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Calcolare D  D  D&#34

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(1)

COMPITI DI MATEMATICA per le applicazioni economiche e finanziarie AA. 2003/04

Prova Intermedia Aprile 04

1) Dopo aver determinato le soluzioni dell'equazione B  #B  % œ !$ , siano D ß D" # e le ra-D$

dici cubiche della soluzione avente modulo maggiore. Calcolare D  D  D" # $.

2) Data la matrice  œ , determinare, al variare del parametro , le dimen5

" # "

! # #

5 " #

! 5  "

" " 5

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sio-

ni del Nucleo e dell'Immagine dell'applicazione lineare 0 À‘$ Ä‘&, 0 — œ —† .

Da quanto trovato si possono trarre conclusioni sulla numerosità delle soluzioni del sistema lineare omogeneo  —† œ ?

3) Verificare la diagonalizzabilità della matrice  œ , al variare del parame-

" ! ! 5

! # ! !

! ! " !

5 ! ! 5

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tro , esaminando i casi in cui la matrice presenta autovalori multipli.5

4) Il vettore ha coordinate — B ß B ß B" # $ nella base •œe "ß "ß # à "ß #ß " à #ß "ß ' f ed ha coordinate "ß #ß  " nella base –œe "ß "ß ! à !ß "ß " à "ß !ß " f. Trovare B ß B ß B" # $ .

5) Dato il sistema lineare  —† œ˜ À † œ

" # "

! # # B

# " # B

! #  " B

" " #

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"

#

$ âââ âââ

ââââ âââ â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â

C C C C C

"

#

$

%

&

, determinare oppor-

tune condizioni sui termini noti e in modo tale che il sistema ammetta soluzioni.C% C&

Giugno 1-0%

I M 1) Data la matrice  œ , si determini se essa risulta diagonalizzabile.

# "  " "

' " $ #

$ "  " "

! ! ! %

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I M 2) Data la matrice  œ , e l'applicazione lineare da essa de-

" #  "  # "

" ! " ! "

" '  & 5 "

 " %  &  % 7

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finita: 0 À‘& Ä‘%, 0 — œ  —† , determinare, al variare dei parametri e , le dimensio-5 7 ni del nucleo e dell'immagine, determinando anche una base per il nucleo quando questo ha dimensione massima.

I M 3) Stabilire se i vettori —" œ "ß !ß  #ß # ß —# œ #ß "ß  "ß # ß —$ œ "ß #ß %ß  # sono linearmente indipendenti e determinare tutti i vettori ˜ œ Bß Cß Dß A che risultano esprimibili come combinazione lineare di —"ß —# e —$.

I M 4) Trovare tutte le radici dell'equazione ˆB  %B  &# ‰ ˆ# B  " œ ! Þ$

(2)

II M 1) Verificare che la funzione 0 Bß Cß D œ D B  Cˆ # #‰ BC  D# presenta solo punti di sella. Cosa accade se si studia il problema sotto il vincolo C œ B ?

II M 2) Verificare se la funzione risulta differen-

0 Bß C œ

B  C

B  C Bß C Á !ß !

! Bß C œ !ß !

Ú ÛÜ

' '

2 2 #

ziabile nel punto !ß ! .

II M 3) Dato il sistema œ0 Bß Cß D œ BD  CD  B  C œ ! , e i due punti P e

1 Bß Cß D œ B C D  BC D œ ! œ !ß !ß !

# #

# # # $ !

P" œ 1 1ß ß " , determinare in quale caso risulta possibile, con tale sistema, definire una fun-

zione implicita 2 À‘Ä‘#, e di questa calcolare le derivate nel punto opportuno.

II M 4) Data 0 Bß Cß D œ B /CD  C /BD, calcolare W@0 !ß !ß ! , dove è il versore del@ vettore "ß  "ß " . Determinare poi l'espressione del Polinomio di Mac Laurin di primo grado di tale funzione.

Giugno 2-0%

I M 1) Siano , e le radici cubiche del numero D D D D œ "  "  #3. Calcolare D † D † D Þ

#  3

" # $ " # $

I M 2) Determinare il valore del parametro per il quale la matrice 5 risulta dia-

" ! !

# 5 !

$ # "

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gonalizzabile e trovare almeno una matrice che la diagonalizza.

I M 3) Il vettore ha coordinate — "ß  "ß # nella base e "ß "ß ! à  "ß !ß " à !ß  "ß " f; trovare le sue coordinate nella base e "ß "ß ! à !ß "ß " à "ß !ß " f.

I M 4) Il sistema lineare , con parametro da determinare, am- Ú

ÛÜ

5B  #C  $D  #A œ #

#B  C  5D  $A œ 5

%B  (C  *D  &A œ  "

5

mette la soluzione Bß Cß Dß A œ "ß #ß "ß ! ; trovare tutte le sue soluzioni.

II M 1) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ #B  #C  D  $B  $C  $D œ !$ $ $ # # # , trovare un punto nel quale l'equazione sia soddisfatta, ma non siano valide, in nessun caso, le ipotesi del Teorema del Dini, ed un altro punto, sempre soddisfacente l'equazione data, nell'intorno del quale sia possibile definire una funzione implicita 2 À Bß C Ä D, e di questa calcolare le de- rivate parziali nel punto opportuno.

II M 2) Si consideri la composizione di funzioni: ˜œ 0 — œ 0 1 “ , “−‘$, —−‘#,

˜−‘$, 1 > ß > ß >" # $ œ >  > à >  > ß 0 B ß B" $ # $ " # œ B  B ß B † B ß B  Bˆ "$ ## " # # "‰.

Calcolare ` 0 1 > ß > ß > mediante l'opportuno prodotto delle matrici Jacobiane

` > ß > ß >" # $ "ß !ß "

" # $

di 0 e .1

II M 3) Risolvere il problema .

Max/min

s.v. : 0

Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B C B  #B  C Ÿ C  #B Ÿ !

#

II M 4) La funzione 0 Bß Cß D œ B  %C  #D  #BC  #BD# # # è una forma quadratica; de- terminare se essa risulta definita, semidefinita o indefinita. Cosa si può dire, anche senza cal- colarli, riguardo agli autovalori della matrice di tale forma quadratica ? Che tipo di punto risulta essere l'unico punto stazionario di tale funzione ?

Luglio 04

(3)

I M 1) Dopo aver trovato le otto radici dell'equazione ˆB  "% ‰ ˆB  " œ !% ‰ , determinare quanto vale la loro somma.

I M 2) Data la matrice  œ , verificare che questa ammette uno stesso auto-

# ! "

# " #

"  $ 5

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valore qualunque sia il valore del parametro , e dopo aver determinato il valore di per cui5 5 tale autovalore è multiplo, si esamini in tal caso la diagonalizzabilità della matrice data.

I M 3) Data la matrice œ ed il vettore ˜œ

"  " #  # C

# " # " C

! $ 7 &

%  " ' 5

â â â â

â â â â

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â â â â

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â â â â

â â â â

â â â â

â â â â

â â â â

"

#

$

%

C C

, si esamini esi-

stenza e numerosità delle soluzioni del sistema lineare  —† œ˜ al variare di e , con le7 5 opportune condizioni su C ß C ß C ß C" # $ % .

I M 4) Dati i vettori —" œ e —# œ , si determini un vettore —$ perpendicola

"  "

 " "

# "

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â â â â -

re ad entrambi, a componenti positive e di modulo pari a È# , e si trovino gli autovalori della matrice avente come colonne i vettori — —"ß # e —$.

II M 1) Data 0 Bß Cß D œ B  C  D  B C  C D# # # # # # #, se ne determini la presenza di even- tuali punti di massimo e minimo relativo

II M 2) Data œ , studiare, al variare di , la forma quadratica 5 —  —† † , de-

" ! "

! 5 "

" " 5

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X

terminando quando essa risulta definita, semidefinita o indefinta.

II M 3) Risolvere il problema: Max/min .

s.v. :

œ 0 Bß C œ /  /

B  C œ #

B C

II M 4) Data l'equazione 0 Bß C œ B C log B  C œ !, si verifichi che, qualunque sia il punto P che la soddisfa, in esso sono sempre soddisfatte le ipotesi del Teorema del Dini per! l'esistenza di una funzione implicita. Si prenda poi il punto "ß ! e si determini l'espressione del polinomio di Taylor di II grado della funzione implicita C œ C B .

Settembre 1-0%

I M 1) Calcolare Ê$ 3 .

"  3

I M 2) Dato il sistema lineare , se ne determini, al variare di e , ÚÝ

Ý ÛÝ ÝÜ

B  B  #B œ #

#B  B œ "

$B  %B œ 7 B  #B  #B œ 5

7 5

" # $

" #

# $

" # $

esistenza e numerosità delle soluzioni.

I M 3) Dati i vettori —" œ "ß Bß " , —# œ #ß Bß $ e —$ œ "ß Bß # , dopo aver determinato per quali valori del parametro essi costituiscono una base di B ‘$, si determini il valore di per ilB quale il vettore ˜ œ 'ß %ß * ha coordinate "ß #ß " in tale base.

I M 4) Trovare una matrice orogonale che diagonalizza  œ .

" " ! !

" " ! !

! ! " "

! ! " "

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(4)

II M 1) Dato il sistema œ0 Bß Cß Dß A œ /  / œ ! e il punto

1 Bß Cß Dß A œ B  C  D  A œ ! "ß "ß  "ß  "

BCD BCA

$ $ $ $

che lo soddisfa, determinare almeno una funzione ‘# Ä‘# definibile implicitamente e di questa calcolare le derivate parziali.

II M 2) Determinare massimi e minimi della funzione 0 Bß C œ B  C# # in , dove è il tri-X X angolo avente come vertici i punti !ß ! ß #ß ! e "ß " .

II M 3) Siano e i versori di @ A "ß " e "ß  " . Sapendo che è differenziabile in 0 —!, che W@0 —! œ # e che WA0 —! œ  $, calcolare f0 —! .

II M 4) Risolvere il problema: Max/min .

s.v. :

œ 0 Bß C œ B C  B

B  C œ "# # Settembre 2-0%

I M 1) Determinare le radici dell'equazione ( B  B  B  " œ !( % $ .

I M 2) Data la matrice  œ , si determini per quale valore del parametro 5

"  " #

! "  "

5 ! "

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la matrice ammette l'autovalore - œ ! e per quale l'autovalore - œ ", determinando anche in quale dei due casi la matrice risulta diagonalizzabile.

I M 3) Data l'applicazione lineare generata dalla matrice  œ , si determinino

" ! " !

! " ! "

" ! " !

! " ! "

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una base ortonormale per il Nucleo ed una per l'Immagine di tale applicazione lineare.

I M 4) Data la forma quadratica generata dalla matrice  œ , determinare, al va-

5 ! 5

! " !

5 ! 5

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riare di , quando tale forma risulta definita, semidefinita o indefinita.5 II M 1) Risolvere il problema: Max/min .

s.v. :

œ 0 Bß C œ B C

B  %C œ %

#

# #

II M 2) Data la funzione 0 Bß Cß D œ B$sen B D  D#cos B  C , se ne determini l'espres- sione del polinomio di Mac Laurin di secondo grado.

II M 3) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ B /CD  C /BD  B  C œ ! ed il punto "ß "ß " che la soddisfa, si determini un'opportuna funzione implicita da essa definita nonchè l'equazione del piano tangente nel punto opportuno.

II M 4) Data 0 Bß C œ B  C# # , si verifichi che W#@ @0 —! è costante, a—! e a @. Dicembre 0%

I M 1) Calcolare Ê$ #  & Þ 3  #

I M 2) Dato il sistema lineare , determinarne, al variare dei para- Ú

ÛÜ

B  C  #D  A œ !

#B  #C  5 D  #A œ 7

 B  C  #D  7 A œ 5 metri e , esistenza e numerosità delle soluzioni.7 5

I M 3) Il vettore ha coordinate — "ß  "ß " nella base e "ß !ß  " à "ß  #ß " à "ß "ß " f; trovare le sue coordinate nella base e "ß "ß " à !ß  #ß " à  "ß "ß " Þf

(5)

I M 4) Data la matrice  œ , esistono due valori del parametro per i quali la5

" " 5

" 5 "

5 " "

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matrice ammette un autovalore multiplo. Determinare questi valori e, per il maggiore di essi, trovare una matrice ortogonale che diagonalizza .

II M 1) Data la funzione 0 Bß Cß D œ + B  , C  , B  + C  - D# # # , con +ß , e parametri- non nulli, determinare opportune condizioni sui parametri per le quali la funzione ammetta punti di massimo e/o di minimo relativo.

II M 2) Data la funzione 0 Bß C œ È*  B # È%  C# , determinare la derivata W@0 "ß " , dove è il versore che forma un angolo pari a @ con il semiasse positivo delle e verificareB

$ 1 che W#A A0 "ß "  ! a A.

II M 3) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ B  $B C  D  $CD  % œ !$ # # $ ed il punto "ß "ß "

che la soddisfa, si determinino le funzioni implicite con essa definibili nonchè l'equazione del piano tangente nel punto opportuno

II M 4) Risolvere il problema: Max/min s.v. : log log

œ 0 Bß C œ B  C

B  C œ " Þ Gennaio 05

I M 1) Dette D ß D ß D e le quattro radici quarte di D &  3 , si verifichi che D œ D e che

#  $3 D D

! " # $ $ "

# !

D D

D$ œ D# Þ

" !

I M 2) Dopo aver verificato che la matrice  œ non può ammettere autovalori 5 ! "

! 5 !

" ! 5

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multipli, si determini il valore di per il quale la somma dei quadrati degli autovalori è mini-5 ma e, in questo caso, una matrice ortogonale che diagonalizza .

I M 3) Dato il sistema lineare , se ne determini, al variare di e ÚÝ

Ý ÛÝ ÝÜ

B  B œ "

 B  #B  #B œ  "

B  %B  (B œ "

B  B  5B œ 7

7

" $

" # $

" # $

" # $

5, esistenza e numerosità delle soluzioni.

I M 4) Determinare le dimensioni dell'Immagine e del Nucleo dell'applicazione lineare:

0 À‘$ Ä‘$ß 0 B ß B ß B" # $ œ B  7 B  #B ß B  5 B ß #B  B  B" # $ # $ " # $ , sapendo che 0 "ß "ß # œ 'ß (ß & . Si determini infine anche una base per il Nucleo.

II M 1) Dato il sistema œ0 Bß Cß Dß A œ B C  C D  D A  A B œ ! ed i tre punti che lo 1 Bß Cß Dß A œ B  C  D  A œ !

$ $ $ $

# # # #

soddisfano: P" œ "ß !ß "ß ! ßP# œ !ß "ß !ß " ßP$ œ "ß "ß "ß " , considerate nei vari casi le possibili funzioni implicite definibili, determinare quali sono le due variabili che, insieme, possono essere variabili dipendenti in ciascuno dei tre casi.

II M 2) Risolvere il problema: Max/min s.v. :

œ 0 Bß C œ %B  %C

B  C Ÿ #% % Þ

II M 3) Data la funzione 0 Bß Cß D œ # B  C  Dˆ # # #‰ ˆ B  C  D% % %‰, determinarne gli eventuali punti di massimo e/o minimo liberi.

(6)

II M 4) Sia data la funzione 0 Bß C œ B /CB e siano e i versori di @ A "ß " e di "ß  " Þ Sapendo che W@0 —! œ " e che WA0 —! œ #, trovare —!.

È# È

Febbraio 1-0&

I M 1) Determinare le quattro radici dell'equazione B  #B  % œ !% # .

I M 2) Dopo avere determinato i valori del parametro per i quali il vettore 5 ˜œ "ß #ß 5 è combinazione lineare di —" œ "ß 5ß " e —# œ #ß #ß " , si determinino anche i coefficienti della combinazione.

I M 3) Determinare se risulta diagonalizzabile la matrice  œ .

 # $ ! !

 " # ! !

! ! % $

! !  #  "

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â â

I M 4) Determinare la matrice  œ B B sapendo che ammette l'autovettore "ß " in

B B

ºº ""#" "###ºº

corrispondenza all'autovalore e l'autovettore # "ß  " in corrispondenza all'autovalore  "Þ II M 1) Data la funzione 0 Bß Cß D œ B  Dˆ # #‰/DB  Clog , se ne determinino gli even-#C tuali punti di massimo e di minimo relativo.

II M 2) Si consideri il sistema log , ed il punto

log log log

œ0 Bß Cß D œ B /  B C  B D œ ! 1 Bß Cß D œ B C  C D  D B œ !

CD $

Pœ 1 1ß ß " . Determinare se risulta possibile, con tale sistema, definire una funzione impli- cita 2 À‘Ä‘#, e di questa calcolare le derivate nel punto opportuno.

II M 3) Verificare che la forma quadratica generata dalla matrice  œ è indefi-

5 ! 5

! 5 "

5 " 5

â â

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â â

nita .a 5 − ‘

II M 4) Dati la funzione 0 Bß C œ B /C, il punto —! œ "ß ! ed i versori @ œ cosαßsenα , A œ cosαß senα , determinare se esistono valori di per i quali risulta α W@0 —! œ " e

W#@ A0 —! œ  " .

Febbraio 2-0&

I M 1) Dette D ß D ß D! " # e le quattro radici quarte di , si calcoli D$ 3 D † D † D † D Þ! " # $

I M 2) Dato il sistema lineare , determinarne, al variare dei parametri Ú

ÛÜ

B  #C œ 7

#B  #C  5 D œ ! 7B  D œ  "

7 e , esistenza e numerosità delle soluzioni.5

I M 3) Data la matrice œ e l'applicazione lineare 0 À‘ Ä‘ ,

"  # 5  "

7 %  " #

# # 7 "

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% $

0 — œ — , sapendo che il vettore † "ß !ß  "ß  " appartiene al Nucleo si determinino le dimensioni, nonchè una base ortogonale, sia per l'Immagine che per il Nucleo di tale applica- zione lineare.

(7)

I M 4) Dopo aver verificato che la matrice œ non ammette l'autovalore - œ !

" " "

! " "

5 ! "

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â â

â â

per nessun valore del parametro , si determini il valore di per il quale l'autovalore 5 5 - œ "

risulta multiplo, se in tal caso la matrice risulta diagonalizzabile, nonchè una base per l'auto- spazio relativo a - œ ".

II M 1) Risolvere il problema: Max/min s.v. :

œ 0 Bß C œ B  C

B  C œ " Þ

# #

$ $

II M 2) Determinare i punti di massimo e/o di minimo della funzione 0 Bß C œ C  #B# nel triangolo delimitato dalle rette C œ !ß C œ B C œ '  #B e .

II M 3) Sia dato il sistema œ0 Bß Cß D œ B  B  C  C  D  D œ ! ed il punto 1 Bß Cß D œ B  C  D  D œ !

$ $ $

# # #

Pœ !ß !ß  " che lo soddisfa. Verificare se risulta possibile, con tale sistema, definire una funzione implicita 2 À‘Ä‘#, e di questa determinare l'equazione del vettore tangente nel punto opportuno.

II M 4) Data la funzione 0 Bß Cß D œ B /  C /  D /C D B, se ne determini l'espressione del po- linomio di Mac Laurin di II grado.

Aprile 0&

I M 1) Dette D ß D ß D" # $ e le radici quadrate delle soluzioni dell'equazioneD% B  #B  " œ !% # , si calcoli D  D  D  D" # $ % e D † D † D † D Þ" # $ %

I M 2) Data  œ si determini se e per quali valori di essa ammette, rispettiva-5

" " "

! " "

5 ! 5

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â â

mente, l'autovalore - œ ! e l'autovalore - œ ", determinando poi se, in tali casi, essa risulta diagonalizzabile.

I M 3) Determinare per quali valori di il vettore 5 ˜œ  "ß %ß $ß 5 risulta esprimibile come combinazione lineare di —" œ "ß #ß 5ß  " e —# œ #ß 5ß !ß  # , determinando i coefficien- ti di tale combinazione.

I M 4) La matrice œ rende simili la matrice œ e la matrice 

" " ! " # $

! " ! # $ "

" ! " $ " #

â â â â

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â â â â

â â â â

â â â â .

Si determini .

II M 1) Determinare i punti di massimo e/o di minimo della funzione 0 Bß C œ B C# nel tri- angolo delimitato dalle rette C œ  "ß C œ B B œ " Þ e

II M 2) Data la funzione 0 Bß C œ /#B /BC /  /#C B , se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o di minimo.

II M 3) Data l'equazione 0 Bß C œ /#B #/BC / œ !C , soddisfatta in !ß ! , si definisce con essa una funzione implicita, di cui si chiede di stabilire la variabile dipendente, che pre- senta nel punto considerato un punto stazionario, del quale si deve, mediante la derivata se- conda, stabilire la natura.

II M 4) Data la funzione 0 Bß C œ B  C , si verifichi che non può mai risultare

"  B  C

# #

# #

W@0 "ß " œ $, qualsiasi sia il versore utilizzato.@

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