 

2

21 2 x x

f

x

b)

 

2

21 9 x x

f

x

c) fy

 

y y

21

 6

d)

f

x

  xx

2 e)

 

2

21 1 x x

f

x

(3)

2 2

3

0 2 2 3

0 2

21 9 2 9 21

2 2

21 2 21

2

y x x

x dy y

x

 

 

 

 

9.

Sia X una variabile casuale continua con la seguente funzione di ripartizione . 2 7 1

) 1 (

3

  

x x

x F Approssimare il quantile di ordine 0.5.

a) 1.2 b) 1.5 c) 1.60 d) 1.65 e) 1.55

3 3

3

5 . 4

5 . 4 1 5 . 3

5 . 7 0

1

 

x x x

10

. Siano X

1

, X

2

, X

3

variabili casuali normali indipendenti con media 4 e varianza Calcolare PX

1

12 , X

2

4  .

a) 0.3654 b) 0.44035 c) 0.42064 d) 0.6587 e) 0.07935

 1   1     0 1 0 . 8413  0 . 5 0 . 07935 8

4 4 8

4

1 12          

 

  

 

 

 

 

  

11. Siano X1, X2, X3 variabili casuali normali indipendenti con media μ e varianza e siano

3 2 1

1

X X X

T   

;

3

3 2 1 2

X X TX  

Calcolare il momento secondo dell’errore di stima dei due stimatori.

a) MSE(T1) = 2MSE(T2) = 𝜎

2

3 b) MSE(T1) = MSE(T2 ) = 𝜎

2

9

c) MSE(T1) = 3MSE(T2) = 𝜎

2

9 d) MSE(T1) = MSE(T2) = 𝜎

2

3 e) MSE(T1) = 3MSE(T2)= 𝜎

2

3

 

T1

       

E ;

       

2

3

T E

   

T1V T1

2

2

23

2

MSE ;

   

3 9

2 2 2 2 2 2

  

V T T

MSE

(4)

12.

Sulla base del campione osservato x

1

,…,x

4

, realizzazione delle variabili casuali campionarie X

1

,..,X

4

indipendenti e con distribuzione normale con valore atteso  è stato costruito l’intervallo di confidenza per  al livello di copertura 1-=0.95. L’intervallo così ottenuto è (2;8). Calcolare la media campionaria e la varianza campionaria corretta.

a) 𝑥̅ =3, s2= 3.06 b) 𝑥̅ =5, s2= 3.06 c) 𝑥̅ =5, s2= 3.55 d) 𝑥̅ =5, s2=7.5 e) 𝑥̅ =5, s2= 5

 

 

 

55 . ˆ 3

885369 .

1824 1 . 3 5 2 ˆ 8

2 8 1824 ˆ . 3 5

2 5 8 2

8 2 4 1824 ˆ . ˆ 3

025 . 0

1824 . 3 025 . 0

4

2 3 3

 

 

 

s s

s x

x s n t s

x t n

13. Il manager di una azienda che produce macchine fotografiche vuole valutare la proporzione di pezzi difettosi prodotti sulla base di un campione casuale di n = 100 osservazioni. Nel campione il numero di macchine fotografiche difettose è 5.

Per la verifica dell’ipotesi H0:=0.06 al livello di significatività=0.05 si ottengono i seguenti risultati

a) la statistica vale 0.46 e il quantile di riferimento è pari a 1.95996. Non si ha motivo di rifiutare H0 b) la statistica vale 0.46 e il quantile di riferimento è pari a 1.64485. Si rifiuta H0

c) la statistica vale 0.42 e il quantile di riferimento è pari a 1.95996. Non si ha motivo di rifiutare H0 d) la statistica vale 0.42 e il quantile di riferimento è pari a 1.64485. Non si ha motivo di rifiutare H0 e) la statistica vale 0.42 e il quantile di riferimento è pari a 1.8595. Si rifiuta H0

4211 . 0 100

94 . 0 06 . 0

06 . 0 05 .

0 

Soluzione

Teoria: e) b) b) c) b)

Esercizi: c) c) b) d) e) e) c) c)

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