Astronomia
Lezione 12/10/2012
Docente: Alessandro Melchiorri
e.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it
Sito web per slides lezioni: oberon.roma1.infn.it:/alessandro/astro2012/
Le lezioni astronomia012_*.pdf sono quelle di quest’anno ! astronomia_*.pdf sono dell’anno scorso.
Libri di testo consigliati:
- An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A. Ostlie, Addison Wesley - Astronomy: A physical perspective, Marc L. Kutner, Cambridge University Press.
- Fundamental Astronomy, Karttunen e altri, Springer - Elementi di Astronomia, P. Giannone.
Coordinate Celesti
Oggi continuo a trattare le coordinate celesti.
Gli argomenti trattati li trovate maggiormente su questo libro.
Capitolo 2.
Trigonometria Sferica
Dato un sistema di assi cartesiani xyz centrato nella sfera un qualunque punto P sulla sfera puo’ essere individuato dagli angoli q e y come in figura.
Consideriamo anche un nuovo sistema di riferimento x’ y’ z’ ruotato lungo x di un angolo c come in figura.
Si ha che:
Trigonometria Sferica
Data questa rotazione le
coordinate cartesiane saranno legate da:
e usando le relazioni precedenti otteniamo le seguenti equazioni tra gli angoli:
Trigonometria Sferica
Si chiama triangolo sferico un triangolo sulla superficie sferica i cui lati siano tre archi di cerchi massimi AB, BC, CA.
Gli angoli corrispondenti a questi archi sono c, a e b.
La lunghezza di un arco |AB| se la sfera è di raggio r è data da:
dove c è in radianti.
La somma degli angoli A, B e C del triangolo sferico non e’ 180° ma e’ maggiore per un eccesso E dato da:
si puo’ dimostrare che l’area del triangolo sferico e’ allora (con E in radianti):
Trigonometria Sferica
Il punto P e i due assi z e z’ possono identificare i vertici di un triangolo sferico.
Dalla figura si ha che i vari angoli sono connessi con gli angoli del triangolo sferico tramite:
Trigonometria Sferica
Ricordando adesso che tra i due sistemi di riferimento valgono:
possiamo sostituire con gli angoli del
triangolo sferico ottenendo queste relazioni:
da cui, con varie permutazioni si ottiene:
Coordinate orizzontali o altazimutali
Il piano di riferimento e’ l’orizzonte., il piano tangente alla terra che contiene l’osservatore.
La retta perpedincolare all’orizzonte passante per l’osservatore identifica due poli celesti:
lo Zenith (sopra l’osservatore) ed il Nadir (il polo opposto).
I cerchi massimi attraverso lo Zenith sono chiamate verticali ed intersecano l’orizzonte perpendicolarmente.
Le circonferenze minori formate dai punti di uguale altezza sono i cerchi d'altezza o almucantarat.
Quindi come coordinate si usano:
l‘altezza (a) è l’angolo dell'astro dall'orizzonte, e varia tra -90° e +90°.
Si usa anche la distanza di zenith z con z=(90° -a)
l‘azimut (A) è l’angolo tra il punto Sud e il piede dell'astro
(corrispondente alla distanza angolare tra meridiano locale e meridiano passante per l'astro), misurata in senso orario, e varia tra 0° e 360°. Attenzione pero’ che la definizione cambia !!
Coordinate Equatoriali
Il sistema equatoriale usa come cerchi di riferimento l'equatore e il meridiano passante per il punto gamma g.
Il punto g corrisponde all’intersezione tra il piano dell’equatore e quello dell’eclittica dove ha luogo La rivoluzione terrestre intorno al sole.
Le coordinate sono la declinazione d e l'ascensione retta a, misurate a partire,
rispettivamente, dall'equatore verso il Polo Nord celeste (vicino alla stella polare) e
dal punto gamma g in senso antiorario.
Il moto diurno delle stelle avviene parallelamente all'equatore celeste e il punto gamma
si comporta come un qualsiasi oggetto celeste, per cui le coordinate equatoriali
non cambiano con il trascorrere del tempo.
Questo sistema di coordinate si muove, nelle 24 ore, insieme ai corpi celesti ed è indipendente dalla latitudine del luogo.
a si misura in ore, minuti, secondi (di tempo);
d si misura in gradi, primi, secondi (d'arco)
Coordinate Equatoriali
Il punto gamma vernale è anche noto con il nome di punto dell'Ariete o primo punto d'Ariete perché in corrispondenza dell'equinozio di primavera di circa 2100 anni fa (più precisamente nel periodo 2000 a.C. ÷ 100 a.C.), il Sole si trovava
nella costellazione dell'Ariete. Oggi a causa della precessione degli equinozi non è più così e in corrispondenza dell'equinozio di primavera il Sole si trova nella costellazione dei Pesci; a partire dal 2700 d.C. si troverà in quella dell'Acquario e così via fino al completamento dell'intero zodiaco.
Il moto del sole sulla sfera celeste cambia nei giorni dato che il piano dell’equatore Interseca quello dell’eclittica. Il moto del sole apparira’ quindi andare da sud a nord nell’equinozio vernale (in primavera) e da nord a sud nell’equinozio autunnale
(detto punto omega o della Bilancia).
Coordinate Equatoriali
Quando osserviamo con il telescopio
trovare la declinazione e’ semplice perche’
uno degli assi del telescopio e’ orientato come l’asse di rotazione terrestre.
Per l’ascensione retta si prende come riferimento un meridiano (es. il Sud).
L’angolo orario h e’ la distanza angolare Di una stella rispetto a questo meridiano.
Si chiama tempo siderale l’angolo orario del punto vernale.
Dalla figura e’ chiaro che:
Quindi in pratica:
- Si misura h di una stella di cui si conosce l’ascensione retta.
- Si conosce quindi il tempo siderale e tutte le altre stelle si possono quindi trovare conoscendone l’ascensione retta da un catalogo.
Passaggio da coordinate orizzontali a coordinate equatoriali.
Il passaggio da coordinate orizzontali a Equatoriali puo’ essere fatto considerando il triangolo sferico con i vertici la stella, lo zenith ed il polo nord. Guardando la figura si ha:
Da cui, usando le formule precedenti:
dove f e’ la latitudine dell’osservatore.
Coordinate eclittiche
In questo sistema di coordinate si usa come piano di riferimento il piano dell’eclittica.
Si ha una latitudine eclittica indicata da b e una longitudine eclittica indi cata con l.
La latitudine si misura dal punto vernale in senso antiorario. La longitudine e’ la distanza angolare dal piano dell’eclittica. Queste coordinate possono essere geocentriche o
eliocentriche. Per oggetti vicini c’e’ una differenza tra i due tipi di coordinate, per quelli lontani no.
Passaggio coordinate eclittiche- coordinate equatoriali.
I due sistemi di riferimento differiscono solo per la differente orientazione dei piani avendo entrambe in ascissa ome riferimento il punto gamma o vernale.
Ricordando quindi la trasformazione di coordinate tra angoli trovata precedentemente data da:
Considerando quindi gli angoli si ha:
Con e che indica l’inclinazione tra i due piani e pari a circa 23° 26’
Coordinate Galattiche
Per le coordinate galattiche si usa come piano il piano della galassia . Si ha una latitudine galattica b ed una longitudine galattica i.
Quest’ultima e’ calcolata partendo dal centro della Galassia (nel Sagittario) in senso antiorario.
Perturbazioni alle coordinate
Abbiamo visto che le coordinate orizzontali dipendono dal tempo e dalla posizione.
Le coordinate equatoriali invece sono fisse con la sfera celeste, tuttavia vari fenomeni perturbano queste coordinate e sono necessarie delle correzioni.
Gli effetti perturbativi di cui tenere conto sono:
- Precessione - Nutazione - Parallasse - Aberrazione - Rifrazione
Precessione
La Terra possiede un moto di precessione: il suo asse di rotazione ruota lentamente (con un ciclo di 25.800 anni) intorno alla perpendicolare al piano della sua orbita, rispetto alla quale è
inclinato di circa 23°26'. Questo fenomeno è dovuto all'attrazione del Sole e della Luna, e al fatto che la sua forma non è esattamente sferica. Si parla di precessione degli equinozi, in quanto tra gli effetti della precessione vi è quello di spostare lentamente i punti equinoziali lungo la volta celeste. Questo fenomeno fa sì che la linea degli equinozi (cioè il segmento congiungente i due punti dell'orbita terrestre in cui si verificano gli equinozi) ruoti.
Il punto vernale si muove quindi di circa 50 arcosecondi l’anno in senso orario. Questo porta ad un incremento della longitudine eclittica.
Inoltre al presente l’asse di rotazione punta verso la stella polare con una incertezza di un grado.
Fra 12000 anni puntera’ invece approssimativamente verso la stella Vega.
Precessione
Lo schiacciamento della Terra ai poli può essere schematizzato ipotizzando la Terra sferica con una massa anulare (in azzurro) intorno all'equatore. L'attrazione gravitazionale (in verde)
esercitata sulla massa anulare dà origine a una coppia (in arancione) che, nel tentativo di raddrizzare la Terra, sposta l'asse di rotazione (in magenta con senso antiorario) verso una nuova direzione (in giallo con senso antiorario), dando luogo al movimento di precessione degli equinozi (in bianco con senso orario).
Precessione
Andiamo adesso a vedere come la precessione cambia le coordinate equatoriali.
Le equazioni per il cambiamento di coordinate da eclittiche ad equatoriali sono:
Differenziando l’ultima si trova:
Il cambiamento di coordinate inverso (da equatoriali ad eclittiche) e’ invece dato da:
Applicando la seconda equazione al secondo membro della precedente si trova:
Precessione
Differenziando l’equazione (la seconda del cambiamento ecliitica-equatoriale):
si trova:
Usando questa equazione nell’espressione precedente per dd e usando anche
si ottiene :
Da cui semplificando otteniamo:
Precessione
In pratica quindi si ha che per ogni cambiamento di longitudine eclittica dl si ha:
dl incrementa di circa 50’’ l’anno. Le equazioni precedenti si possono scrivere anche come:
dove:
m ed n cambiano anch’esse con il tempo ma molto piu’ lentamente. Si ha
Nutazione
Anche la luna subisce un precessione con un periodo di circa 18.6 anni.
Questo crea dei piccoli ondeggiamenti anche sull’asse terrestre con lo stesso periodo.
Il calcolo degli effetti della nutazione sono molto piu’ complicati.
Fortunatamente l’effetto e’ inferiore a 0.5’’ nelle coordinate.
Parallasse
Si tratta della tecnica più nota tra quelle utilizzate in campo astronomico per le distanze di stelle e pianeti "vicini".
È molto semplice in quanto permette, dati:l'angolo P con cui si vede sullo sfondo un oggetto la lunghezza di base A tra i due punti di vista la distanza D dall'oggetto di ricavare la distanza D mediante una semplice formula
trigonometrica:D=(A/2)tang (P")
con l'angolo misurato P, ad esempio, in secondi di arco.
Con questo metodo non si misurano direttamente le distanze ma gli angoli, è da questi che è possibile risalire, sfruttando l'effetto della proiezione sullo sfondo, al dato fisico della distanza. In astronomia quello che è determinante è la scelta della lunghezza di base. A tale scopo si scelgono:il raggio terrestre Rt
si misura la parallasse geocentrica o diurna della Luna si misura la parallasse di Marte
utilizzando i transiti dei pianeti interni sul Sole si ottiene la parallasse solare cioè la distanza Terra-Sole w il raggio dell'orbita terrestre.
Parallasse
Se scegliamo il raggio terrestre (Rt= 6378 km) come base per il calcolo della
parallasse (diamo quindi per scontata la conoscenza della sfericità della Terra) ecco che siamo in grado di determinare, calcolata la parallasse geocentrica P, la distanza della Terra, ad esempio, dalla Luna secondo la formula:
DL= Rt sen (P") dove:
DL è la distanza geocentrica della Luna Rt è il raggio terrestre
P" è l'angolo di parallasse geocentrica o diurna in secondi di arco
Il calcolo della parallasse Lunare e Solare non è semplice, ma comunque porta a determinare i seguenti valori:PL= 3422.7" (secondi d'arco) DL= 384 400 km
Aberrazione
Se siamo in moto rispetto ad un oggetto questo ci apparira’ sottendere un angolo inferiore.
Questo fenomeno e’ chiamato aberrazione e dipende dalla velocita’ finita della luce.
L’effetto e’ dato da:
Il massimo effetto e’ dovuto al moto orbitale della terra (pari a circa 21’’) mentre l’effetto Della rotazione terrestre e’ 0.3’’.
Rifrazione
La luce di un corpo celeste passa attraverso differenti strati dell’atmosfera ciascuno con Indice di rifrazione diverso. Questo porta ad un dislocamento dell’astro dalla sua posizione vera. Applicando la legge di Snell ai vari strati (z e’ la distanza di zenith) si ha:
Rifrazione
Per piccoli angoli di rifrazione R=z-z si puo’ scrivere:
Ovvero:
come valore medio si ha:
Ci sono due punti da consierare pero’:
1) allo zenith non si dovrebbe avere rifrazione ma questo e’ vero solo se i vari atmosferici sono Paralleli, cosa che non avviene.
2) La formula precedente vale solo per piccoli angoli. Per il Sole al tramonto si ha circa 35’, praticamente il suo diametro. (noi vediamo il sole quando e’ gia’ tramontato).
Rifrazione
Discussione delle leggi di Keplero e Newton le trovate qui.
Galileo e Newton
Galileo: Padre della fisica moderna.
Principio di Relativita’ Galileana, fasi di Venere (quindi non brilla di luce propria), Satelliti di Giove.
Newton parte da Galileo per formulare le sue famose 3 Leggi.
Leggi di Newton
- Legge di Inerzia. Un oggetto in quiete rimarra’ in quiete, un oggetto in moto
rimarra’ in moto uniforme percorrendo una linea retta. (e’ una definizione di sistema
di riferimento inerziale!).L’impulso p=mv di una particella non soggetta a forze e’ costante In un sistema di riferimento inerziale.
- La forza netta (la somma di tutte le forze) su di un oggetto e’ proporzionale alla massa dell’oggetto e la sua accelerazione risultante.
- Per ogni azione c’e’ una reazione opposta e contraria.
Legge di Keplero, Leggi di Newton e Legge di Gravitazione Universale.
Terza Legge di Keplero
Assumendo orbita circolare:
Inserendo nella Terza Legge di Keplero:
Inserendo nella Terza Legge di Keplero:
Moltiplicando ambo i membri:
Si ha:
Usando la II legge di Newton questa e’ la forza a
cui e’ soggetto il pianeta
Legge di Keplero, Leggi di Newton e Legge di Gravitazione Universale.
Usando la III Legge di Newton abbiamo che la forza esercitata sull’altro pianeta di massa M sara’:
Uguagliando le due forze in modulo si ha:
dove e
definendo abbiamo la Legge di Gravitazione !:
Legge di Gravitazione Per due corpi sferici
(non punti materiali)
Adesso deriviamo le leggi di Keplero dalle leggi di Newton….
Le tre leggi di Keplero:
- Le orbite dei pianeti sono ellittiche - Coprono aree uguali in tempi uguali -
1 AU = Astronomical Unit – Distanza media Terra-Sole
Equazione dell’ellisse:
a e’ una costante detta semi-asse maggiore.
b e’ il semiasse minore.
F e F’ sono i due punti focali dell’ellisse. Il Sole e’ nel punto focale maggiore F.
e e’ l’eccentricita’ dell’ellisse e va da 0 a 1. e’ definita come la distanza di uno dei fuochi divisa a. e=0 e’ un cerchio.
Il punto piu’ vicino al fuoco principale e’ detto perielio, quello opposto afelio.
Si puo’ dimostrare che:
Introduciamo il momento angolare:
Deriviamo rispetto al tempo :
Se non abbiamo forze esterne:
conservazione del momento angolare.
Centro di massa
Per 2 oggetti
Per i=1,..,N oggetti
Derivando per t
Derivando ancora:
(Per la III Legge di
Newton)
Prendiamo un riferimento con
