Astronomia
Lezione 22/11/2012
Docente: Alessandro Melchiorri
e.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it
Sito web per slides lezioni: oberon.roma1.infn.it:/alessandro/astro2012/
Le lezioni astronomia012_*.pdf sono quelle di quest’anno ! astronomia_*.pdf sono dell’anno scorso.
Libri di testo consigliati:
- An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A. Ostlie, Addison Wesley - Astronomy: A physical perspective, Marc L. Kutner, Cambridge University Press.
- Fundamental Astronomy, Karttunen e altri, Springer - Elementi di Astronomia, P. Giannone.
Equazione del Trasporto Radiativo
Durante il suo cammino il raggio luminoso potra’ anche incrementare la sua intensita’
grazie a fenomeni di emissione. In questo caso:
dove jl e’ detto coefficiente di emissione.
Considerando sia assorbimento che emissione si ha:
Dividendo ambo i membri si puo’ riscrivere come:
Ovvero:
Detta equazione del trasporto radiativo, definendo come funzione sorgente:
Equazione del Trasporto Radiativo
Se l’intensita’ e’ uguale alla funzione sorgente allora e’ costante.
Se l’intensita’ e’ maggiore della funzione sorgente allora decresce.
Se l’intensita’ e’ minore della funzione sorgente allora cresce.
L’intensita’ tende ad avere il valore della funzione sorgente, vale a dire pari al rapporto tra emissione e assorbimento nel punto
(esempio con targhe di macchine in autostrade americane).
Ipotesi di atmosfera piana
E’ chiaramente molto difficile da risolvere ma si possono fare delle approssimazioni come quella di atmosfera piana. L’atmosfera stellare, dato che e’ molto sottile rispetto alle
dimensioni di una stella, puo’ essere pensata come a strati paralleli, trascurando la curvatura).
Abbiamo introdotto la profondita’ ottica come:
Consideriamo adesso una profondita’ ottica verticale come:
Ipotesi di atmosfera piana
La profondita’ ottica verticale incrementa con l’incrementare di –z vale a dire della
profondita’ e non dipende dalla direzione del raggio.
Un raggio proveniente da una direzione diversa avrebbe profondita’ ottica maggiore alla
stessa profondita’ -z.
La profondita’ ottica verticale puo’ essere usata come utile coordinata nel caso di ipotesi di atmosfera piana.
Ipotesi di atmosfera piana
L’equazione del trasporto:
ricordando la definizione di profondità ottica può essere scritta come:
e quindi, usando la definizione di profondità ottica verticale:
Ipotesi di atmosfera piana
Questa equazione si puo’ ulteriormente semplicare assumendo che la profondita’
ottica sia indipendente dalla frequenza (si puo’ ad esempio utilizzare il coefficiente di assorbimento di Rosseland). Questa approssimazione viene detta approssimazione di atmosfera grigia.
In questo caso si puo’ integrare sulle lunghezze d’onda ottenendo:
Con:
Ipotesi di atmosfera piana
Integrando sull’angolo solido abbiamo:
E ricordando le espressioni del flusso radiativo e dell’intensita’ media:
si ha:
Ipotesi di atmosfera piana
Una seconda equazione si puo’ ottenere moltiplicando per il coseno e integrando sull’angolo solido:
Ricordando adesso l’espressione della pressione di radiazione:
Il primo termine e’ essenzialmente la pressione di radiazione moltiplicata per la velocita’ della luce, il secondo termine e’ il flusso radiativo mentre il terzo termine:
Ipotesi di atmosfera piana
Si ha quindi:
e’ possibile dimostrare che per una stella a simmetria sferica con r distanza dal centro si ha:
C’e’ quindi una specie di «vento di radiazione» che si sposta verso zone a bassa pressione da zone con pressione maggiore.
In una stella in equilibrio termodinamico a tanti processi di emissione corrispondono gli stessi processi di assorbimento. Quindi questo comporta che il flusso radiativo sia costante in tutti i punti dell’atmosfera stellare e pertanto uguale al suo valore sulla superficie:
(ricordiamo che siamo nell’ipotesi di atmosfera piana).
Se pero’ e’ costante, ricordando che:
Si deve avere:
Inoltre se il flusso e’ costante l’equazione:
Puo’ essere integrata fornendo:
con C costante di integrazione.
Ipotesi di atmosfera piana:
approssimazione di Eddington
Quello che noi vogliamo trovare e’ un andamento che leghi la profondita’ ottica alla temperatura della stella nell’atmosfera. Per fare questo e’ necessario assumere una
distribuzione angolare per l’intensita’ specifica. Si puo’ assumere il modello di Eddington dove abbiamo semplicemente due valori, uno uscente nella direzione dell’asse z ed
uno entrante. In questo caso si hanno delle importanti relazioni tra intensita’ media, flusso e pressione.
Ipotesi di atmosfera piana:
approssimazione di Eddington
Considerando l’equazione:
Utilizzando l’ultima delle espressioni per la pressione dalla pagina precedente:
La costante puo’ essere determinata sulla superficie della stella dove
(l’ultima relazione si ottiene considerando l’approssimazione di Eddington)
Ipotesi di atmosfera piana:
approssimazione di Eddington
Quindi la costante vale:
Inserendo otteniamo:
Ora dato che il flusso radiativo e’ costante abbiamo:
Ipotesi di atmosfera piana:
approssimazione di Eddington
Per continuare dobbiamo fare l’ulteriore approssimazione di equilibrio termodinamico Locale (LTE) vale a dire che localmente l’intensita’ specifica e’ data da un corpo nero.
In questo caso non si hanno variazioni di intensita’ specifica, quindi abbiamo che l’intensita’ specifica e’ pari alla funzione sorgente.
Ricordando quindi che per l’approssimazione di atmosfera piana:
Si ha:
La temperatura effettiva indica la temperatura della stella a
t=2/3 e non a t=0 !!!
Oscuramento al bordo
Consideriamo l’equazione del trasporto:
E cerchiamo una soluzione generale moltiplicando per un esponenziale
Integrando da dove alla superficie con
E’ somma di due contributi positivi (ricordate che la profondita’ ottica diminuisce).
Oscuramento al bordo
Consideriamo ora la profondita’ ottica verticale:
Ponendo uno dei punti quando la profondita’ ottica e’ infinita (molto dentro la stella):
La quale puo’ essere risolta conoscendo l’andamento della funzione sorgente con la profondita’ ottica. Assumendo:
Si ottiene:
Oscuramento al bordo
Nel caso di atmosfera piana, approssimazione di Eddington e LTE avevamo trovato:
Ovvero:
Usano l’oscuramento al bordo possiamo Verificare:
Profilo delle linee spettrali
Consideriamo una riga spettrale.
Si definisce come profondita’ della riga la quantita’:
Dove Fc e’ il valore al continuo e Fl e’ il flusso radiativo della riga. Si definisce come larghezza equivalente:
Che e’ la base di un rettangolo di area equivalente a quella della riga.
Si definisce la larghezza a mezza altezza la quantita’ l’intervallo in lunghezza d’onda per cui:
Un punto importante e’ che il coefficiente di assorbimento sara’ maggiore al centro della
riga e minore ai bordi. Questo vuol dire che la riga deve essere in zone piu’ alte dell’atmosfera stellare rispetto ai bordi , cioe’ proviene da zone meno calde rispetto di quelle ai bordi
che sono quindi piu’ profonde.
La linea in figura non e’ satura e quindi si dice che il mezzo e’ otticamente sottile.
Processi fisici che allargano le righe spettrali
1- Principio di indeterminazione: Allargamento Naturale.
Se un elettrone e’ eccitato ad un certo livello energetico questo decadra’ dopo un certo intervallo di tempo. Non e’ possibile conoscere l’energia dello stato con Precisione
infinita perche’ vale la relazione di indeterminazione di Heisenberg tempo-energia:
Quindi si ha una indeterminazione sull’energia del fotone e quindi sulla sua lunghezza d’onda, data da:
Un conto un po’ piu’ preciso fornisce una larghezza a mezza altezza pari a:
Con valori dell’ordine di:
2- Allargamento Doppler.
Le particelle che formano il gas dell’atmosfera stellare seguiranno una distribuzione di Maxwell-Boltzmann con velocita’ di massima probabilita’ data da:
Questo produce un effetto doppler sulle righe pari a ovvero pari a:
Che, facendo un po’ di conti corrisponde ad una larghezza di riga a mezza altezza pari a:
Processi fisici che allargano le righe spettrali
Attenzione pero’:
Anche se il segnale a mezza altezza è più grande poi l’effetto sulla riga decresce in modo Esponenziale !
Processi fisici che allargano le righe spettrali
3- Effetti di Pressione (o collisionali) collisioni con atomi neutri o presenza del campo elettrico di ioni vicini possono anch’essi portare ad un allargamento delle righe. La forma dell’allargamento e’ simile a quella dell’allargamento naturale dovuto al principio di indeterminazione:
dove il tempo pero’ adesso e’ la differenza tra due collisioni. Questo puo’ essere scritto come:
dove abbiamo usato la velocita’ media da Maxwell-Boltzmann e l’espressione del libero cammino medio. Si ha quindi:
Il fatto che dipenda da n permette di distinguere le classi di luminosita’. Stelle piu’ rarefatte con n minore (giganti luminose) avranno righe
piu’ strette rispetto a quelle di sequenza principale.
Classificazione spettrale di Yerkes
La classificazione spettrale di Yerkes, chiamata anche il sistema MKK, è un sistema di classificazione spettrale introdotto nel 1943 da William W. Morgan, Phillip C.
Keenan e Edith Kellman dello Yerkes Observatory.
Questa classificazione si basa su linee spettrali sensibili alla gravità superficiale della stella, la quale è in genere legata direttamente alla sua luminosità, invece che alla
temperatura come la tradizionale classificazione di Harvard: infatti, poiché il raggio di una stella gigante è molto più elevato di quello di una stella nana, le loro masse possono essere all'incirca comparabili; la gravità e quindi la densità e la pressione dei gas
superficiali sono molto inferiori per la stella gigante.
Tutte queste differenze si manifestano come effetti di luminosità, che influenzano sia la larghezza che l'intensità delle linee spettrali.
Questa classificazione distingue sette tipi diversi di stelle:
I supergiganti
Ia supergiganti più luminose Ib supergiganti meno luminose II giganti luminose
III giganti normali IV subgiganti
V stelle di sequenza principale (nane), come il Sole VI subnane (usata raramente)
VII o D nane bianche (usata raramente)
Una volta identificata la classe di
luminosita’ e la classe spettrale si puo’
calcolare la magnitudine assoluta semplicemente ponendo la stella nel diagramma.
Questo, conoscendo la magnitudine apparente permette di ottenere la distanza della stella.
Questo metodo detto di parallasse
spettroscopica e’ limitato dalle incertezze tra classe di luminosita’ e magnitudine assoluta.
