Astronomia
Lezione 11/11/2011
Docente: Alessandro Melchiorri
e.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it Slides: oberon.roma1.infn.it/alessandro/
Libri di testo:
- An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A.
Ostlie, Addison Wesley
- The Physical Universe, an introduction to Astronomy F. Zhou, University Science Books
- Elementi di Astronomia, P. Giannone.
Oltre alle stelle in sequenza
principale vi sono alcune stelle fuori dalla sequenza sia sopra che sotto.
Quelle sotto hanno un raggio minore rispetto a quelle della sequenza principale alla stessa temperatura. Quelle sopra hanno un raggio piu’ grande rispetto a quelle della sequenza principale alla stessa temperatura. Notiamo inoltre che quelle sotto tendono ad essere piu’ calde e con indice di colore tendente al blu-bianco, mentre quelle sopra sono piu’ fredde con indice di colore tendente al rosso.
Quindi si chiamano nane bianche (quelle sotto) e giganti rosse (quelle sopra).
Si trova che le stelle in sequenza principale hanno un raggio da a 0.08 Rsun nella coda fredda rossa, fino a 60 Rsun nella coda calda blu (stelle di tipo O). Le nane bianche possono avere un raggio pari a 0.01 Rsun o anche piu’ piccolo. Le supergiganti rosse fino a 300 Rsun o anche di piu’
Concentriamoci per il momento sulla sequenza principale.
perche’ ho questa correlazione ? Stelle con luminosita’ piu’ elevata hanno temperature piu’
elevate.
Abbiamo visto che se le stelle sono un corpo nero sllora la luminosita’ e’ legata alla
temperatura tramite il raggio della stella:
possiamo spiegare la correlazione lungo la
sequenza principale come con stelle di uguale raggio pari a quello del Sole ma con temperature diverse ?
Classificazione spettrale di Yerkes
La classificazione spettrale di Yerkes, chiamata anche il sistema MKK, è un sistema di classificazione spettrale introdotto nel 1943 da William W. Morgan, Phillip C.
Keenan e Edith Kellman dello Yerkes Observatory.
Questa classificazione si basa su linee spettrali sensibili alla gravità superficiale della stella, la quale è in genere legata direttamente alla sua luminosità, invece che alla
temperatura come la tradizionale classificazione di Harvard: infatti, poiché il raggio di una stella gigante è molto più elevato di quello di una stella nana, le loro masse possono essere all'incirca comparabili; la gravità e quindi la densità e la pressione dei gas
superficiali sono molto inferiori per la stella gigante.
Tutte queste differenze si manifestano come effetti di luminosità, che influenzano sia la larghezza che l'intensità delle linee spettrali.
Questa classificazione distingue sette tipi diversi di stelle:
I supergiganti
Ia supergiganti più luminose Ib supergiganti meno luminose II giganti luminose
III giganti normali IV subgiganti
V stelle di sequenza principale (nane), come il Sole VI subnane (usata raramente)
VII o D nane bianche (usata raramente)
Una volta identificata la classe di
luminosita’ e la classe spettrale si puo’
calcolare la magnitudine assoluta semplicemente ponendo la stella nel diagramma.
Questo, conoscendo la magnitudine apparente permette di ottenere la distanza della stella.
Questo metodo detto di parallasse
spettroscopica e’ limitato dalle incertezze tra classe di luminosita’ e magnitudine assoluta.
Atmosfere stellari
Consideriamo un raggio di luce che si propaga lungo una direzione data dagli angoli
e f, con una lunghezza d’onda l e attraverso una superficie infinitesimale dA tangente alla superficie della stella. La superficie ortogonale alla direzione di propagazione e’ dA cos.
Si definisce come intensita’ specifica l’energia per lunghezza d’onda, per superficie, per unita’ di tempo e unita’ di angolo solido del raggio (unita’ in ):
Si ha pertanto che la quantita:
Rappresenta l’energia trasportata dal raggio luminoso tra lunghezza d’onda l e l+dl che passa nell’istante di tempo dt attraverso la superficie dA.
L’intensita’ specifica o, piu’ semplicemente, l’intensita’ e’ in generale una funzione della direzione e quindi degli angoli e f. Si introduce una intensita’ media, facendo la media su tutte le direzioni e dividendo per l’angolo solido 4p:
Nel caso di intensita’ isotropa, intensita’ specifica ed intensita’ media sono la stessa cosa:
Essendo la radiazione di corpo nero isotropa, si ha:
Atmosfere stellari
Atmosfere stellari
Consideriamo adesso un cilindro infinitesimale di lunghezza dL e base dA e supponiamo che abbia la superficie interna perfettamente riflettente (una trappola insomma per la luce).
La radiazione entrante con un angolo ci mette un tempo:
ad attraversare la trappola.
L’energia si puo’ quindi scrivere come:
Atmosfere stellari
Il termine dAdL e’ il volume del cilindretto. Dividendo per questa quantita’ ed integrando sull’angolo solido troviamo la densita’ di energia per unita’ di lunghezza d’onda ul
(densita’ di energia specifica):
Che e’ quindi pari all’intensita’ media diviso la velocita’ della luce per 4p.
Per un corpo nero si ha:
o, definendo in frequenza invece che lunghezza d’onda:
Atmosfere stellari
La densita’ di energia totale si trova integrando sulle frequenze (o lunghezze d’onda):
Nel caso di un corpo nero si ha:
con
detta costante radiativa.
Atmosfere stellari
Un’altra quantita’ utile e’ il flusso specifico radiativo definito come la quantita’
di energia per unita’ di tempo e lunghezza d’onda che passa attraverso una superficie ortogonale all’asse z:
Quando la sorgente e’ risolta allora cio’
che misuro e’ l’intensita’ specifica.
L’angolo minimo d’ l’angolo di Airy.
Quando la sorgente non e’ risolta allora cio’
che misuro e’ il flusso specifico.
In pratica vedo tutta la radiazione Proiettata lungo
la linea di vista o asse z.
Atmosfere stellari
Dato che un fotone ha un momento p=E/c, questo esercitera’ una pressione lungo z data da:
Atmosfere stellari
La pressione di radiazione si trova dividendo per dA l’espressione precedente ed Integrando su meta’ angolo solido (emisfero superiore):
nel caso di radiazione isotropa l’integrale e’ equivalente ad un integrale su tutto l’angolo solido ma diviso per 2. In questo caso si ha quindi che:
Atmosfere stellari
La pressione di radiazione totale e’ quindi data integrando su tutte le lunghezze d’onda:
per un corpo nero (che ricordiamo essere isotropo) si trova:
la pressione di radiazione di un corpo nero e’ 1/3 della sua densita’ di energia.
Atmosfere stellari
Come abbiamo gia’ detto le stelle sono solo approssimativamente dei corpi neri.
Questo porta a tre possibili definizioni della temperatura di una stella:
Temperatura Effettiva:
Ottenuta tramite la relazione di Stefan-Boltzmann.
Temperatura di Eccitazione:
Ottenuta a partire
dall’equazione di Boltzmann.
Temperatura di Ionizzazione:
Ottenuta a partire dall’equazione di Saha.
Temperatura Cinetica:
Ottenuta a partire dalla distribuzione Di Maxwell-Boltzmann.
Temperatura di Colore:
Ottenuta «fittando» lo spettro di Una stella con uno di corpo nero.
Nel caso di equilibrio termodinamico vale a dire che ogni fotone assorbito corrisponde ad un fotone emesso, le temperature di ionizzazione, eccitazione, cinetica e di corpo nero sono le stesse.
Tuttavia questo non e’ vero per una stella: vi sono zone piu’ o meno calde, la temperatura puo’ variare da punto a punto e trasporto di energia.
In prima approssimazione pero’ si puo’ assumere la condizione di equilibrio termodinamico locale ( Local Thermal Equilibrium, LTE) quando il cammino libero medio delle particelle che trasportano energia e’ molto minore delle distanze alle quali la temperatura varia
significativamente.
Ad esempio la fotosfera e’ la zona dell’atmosfera solare da dove possono uscire i fotoni del Sole. Considerando un modello di fotosfera si ha una variazione di temperatura da 5580 K a 5790K lungo una distanza di 25 km. Possiamo considerare quindi l’altezza di scala della Temperatura come:
Questa quantita’ va confrontata con il libero cammino medio delle particelle.
Assumiamo che vi siano solo atomi di idrogeno allo stato fondamentale. Due
Atomi di idrogeno si «scontreranno» se i loro centri sono ad una distanza minore di Due raggi si Bohr a0. Il problema e’ equivalente ad un singolo atomo di raggio 2a0 che Incontra i centri di vari atomi.
La densita’ alla fotosfera e’ e dunque si ha una densita’
di atomi di idrogeno.
Se un atomo ha velocita’ v in un tempo t avra’ coperto un volume pari a:
Dove s e’ la sezione d’urto collisionale. In questo volume ci sono
atomi di idrogeno che corrispondono al numero di urti lungo il cammino vt.
Il cammino medio tra un urto e l’altro sara’ il cammino totale diviso il numero di urti, vale a dire il libero cammino medio:
Per un atomo di idrogeno:
Opacita’
Un raggio di luce che attraversa un gas perde fotoni per assorbimento.
L’equazione che descrive questo processo e’ la seguente:
vale a dire che l’assorbimento per lunghezza d’onda e’ proporzionale al cammino ds nel gas, alla densita’ del gas e alla intesita’ iniziale stessa. La quantita’ kl e’ detta coefficiente di
assorbimento o opacita’ e dipende dalla densita’, temperatura e composizione del gas.
Considerando la fotosfera del Sole si ha (a frequenze di 500 nm):
E quindi si ha che i fotoni vengono assorbiti ad una distanza:
Che e’ maggiore della altezza di scala di temperatura. Quindi i fotoni nella fotosfera non attraversano zone a temperature costanti e quindi l’approssimazione di equilibrio termodinamico locale per il Sole non e’ propriamente valida.
La distanza sopra definita’ e’ il cammino libero medio del fotone, da cui si puo’
ottenere la sezione d’urto usando la definizione precedente:
Consideriamo adesso la profondita’ ottica
t
l definita a partire dalla quantita’differenziale:
Il segno meno sta ad indicare che il moto del fotone e’ verso di noi mentre noi guardiamo le distanze a partire dalla Terra.
Per un raggio di luce che percorre una distanza s si ha una variazione nella profondita’ ottica:
Dato che e’ una quantita’ negativa, vale a dire che la Profondita’ ottica diminuisce, possiamo porre
la profondita’ ottica a zero sulla superficie della stella e considerarla Crescente mano a mano che andiamo all’interno dell’atmosfera stellare:
Nel caso di puro assorbimento abbiamo quindi:
Se il raggio parte da un punto dove la profodita’ ottica e’ pari a 1, l’intensita’ specifica sara’ diminuita di un fattore 1/e quando lascia la stella.
La profondita’ ottica puo’ quindi essere pensata come il numero di cammini liberi medi percorsi dal fotone nell’atmosfera stellare.
Un gas puo’ essere otticamente spesso se tl>>1 o otticamente sottile se tl <<1
