CdL in Matematica ALGEBRA 1 prof. Fabio GAVARINI
a.a. 2018–2019 — Secondo esonero, 29 Gennaio 2019
N.B.: compilare il compito in modo sintetico ma esauriente, spiegando chiaramente quanto si fa, e scrivendo in corsivo con grafia leggibile.
· · · ∗ · · · ·
[1] — Siano p , q ∈ Z due irriducibili in Z , con p > 0 , q > 0 , e q ( p − 1) . Si consideri il gruppo GL2(
Zp
) di matrici 2× 2 invertibili a coefficienti in Zp — rispetto al prodotto righe per colonne — e in esso i sottoinsiemi
G :=
{ (1 a 0 d
) a,d ∈ Zp : dq= 1 }
H :=
{ (1 0 0 d
) d ∈ Zp : dq = 1 }
, N :=
{ (1 a 0 1
) a ∈ Zp} (a) Dimostrare che G `e sottogruppo di GL2(
Zp
); (b) dimostrare che H `e sottogruppo di G ;
(c) dimostrare che N `e sottogruppo normale di G ;
(d) dimostrare che la funzione λ : H× N −−→ G , (h, n) 7→ hn , `e biiettiva;
(e) dimostrare che la funzione ρ : N × H −−→ G , (n, h) 7→ nh , `e biiettiva;
(f ) determinare l’ordine dell’elemento g :=
(1 a 0 d
)
in G .
[2] — Sia G un gruppo e H ≤ G . Indichiamo con NH il minimo sottogruppo normale di G contenente H, cio`e NH `e caratterizzato dalle seguenti tre propriet`a:
(1) NH E G , (2) NH ⊇ H , (3) NH ⊆ N per ogni N E G : N ⊇ H . (a) Dimostrare — indipendentemente dal punto (b) qui sotto! — che il sottogruppo NH esiste ed `e unico;
(b) dimostrare che il sottogruppo NH coincide col sottogruppo di G generato dal sottoinsieme {
ghg−1 g ∈ G, h ∈ H} .
(continua...) 1
[3] — Dato un anello A , si consideri in A3 := A× A × A l’operazione binaria ⋆ definita — per ogni (
a′, b′, c′) ,(
a′′, b′′, c′′)
∈ A3 — da (a′, b′, c′)
⋆(
a′′, b′′, c′′) := (
a′+ a′′, b′+ b′′, c′+ a′b′′+ c′′) e i tre sottoinsiemi A1 :={
(a, b, c)∈ A3 b = 0 = c}
, A2 :={
(a, b, c)∈ A3 a = 0 = c} , A3 :={
(a, b, c)∈ A3 a = 0 = b}
. Dimostrare che:
(a) (
A3; ⋆)
`
e un gruppo;
(b) ciascuno dei tre sottoinsiemi A1, A2, A3 `e un sottogruppo di (
A3; ⋆)
; (c) il sottoinsieme A3 `e contenuto nel centro Z(
A3; ⋆)
del gruppo (
A3; ⋆) .
[4] — Dato un anello commutativo unitario A , si considerino in A(2) := A× A le due operazioni binarie + e · definite — per ogni (
a′, α′) ,(
a′′, α′′)
∈ A(2) — da (a′, α′)
+(
a′′, α′′) := (
a′+ a′′, α′+ α′′)
, (
a′, α′)
·(
a′′, α′′) := (
a′a′′, a′α′′+ a′′α′) (a) Dimostrare che (
A(2); + , ·)
`
e un anello commutativo unitario;
(b) dimostrare che l’anello A(2) non `e un dominio;
(c) descrivere l’insieme U( A(2))
degli elementi invertibili nell’anello unitario A(2); (d) dimostrare che esiste un isomorfismo di anelli A(2) ∼= A[x]/(
x2) .
[5] — Nell’anello Z[ i ] degli interi di Gauss si consideri l’ideale I := (
8 + i , 11−3 i) generato dai due elementi 8 + i e 11− 3 i .
(a) Determinare un generatore d dell’ideale I ; (b) dimostrare che l’anello quoziente Z[ i ]/
I `e un campo;
(c) dimostrare che l’applicazione φ :Z[ i ]−−−→ Z5 definita da φ(a + i b) := a + 2b
`e un epimorfismo di anelli;
(d) dimostrare che l’anello Z5 `e isomorfo all’anello quoziente Z[ i ]/ I .
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