Università degli Studi di Milano

Università degli Studi di Milano

Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni Anno accademico 2010/11, Laurea Triennale, Edizione diurna

FISICA

Lezione n. 9 ^{(2 ore)}

Carlo Pagani

Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)

web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani e-mail: carlo.pagani@unimi.it

Gianluca Colò

Dipartimento di Fisica – sede Via Celoria 16, 20133 Milano

web page: http://www.mi.infn.it/~colo e-mail: gianluca.colo@mi.infn.it

Forza magnetica

Come la forza gravitazionale, che fa attrarre le masse, e quella

elettrostatica, che fa attrarre o respingere tra loro le cariche elettriche, osserviamo che vi è un’altra forza che fa sì che alcune sostanze come la magnetite si attraggano o respingano tra loro. Questa è la forza

magnetica

Un metallo (la magnetite) attira a sé la limatura di ferro, acciaio e di altri (particolari) metalli

Può essere attrattiva…

Gli estremi di due pezzi di magnetite si attraggono o si respingono

… ma anche repulsiva

Un elemento di magnetite fa cambiare

orientamento ad una sottile lamina di magnetite in equilibrio su una punta o sospesa con un filo

Può indurre una rotazione

Un magnete si presenta come dipolo

Per ottenere due magneti da un pezzo di magnete è sufficiente spezzarlo in due pezzi Frantumando, non importa quanto finemente, un magnete ottengo tanti piccoli magneti

Non è possibile costruire un magnete che sia solo attratto o solo respinto da un altro magnete: nonostante lo si ricerchi tuttora, il monopolo magnetico non esiste

3

esiste

L’elemento più semplice che genera un campo magnetico è quindi una sbarretta di dimensioni infinitesime (o in prima approssimazione un ago magnetizzato)

Dipolo Magnetico

Si definisce dipolo magnetico la sorgente più semplice di campo magnetico. Il dipolo magnetico è l’equivalente del dipolo elettrico

Dipolo Magnetico Dipolo

Elettrico

+ -

Campo Magnetico, B

In analogia a quello che si è fatto nel caso gravitazionale ed elettrostatico, si ipotizza quindi la presenza di un campo magnetico generato dalla terra o da una calamita responsabile delle forze e/o rotazioni osservate sperimentalmente Nota: diversamente che nel caso elettrico o gravitazionale, non partiamo

neanche più dalla forza, ma direttamente dal campo. A partire dal campo verrà trovata la forza

– Per misurare la presenza di un campo magnetico si utilizza un ago magnetizzato (una piccola bussola) con attrito trascurabile

– La direzione del campo magnetico sarà quella in cui si orienta la bussola sonda.

Ponendo la bussola in punti differenti sono in grado di disegnare le linee di campo magnetico

Campo magnetico generato da corrente

• Un filo percorso da corrente fa cambiare orientamento ad una sottile lamina di magnetite in equilibrio su una punta o sospesa con un filo

• Un pezzo di magnetite fa cambiare orientamento ad un circuito percorso di corrente

• Due fili percorsi da corrente subiscono

5

• Due fili percorsi da corrente subiscono una forza attrattiva o repulsiva in

dipendenza dalla direzione della corrente che vi circola

Campo di un filo rettilineo percorso da corrente

Campo di un filo circolare percorso da corrente

Dipolo Magnetico

Il campo B è prodotto da cariche in moto

Il campo creato da una sbarretta infinitesima o da un circuito di dimensioni infinitesime si dice campo di dipolo magnetico

dipolo magnetico e dipolo elettrico

campo elettrico e curve equipotenziali

Nei magneti permanenti la somma di tutte le correnti elettriche dovute al moto

degli elettroni non risulta nulla (come invece capita negli altri materiali). Queste correnti generano un campo magnetico

Il campo magnetico B è sempre generato da cariche in movimento

Le cariche in movimento sono soggette alle forze generate dal campo B

Forza magnetica e campo B

Il campo del vettore B , detto vettore di induzione magnetica, si

definisce attraverso la forza F che genera su una carica q in movimento, con velocità v . Questa forza e detta forza di Lorentz e si ha:

Note importanti

:

– la forza magnetica F è sempre ortogonale al piano formato dai vettori v _e B

B v

q F

×

=

^{⇒ F
=q v
B
sinθ ovvero F =q v Bsinθ ⇒ B =} _{q v}^F_sinθ

7

– la forza magnetica F è sempre ortogonale al piano formato dai vettori v _e B

– l’angolo θ è l’angolo formato, nell’ordine, dai vettori v _e B

– la direzione di F è conforme alla regola della mano destra propria del prodotto vettore:

ponendo il pollice nella direzione di v e l’indice in quella di B, il medio sarà diretto nella direzione di F

Dalle regole del calcolo vettoriale abbiamo le seguenti ovvie relazioni:

( ) [ ( ) ( ) ( ) ]

(

_{y z z y}

)

_y

(

_{z x x z}

)

_z

(

_{x y y x}

)

x z

y x

x y y x z

x x z y

z z y z

y x

z y x

B v B v q F B

v B v q F B

v B v q F k

F j F i F F

k B v B v j B v B v i B v B v q B

B B

v v

v

k j

i q B v q F

−

=

−

=

−

= +

+

=

− ⇒ +

− +

−

=

=

×

=

con

Unità di misura del vettore B

L’unità di misura di B , nel sistema SI, è detta “tesla” e si indica con [T]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [

^{1 1}

] [

^{2 1 1}

] [

^{2 1}

]

1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1 1

sin sin

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

⋅

⋅

=

=

= ⇒

⇒

= ⋅

= ⋅

⋅

= ⋅

⋅ ⇒

⋅

⋅

=

A s kg A

m s m kg A

m N T

A m N m T

A N s

m C T N

s m v C q

N F T

B T

B s m v C q N

F θ
θ

Considerazioni importanti:

• La forza è ortogonale sia al filo (che determina la direzione della velocità di deriva,

vd, delle cariche) che al campo B

• Il verso della forza segue la regola della mano destra, essendo il risultato di un prodotto vettore

• Il campo B non compie lavoro sulle particelle cariche che portano la corrente in quanto la forza da esso prodotta è sempre perpendicolare alla loro velocità

Esempi di campi magnetici in natura

• Sulla superficie di un nucleo 10

¹²

T

• Sulla superficie di una Pulsar 10

⁸

T

• In un Laboratorio Scientifico (per tempi brevi) 10

³

T

• In un Laboratorio Scientifico (costante in piccoli volumi) 30 T

• In LHC (acceleratore di particelle al CERN) 7 T

9

• In una macchia solare 2 T

• In prossimità di un magnete 10

^-2

T

• In prossimità dell’impianto elettrico di casa 10

^-4

T

• Sulla Terra (campo magnetico terrestre) 10

^-5

T

• Nello spazio intergalattico 10

^-10

T

• In una camera antimagnetica schermata 10

^-14

T

Carica in moto circolare uniforme - 1

Dalla meccanica (moto circolare uniforme) sappiamo che: se una particella si muove su un’orbita circolare a velocità costante (in

modulo), vuol dire che è soggetta ad una accelerazione centripeta costante (in modulo), diretta verso il centro dell’orbita. Velocità e accelerazione sono sempre ortogonali tra loro, lungo tutta l’orbita

y

r

P(t) v(t)

a_c(t)

θ = θ(t) = ω t x = x(t) = r cos(ω t)

r = r(t) = cost y = y(t) = r sin(ω t) v(t) = ω r = cost a (t) = ω² r = cost

Definizioni importanti ω = pulsazione f =ω/ 2π = frequenza

θ(t) x v(t) = ω r = cost a_c(t) = ω² r = cost

f =ω/ 2π = frequenza T = 1/ f = periodo L’accelerazione è prodotta da una forza, secondo la legge di Newton: F = m a. I vettori F_e a hanno la stessa direzione e verso

• La forza di Lorentz prodotta da un campo costante

B

ha tutte le caratteristiche necessarie per generare, su una particella carica in moto (v≠ 0)e dotata di massa, l’accelerazione centripeta che determina un moto circolare uniforme

• La forza di Lorentz prodotta dal campo

B

sulla particella sarà perpendicolare al piano formato da

v

_e

B

_,

• Il piano formato da

F

_e

v

sarà il piano dell’orbita circolare

Carica in moto circolare uniforme - 2

La legge del moto si ottiene imponendo che l’accelerazione prodotta dalla forza di Lorentz sia uguale all’accelerazione centripeta che determina il moto circolare della particella che ha velocità v

Gli acceleratori di particelle usano la forza di Lorentz per mantenere le particelle su un orbita circolare

Poiché, data un particella e una velocità, il valore della accelerazione centripeta dipende solo dalla componente del campo magnetico perpendicolare al piano dell’orbita (B sinθ), il campo magnetico utilizzato è fatto ortogonale all’orbita della particella. Il verso dell’accelerazione dipende dal segno della carica q

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della particella. Il verso dell’accelerazione dipende dal segno della carica q Valgono le seguenti ovvie relazioni:

r mv B

v q

F F

r m v r m F

B v q F

centripeta Lorentz

centripeta Lorentz

2

2 2

sin

sin

=

= ⇒

=

=

=

θ ω

θ

m B ω q

m B q f T

B q

m v

B q

v m v

r T f

B q

v r m

v θ B se

c c c

c c

2 1

2 2

2 2

1

1 sin

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

= ⇒

⊥ ⇒

ciclotrone di

frequenza

π

π π

π ω

π

Ciclotrone e sincrotrone

Finché le particelle accelerate non sono molto relativistiche (velocità << della velocità della lice), all’aumentare della loro energia la massa rimane costante ed aumenta la loro velocità. Si ha quindi il ciclotrone, retto dalle relazioni:

v v B

q v r m

cost B

m cost B q

c c

∝

=

=

=

=

=

ω

ω

^se

Ciclotrone

Quando la velocità delle particelle si approssima alla velocità della luce, che non può essere superata, l’aumento della loro energia avviene attraverso

l’aumento della loro massa. Poiché l’energia è molto grande, e di conseguenza r deve essere molto grande, si utilizza il sincrotrone in cui le particelle sono mantenute a raggio costante e, all’aumentare della loro energia, si aumenta il valore del campo di guida B in modo che sia sempre proporzionale alla quantità di moto. Le relazioni di riferimento sono:

c

v m B

v cost

r = m =

^⇒

∝

Sincrotrone

Forza su un filo percorso da corrente

Se un filo percorso da corrente è immerso in un campo B ortogonale al filo, il filo è soggetto ad una forza di Lorentz che è diretta ortogonalmente al filo e al campo B. Il passaggio di corrente è schematizzato da n cariche elementari per unità di volume (positive e di carica e) che si muovono con velocità di deriva v_d, nella direzione del filo. Le relazioni per un filo lungo L sono:

( ) ( )

L B

i F B

L i B J L A F

L A J v q L

A e n q

v e n A A v J

i v v

e v n

v A J i

d

d d

d d

d d

⋅

⇒ =

×

⋅

=

×

=

⋅

⇒ =

=

=

⇒ =

=

=

θ sin

)

(

) (



13

L B

i F B

L i B J L A

F = ( ) × = ⋅ × ⇒ = sinθ ⋅ Considerazioni:

• L’angolo θ è, come sempre, l’angolo tra la velocità e il campo magnetico.

• La direzione di v_d è data dal filo, il suo verso è conforme con la corrente, supposta come sempre prodotta da cariche positive.

Gli elettroni si muovono nel verso opposto.

• La forza è proporzionale alla lunghezza del filo. Se un filo

rettilineo (infinito) è percorso da una corrente di 1 ampere ed è posto in un campo di induzione magnetica B di 1 tesla, ad esso perpendicolare, ogni metro di filo è soggetto ad una forza di 1 newton.

• La figura indica l’effetto al variare della direzione della corrente i. ^Bortogonale al foglio e uscente

Forza su una spira rettangolare

Si verifica facilmente che ogni lato di una spira rettangolare rigida percorsa da corrente, quando la spira è immersa in un campo

magnetico costante è soggetta a delle forze. Consideriamo due casi:

Piano della spira parallelo alle linee di forza del campo B: due lati non sono soggetti a forze ed gli altri due sono soggetti a forze uguali e contrarie che formano una coppia.

Il modulo delle due forze in figura vale:

Il modulo delle due forze in figura vale:

F = i B L

Piano della spira perpendicolare alle linee di forza del campo B: tutti e 4 i lati sono soggetti a forze dirette verso l’esterno della spira. Se la spira può ruotare si orienterà in modo da essere perpendicolare a B

Nota: il verso di tutte le forze è conforme alla regola della mano destra Tutte le forze sono date dalla relazione F = i L x B

Induzione elettromagnetica

Finora abbiamo visto come una corrente produca un campo magnetico Una nuova legge, quella di Faraday, mostra come un campo magnetico sotto date condizioni possa creare (o meglio, indurre) una corrente

Un campo magnetico produce una corrente in un filo se sono verificate due condizioni:

– Il filo forma una spira (o molte spire sovrapposte a formare un solenoide) – Il campo magnetico varia nel tempo

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– Il campo magnetico varia nel tempo

La variazione del flusso del campo magnetico attraverso la spira genera una forza elettromotrice (misurata in volt) che fa girare una corrente, proporzionale alla forza elettromotrice. Poiché il flusso deve essere variabile, anche la corrente sarà in generale variabile. Questo è

espresso attraverso la legge di Faraday-Neumann-Lenz, che si scrive:

∫∫

∫∫ ^{⋅ = ⋅}

= Φ Φ

−

= con

spira

B d A

spira

B n dA

dt m d

e

f . . . (
)

Esempi di flusso del campo magnetico

Nelle figure mostriamo casi semplici:

B n

B A A

n B

B = ⋅ = −

Φ ( ) ( )

0 )

( )

( = ⋅ =

Φ B B n A

θ

^{( ) cos}

^{( )}

^θ

) (

) (

B A B

A n B B

= Φ

⋅

= Φ

Unità di misura di Φ _{e B}

Induzione magnetica, B , unità di misura “tesla”, [T]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ] [

^{1 1}

]

1

1 1

1 1

1 1

1 1 1

sin

sin

−

−

−

−

−

= ⇒

⇒

= ⋅

= ⋅

⋅

= ⋅

⋅ ⇒

⋅

⋅

=

A m N m T

A N s

m C

T N

s m v C q

N F T

B T

B s

m v C q N

F

θ

θ

17

[ ]

^{T =}

[

^{N m−1A−1}

] [

^{= kg m s−2 ⋅m−1⋅ A−1}

] [

^{= kg s−2A−1}

]

Flusso magnetico, Φ , unità di misura “weber”, [Wb]

[ ] [ ] ^{[ ]} [ ]

[ ] [

^{2 2 1}

]

2 2

Wb

1

1 1

−

=

−

 

 

=

⋅ ⇒

 

 

⇒ =

 ⋅

 

= 

Φ ∫∫

A s m A kg

m N

m m A Wb N

m A m d

A B N Wb

spira

Esempi di flusso attraverso una spira

BLv dt BLx

d dt

m d e f BLx

BA Φ = =

⇒ =

=

=

Φ . . . ( )

Tirando la spira in figura con velocità costante v, il flusso di B varia in modo lineare. Trascurando il segno meno che sistemiamo poi, si ha:

Se R è la resistenza del filo, la forza F₁, la corrente che circola nella spira e la potenza dissipata saranno date rispettivamente da:

v L R B

i BLv P

i = ⇒ = =

2 2 2

2

La potenza meccanica utilizzata per muovere la spira è pari alla potenza elettrica dissipata, come potenza termica, nel circuito elettrico formato dalla spira

La variazione del flusso genera una corrente che dissipa potenza. La potenza che viene dissipata dalla spira è uguale alla potenza necessaria per muovere la spira Se muoviamo la spira avanti e indietro alternativamente, nella spira scorrerà una corrente che cambia alternativamente il verso: corrente alternata

el mec

el

R P v L v B

F R P

v L iLB B

B L i F

R v L R B

i R P

i BLv

=

=

⇒ =

=

=

×

=

=

⇒ =

=

2 2 2 1

2 2 1

2

Generatori e motori

Il verso della corrente è determinato dalla legge di Faraday-Neumann. In particolare abbiamo i casi indicati in figura

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Ci sono molti modi per variare il flusso di B e generare una corrente:

– Variare l’intensità del campo B, per esempio ciclicamente – Ruotare una spira in un campo costante

– Variare ciclicamente l’area della bobina che vede il flusso

Nell’esempio visto per generare una corrente abbiamo dovuto fornire una potenza meccanica. Questo è il caso dei generatori che sono tipicamente alternati

Possiamo in modo analogo far variare la corrente in una bobina e trasferire della potenza meccanica ad un magnete (o a un’altra bobina). Questa considerazione è alla base del funzionamento dei motori elettrici

Esempio

( ) ( )

( )

(

t

)

B A m e f

t B

dt A B d

dt m d

e f

t B

A B

A da n B B

Sup

ω θ

ω

ω θ

ω θ

θ

+

=

+

−

= Φ

−

=

+

=

=

⋅

=

Φ

∫

0

0

0

sin .

. .

cos )

( .

. .

cos cos

) (

Nella figura di sinistra si mostra una possibile generazione di corrente

alternata, ottenuta facendo ruotare una spira in un campo magnetico

costante. La corrente ha il grafico mostrato nella figura di destra