Astronomia
Lezione 11/11/2012
Docente: Alessandro Melchiorri
e.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it
Sito web per slides lezioni: oberon.roma1.infn.it:/alessandro/astro2012/
Le lezioni astronomia012_*.pdf sono quelle di quest’anno ! astronomia_*.pdf sono dell’anno scorso.
Libri di testo consigliati:
- An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A. Ostlie, Addison Wesley - Astronomy: A physical perspective, Marc L. Kutner, Cambridge University Press.
- Fundamental Astronomy, Karttunen e altri, Springer - Elementi di Astronomia, P. Giannone.
Altri spettri: notare come il picco di corpo nero si sposti verso frequenze minori diminuendo La classe. Le righe dell’idrogeno della serie di Balmer (656.2 nm, 486.1 nm, 434.0 nm, 410.2 nm) incrementano da O a A e poi decrescono. Gli spettri per ultimi tipi (K) hanno righe un po’
Dovunque caratteristiche della presenza di molecole.
Perche’ ho questa variazione nelle righe ? Non dipende da una diversa composizione delle stelle perche’ queste hanno piu’ o meno le stesse quantita’ di elementi (chiaramente
In prima approssimazione).
Le righe dipendono dalla temperatura della stella.
Ad esempio, per vedere la serie di Balmer (transizioni dal livello eccitato n=2) la temperatura superficiale della stella deve essere abbastanza alta da eccitare gli atomi di idrogeno e
popolare il livello n=2, ma non troppo alta per ionizzare l’idrogeno!
In pratica le righe dei vari elementi appaiono più o meno marcate a seconda che siano più o meno popolati i livelli energetici legati alla riga. E questo dipende dalla temperatura superficiale della stella.
Atmosfere stellari
Consideriamo un raggio di luce che si propaga lungo una direzione data dagli angoli
e f, con una lunghezza d’onda l e attraverso una superficie infinitesimale dA tangente alla superficie della stella. La superficie ortogonale alla direzione di propagazione e’ dA cos.
Si definisce come intensita’ specifica l’energia per lunghezza d’onda, per superficie, per unita’ di tempo e unita’ di angolo solido del raggio (unita’ in ):
Si ha pertanto che la quantità:
Rappresenta l’energia trasportata dal raggio luminoso tra lunghezza d’onda l e l+dl che passa nell’istante di tempo dt attraverso la superficie dA.
L’intensita’ specifica o, piu’ semplicemente, l’intensita’ e’ in generale una funzione della direzione e quindi degli angoli e f. Si introduce una intensita’ media, facendo la media su tutte le direzioni e dividendo per l’angolo solido 4p:
Nel caso di intensita’ isotropa, intensita’ specifica ed intensita’ media sono la stessa cosa:
Essendo la radiazione di corpo nero isotropa, si ha:
Atmosfere stellari
Atmosfere stellari
Consideriamo adesso un cilindro infinitesimale di lunghezza dL e base dA e supponiamo che abbia la superficie interna perfettamente riflettente (una trappola insomma per la luce).
La radiazione entrante con un angolo ci mette un tempo:
ad attraversare la trappola.
L’energia si puo’ quindi scrivere come:
Atmosfere stellari
Il termine dAdL e’ il volume del cilindretto. Dividendo per questa quantita’ ed integrando sull’angolo solido troviamo la densita’ di energia per unita’ di lunghezza d’onda ul
(densita’ di energia specifica):
Che e’ quindi pari all’intensita’ media diviso la velocita’ della luce per 4p.
Per un corpo nero si ha:
o, definendo in frequenza invece che lunghezza d’onda:
Atmosfere stellari
La densita’ di energia totale si trova integrando sulle frequenze (o lunghezze d’onda):
Nel caso di un corpo nero si ha:
con
detta costante radiativa.
Atmosfere stellari
Un’altra quantita’ utile e’ il flusso specifico radiativo definito come la quantita’
di energia per unita’ di tempo e lunghezza d’onda che passa attraverso una superficie ortogonale all’asse z:
Quando la sorgente e’ risolta allora cio’
che misuro e’ l’intensita’ specifica.
L’angolo minimo d’ l’angolo di Airy.
Quando la sorgente non e’ risolta allora cio’
che misuro e’ il flusso specifico.
In pratica vedo tutta la radiazione Proiettata lungo
la linea di vista o asse z.
Atmosfere stellari
Dato che un fotone ha un momento p=E/c, questo esercitera’ un momento lungo z data da:
Atmosfere stellari
La pressione di radiazione si trova dividendo per dA l’espressione precedente ed Integrando su meta’ angolo solido (emisfero superiore):
nel caso di radiazione isotropa l’integrale e’ equivalente ad un integrale su tutto l’angolo solido ma diviso per 2. In questo caso si ha quindi che:
Atmosfere stellari
La pressione di radiazione totale e’ quindi data integrando su tutte le lunghezze d’onda:
per un corpo nero (che ricordiamo essere isotropo) si trova:
la pressione di radiazione di un corpo nero e’ 1/3 della sua densita’ di energia.
Le atmosfere stellari cambiano in modo sostanziale lo spettro di corpo nero di una stella.
Questa ha come prima implicazione che vi siano diverse definizioni di temperature superficiali.
Atmosfere stellari
Come abbiamo gia’ detto le stelle sono solo approssimativamente dei corpi neri.
Questo porta a diverse possibili definizioni della temperatura di una stella:
Temperatura Effettiva:
Ottenuta tramite la relazione di Stefan-Boltzmann.
Temperatura di Eccitazione:
Ottenuta a partire
dall’equazione di Boltzmann.
Temperatura di Ionizzazione:
Ottenuta a partire dall’equazione di Saha.
Temperatura Cinetica:
Ottenuta a partire dalla distribuzione Di Maxwell-Boltzmann.
Temperatura di Colore:
Ottenuta «fittando» lo spettro di Una stella con uno di corpo nero.
Nel caso di equilibrio termodinamico vale a dire che ogni fotone assorbito corrisponde ad un fotone emesso, le temperature di ionizzazione, eccitazione, cinetica e di corpo nero sono le stesse.
Tuttavia questo non e’ vero per una stella: vi sono zone piu’ o meno calde, la temperatura puo’ variare da punto a punto e trasporto di energia.
In prima approssimazione pero’ si puo’ assumere la condizione di equilibrio termodinamico locale ( Local Thermal Equilibrium, LTE) quando il cammino libero medio delle particelle che trasportano energia e’ molto minore delle distanze alle quali la temperatura varia
significativamente.
Ad esempio la fotosfera e’ la zona dell’atmosfera solare da dove possono uscire i fotoni del Sole. Considerando un modello di fotosfera si ha una variazione di temperatura da 5580 K a 5790K lungo una distanza di 25 km. Possiamo considerare quindi l’altezza di scala della Temperatura come:
Questa quantita’ va confrontata con il libero cammino medio delle particelle.
Assumiamo che vi siano solo atomi di idrogeno allo stato fondamentale. Due
Atomi di idrogeno si «scontreranno» se i loro centri sono ad una distanza minore di Due raggi si Bohr a0. Il problema e’ equivalente ad un singolo atomo di raggio 2a0 che Incontra i centri di vari atomi.
La densita’ alla fotosfera e’ e dunque si ha una densita’
di atomi di idrogeno.
Se un atomo ha velocita’ v in un tempo t avra’ coperto un volume pari a:
Dove s e’ la sezione d’urto collisionale. In questo volume ci sono
atomi di idrogeno che corrispondono al numero di urti lungo il cammino vt.
Il cammino medio tra un urto e l’altro sara’ il cammino totale diviso il numero di urti, vale a dire il libero cammino medio:
Per un atomo di idrogeno:
ETL OK per Idrogeno !
Opacita’
Un raggio di luce che attraversa un gas perde fotoni per assorbimento.
L’equazione che descrive questo processo e’ la seguente:
vale a dire che l’assorbimento per lunghezza d’onda e’ proporzionale al cammino ds nel gas, alla densita’ del gas e alla intesita’ iniziale stessa. La quantita’ kl e’ detta coefficiente di
assorbimento o opacita’ e dipende dalla densita’, temperatura e composizione del gas.
Considerando la fotosfera del Sole si ha (a frequenze di 500 nm):
E quindi si ha che i fotoni vengono assorbiti ad una distanza:
Che e’ minore della altezza di scala di temperatura ma confrontabile.
La condzione ETL vale quindi per gli atomi di idrogeno ma non propriamente per i fotoni.
La distanza sopra definita’ e’ il cammino libero medio del fotone, da cui si puo’
ottenere la sezione d’urto usando la definizione precedente:
