Lezione 9/11/2012 Astronomia

Astronomia

Lezione 9/11/2012

Docente: Alessandro Melchiorri

e.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it

Sito web per slides lezioni: oberon.roma1.infn.it:/alessandro/astro2012/

Le lezioni astronomia012_*.pdf sono quelle di quest’anno ! astronomia_*.pdf sono dell’anno scorso.

Libri di testo consigliati:

- An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A. Ostlie, Addison Wesley - Astronomy: A physical perspective, Marc L. Kutner, Cambridge University Press.

- Fundamental Astronomy, Karttunen e altri, Springer - Elementi di Astronomia, P. Giannone.

Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?

Qui le stelle seguono un corpo nero in modo quasi perfetto

Qui no

c’e’ assorbimento da parte

dell’atmosfera stellare

Classificazione spettrale delle stelle Classificazione di Harvard

Quindi, riassumendo le stelle possono essere classificate in base alle loro righe di assorbimento.

Queste righe, come vedremo, dipendono per lo più dalla temperatura superficiale della stella e non dalla abbondanza dell’elemento. Quindi la classificazione spettrale e’ essenzialmente una classificazione in base alla temperatura dell’atmosfera stellare.

Notiamo che la misura delle righe fornisce un metodo alternativo a quello del corpo nero alla misura della temperatura superficiale stellare. E’ anche maggiormente usato perché più

accurato (molte stelle sono solo approssimativamente corpi neri).

Altri spettri: notare come il picco di corpo nero si sposti verso frequenze minori diminuendo La classe. Le righe dell’idrogeno della serie di Balmer (656.2 nm, 486.1 nm, 434.0 nm, 410.2 nm) incrementano da O a A e poi decrescono. Gli spettri per ultimi tipi (K) hanno righe un po’

Dovunque caratteristiche della presenza di molecole.

Perche’ ho questa variazione nelle righe ? Non dipende da una diversa composizione delle stelle perche’ queste hanno piu’ o meno le stesse quantita’ di elementi (chiaramente

In prima approssimazione).

Spiegazione fisica dell’andamento delle righe

Per farlo e’ necessario ricorrere alla meccanica statistica. Vale a dire non possiamo seguire l’andamento di ciascuna particella di un gas ma possiamo determinare alcune proprieta’ del gas nel suo insieme come pressione, densita’ e temperatura.

Dato un gas in equilibrio termico si ha la distribuzione di velocita’ di Maxwell-Boltzmann che fornisce la densita’ di particelle per unita’ di volume aventi velocita’ nell’intervallo

v e v+dv per un gas di particelle di massa m alla temperatura T:

Distribuzione di Maxwell-Boltzmann

Ha un picco (velocita’ di massima probabilita’ vmp) per:

ma la distribuzione non e’ simmetrica Intorno a vmp e quindi ha una valore quadratico medio pari a:

Atomo di Bohr

Fin qui niente di strano ma Bohr quantizza il momento angolare:

riscrivendo la formula per l’energia:

Possiamo risolvere per il raggio orbitale che risulta anch’esso quantizzato:

Solo multipli del raggio di Bohr:

Ad ogni orbita corrisponde una energia:

Se un fotone viene assorbito questo corrisponde ad una transizione ad un’orbita maggiore.

La conservazione dell’energia stabilisce che:

Atomo di Bohr

Eccitazione, Diseccitazione, Ionizzazione e Ricombinazione

Quando un elettrone salta da un livello a bassa energia ad uno ad energia piu’ elevata (da piccoli n a grandi n), l’atomo si dice essere eccitato ed il processo e’ chiamato eccitazione.

Dell’energia deve essere ceduta all’atomo perche’ avvenga questo salto tra orbite.

Vi sono due vie perche’ l’atomo venga eccitato:

1- Se l’atomo subisce una collisione questo puo’ causare che un elettrone salti da uno stato ad energia piu’ bassa ad uno ad energia piu’ alta. Questo processo e’ chiamato eccitazione

collisionale.

2- Se un elettrone cattura un fotone di energia hn corrispondente alla differenza tra due livelli energetici e quindi salta da uno stato ad energia piu’ bassa ad uno ad energia piu’ alta. Questo processo e’ chiamato eccitazione radiativa.

Analogamente ci sono anche I due processi inversi di diseccitazione collisionale e diseccitazione radiativa. Nell’ultimo caso vi e’ una transizione spontanea, cioe’ senza intervento esterno.

Oltre a questi processi c’e’ la possibilita’ che l’elettrone salti completamente fuori dall’atomo (ionizzazione) o che un elettrone libero venga catturato in un livello energetico

(ricombinazione).

Righe Spettrali: Serie di Balmer e Ionizzazione

La serie di Balmer e’ costituita da transizioni da/verso il livello n=2 dell’atomo di idrogeno neutro. Ci aspettiamo che le righe di Balmer nello spettro siano piu’ evidenti quando una grande quantita’ di atomi hanno elettroni nel livello 2. Questo avviene se abbiamo una temperatura elevata del gas. D’altra parte se la temperatura e’ troppo elevata l’atomo puo’

rimanere ionizzato.

Richiamiamo la seguente notazione di ionizzazione:

H I = Idrogeno

H II = Idrogeno ionizzato He I = Elio neutro

He II = Elio ionizzato una volta He III = Elio ionizzato due volte.

Questi sono chiamati livelli di ionizzazione.

Per capire l’andamento della profondita’ delle righe in funzione della temperatura dobbiamo rispondere alle seguenti domande:

- Come la popolazione dei livelli dipende da T ? - Come la ionizzazione dipende da T ?

Distribuzione di Maxwell-Boltzmann

Ha un picco (velocita’ di massima probabilita’ vmp) per:

ma la distribuzione non e’ simmetrica Intorno a vmp e quindi ha una valore quadratico medio pari a:

Equazione di Boltzmann

Quando gli atomi collidono, I loro elettroni possono trasferirsi a livelli energetici piu’

alti se gli atomi in collisione hanno sufficiente energia (eccitazione collisionale).

L’elettrone puo’ anche essere completamene strappato (ionizzazione).

Guardando al problema da un punto di vista statistico, la probabilita che un atomo sia In uno stato energetico s_a e’ proporzionale a:

Mentre allo stesso modo la probabilita’ di uno stato s_b:

Dove Ea ed Eb sono le energie degli stati (ad esempio E=-13.6 eV per il livello base dell’atomo di idrogeno). Il rapporto tra queste probabilita’ e’ dato da:

Equazione di Boltzmann

Il termine esponenziale e’ detto fattore di Boltzmann.

Ora supponiamo che Eb>Ea.

Per temperature molto basse (T che tende a zero) l’esponenziale tende a zero perche’

l’esponente tende a meno infinito.

Quindi gli stati ad energie superiori tendono ad essere meno popolati rispetto agli stati ad energie inferiori.

Per temperature molto alte abbiamo che la probabilita’ tende a 1.

Quindi tutti gli stati sono ugualmente popolati.

Stati Quantistici e Degenerazioni

E’ importante pero’ notare che ad uno stesso Livello energetico possono corrispondere Piu’ stati quantistici.

Ad esempio, nell’orbita fondamentale dell’atomo di idrogeno io posso avere due gradi di liberta’

dovuti allo spin.

Nel caso con n=2 io posso avere ancora piu’

stati quantistici considerando il numero quantico orbitale l (che va da 0 a n-1), il

numero quantico magnetico (che va da –l a l) e lo spin.

Se non ci sono campi magnetici (non c’e’

Effetto Zeeman) questi hanno tutti la stessa Energia. Per l’atomo di idrogeno ho che per un valore di energia n ho 2n^2 stati con la stessa energia.

Equazione di Boltzmann

Dobbiamo quindi tener conto delle degenerazioni quando vogliamo sapere quando confrontiamo la probabilita di avere un certo livello energetico invece di uno stato quantistico. Quindi contiamo le degenerazioni in un numero g che conta i gradi di liberta’ :

Dato che il numero di atomi N ad un dato livello energetico e’ proporzionale alla probabilita’ abbiamo l’equazione di Boltzmann:

Enorme !!!!

Se usiamo questa formula pero’ sembra che il livello di Balmer e’ popolato per

temperature sempre piu’ elevate. Come mai non osserviamo pero’ le righe dell’idrogeno nelle stelle piu’ calde di classe O ?

Dobbiamo considerare anche la ionizzazione.

Per avere un elettrone nell’atomo di Idrogeno al livello 2 e necessaria una collisione con almeno 10.2 eV di energia. D’altra parte, una volta che stiamo a livello 2, bastano 3.4 eV di energia per rimuoverlo completamente dall’atomo. Quindi il primo stato eccitato e’ una posizione assai precaria per l’elettrone !

Il vero numero di atomi a livello 2 sara’ quindi un bilancio tra le collisioni che eccitano l’atomo e le collisioni che lo ionizzano.

Equazione di Saha

Definiamo come c_i il potenziale di ionizzazione per il livello i-simo. Questa e’ la quantita’

di energia necessaria per rimuovere un elettrone dal suo stato fondamentale.

Per lo stato H I, ad esempio, e’ 13.6 eV. Per lo stato He I e’ 24.6 ev, mentre per He II e’ 54.4 eV . Possiamo assumere che il numero di atomi in un certo stato di ionizzazione rispetto ad un altro sia dato da:

Equazione di Saha

Dobbiamo pero’ tener conto che la ionizzazione puo’ avvenire a partire da diversi livelli energetici (non solo da quello fondamentale !).

Si introduce quindi la funzione di partizione Z:

Tenendo conto di questo la formula corretta e’ l’equazione di Saha:

Esempio: calcolo per l’idrogeno

Funzione di partizione:

Per l’idrogeno ionizzato H II (protone) si ha (nessuna degenerazione):

Si ha:

Se quindi consideriamo temperature intorno intorno ai 10000 K allora l’unico termine che sopravvive nella somma ha n=1, dato che E²-E¹=10.2 eV quindi:

 1 Z









/ ) 1 / 1 ( 6 . 13

2 ²

2

n

kT n

eV

I

n e

Z

 2

Z

L’equazione di Saha:

Per l’idrogeno ionizzato diventa:

kT eV e

e kT

eV e

e I

II

e

h kT m P

e kT h

kT m n

N

N

2 6

. 2 13 / 3 2

2 2

2

2 



 



 

 

 



   

1 /

/

 

 

I II

I II

I II

II Tot

II

N N

N N

N N

N N

N

Esempio: calcolo per l’idrogeno

Esempio: calcolo per la serie di Balmer

Boltzmann:

Per l’idrogeno abbiamo tra n=2 e n=1:

   

eV kT

eV

e

N e

N

2 2

1

2

4

1 2

2

2





1 2

1 2

2 1

2 2

/ 1

/

N N

N N

N N

N N

N

Tot

 

 

Esempio: calcolo per la serie di Balmer

Per sapere quanti atomi di idrogeno ho in n=2 dovro’ considerare:

II I

I Tot

I I

Tot

N N

N N

N N N

N N

N N

N



 



2 1

2 2

2

Boltzmann

Saha

Esempio: stimare la profondita’ relativa delle righe nel Sole per l’Idrogeno e il Calcio

5

. 1

5777

m P N

K T

e e





Temperatura e pressione elettronica nel Sole:

Con questi parametri si ha:

Vale a dire che tutto l’idrogeno e’ NEUTRO e che pochissimo idrogeno e’ eccitato a n=2.

Esempio: stimare la profondita’ relativa delle righe nel Sole per l’Idrogeno e il Calcio

Il Calcio ha una energia di ionizzazione di 6.11 eV. Questo cambia moltissimo le cose Perche’ a T=5777 K si ha (le funzioni di partizione sono tabulate):

Quindi tutto il Calcio e’ ionizzato. Consideriamo quanti sono al livello fondamentale, Che appunto produce le righe di assorbimento K e H del Ca II.

Considerando solo la riga K a 393.3 nm (la trattazione per H a 396.8 nm e’ molto simile), si ha che il primo stato eccitato necessita di 3.12 eV.

Si ha quindi:

Vale a dire buona parte del Ca II e’ allo stato fondamentale.

Esempio: stimare la profondita’ relativa delle righe nel Sole per l’Idrogeno e il Calcio

In pratica nella atmosfera del Sole tutto il calcio e’ ionizzato e si trova al livello Fondamentale. Quindi e’ tutto disponibile per assorbire le righe H e K.

Nell’atmosfera del Sole abbiamo 500.000 atomi di Idrogeno ogni singolo atomo di Calcio. Tuttavia le righe H e K del Calcio sono molto piu’ evidenti perche tutto l’Idrogeno e’ neutro nello stato fondamentale e quindi non assorbe come Balmer.

Altri spettri: notare come il picco di corpo nero si sposti verso frequenze minori diminuendo La classe. Le righe dell’idrogeno della serie di Balmer (656.2 nm, 486.1 nm, 434.0 nm, 410.2 nm) incrementano da O a A e poi decrescono. Gli spettri per ultimi tipi (K) hanno righe un po’

Dovunque caratteristiche della presenza di molecole.