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Analisi Matematica A 2 luglio 2019 COMPITO 1 Cognome e nome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . Matricola . . . . . . . . . . . . . . . . Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

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(1)

Analisi Matematica A 2 luglio 2019 COMPITO 1

Cognome e nome . . . Firma . . . Matricola . . . .

Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

Istruzioni

1. COMPILARE la parte soprastante la prima riga continua. In particolare, scrivere cognome e nome in stampatello e la firma sopra la riga punteggiata.

2. Per i quesiti a risposta chiusa: SEGNARE nella tabella riportata in questa pagina, in modo incontrovertibile, la lettera corrispondente alla risposta scelta per ognuna delle domande; in caso di correzione, apporre un “SI”

vicino alla risposta scelta.

3. PUNTEGGI: Esercizi 1-6: risposta esatta = +3; risposta sbagliata = −0.5; risposta non data = 0. Esercizio 7:

risposta esatta = +1; risposta sbagliata = −0.25; risposta non data = 0. Esercizio 8: grafico corretto = +1;

grafico scorretto o non disegnato = 0. Esercizio 9: risposta esatta = +5; risposta sbagliata = −0, 5; risposta non data = 0.

4. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori.

5. CONSEGNARE IL FOGLIO CONTENENTE LA GRIGLIA DELLE RISPOSTE con TUTTI I FOGLI DELLO SVOLGIMENTO

6. TEMPO a disposizione: 150 min.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

A A A A A A

B B B B B B

C C C C C C

D D D D D D

7a. 7b. 7c. 7d. 7e. 7f.

V V V V V V

F F F F F F

(2)

Spazio per lo svolgimento dell’esercizio 8.

x y

(3)

Analisi Matematica A 2 luglio 2019 COMPITO 1

1. L’insieme A dei numeri complessi z che verificano le condizioni (Re z)2−3

2(z + ¯z) + 2 ≤ 0 e Im 1 z



= 0

` e

Risp.: A : A = {z ∈ C : Re z ≤ 1 e Im z = 0} ∪ {z ∈ C : Re z ≥ 2 e Im z = 0} B : A = {z ∈ C : 1 ≤ Re z ≤ 2 e Im z = 0} C : A = {z ∈ C : 1 ≤ Re z ≤ 2 e Im z 6= 0}

D : A = {z ∈ C : 1 < Re z < 2 e Im z = 0}

2. Il limite

n→+∞lim

2(n + 2)n(n + 1)!



1 − cos1

n!

 7nn+1− 2n+1+ arctan((n + 1)!) vale

Risp.: A : 1

7 B : e2

7 C : 7

e D : e2

3. Sia α ∈ R. Il limite

lim

x→0+

ex cos x−x− 1 (2x − sin(2x)) esiste finito se e solo se

Risp.: A : α ≤ 1

7 B : α ≥ 1

7 C : α < 1

7 D : α > 1 7

4. Siano f, g : R → R le funzioni date da

f (x) = x3 e g(x) = 2x + 1.

Il punto che verifica la tesi del teorema di Cauchy sull’intervallo [0, 1 + e] `e

Risp.: A : (1 + e)2

2 B : 1 + e

3 C : 1 + e

√3 D : il teorema di Cauchy non `e applicabile

5. Siano β ∈ R e f : R → R la funzione data da

f (x) =

6 log(1 + x) − βx + x2

2x2 , per x > 0 ,

−2ex+ 1 , per x ≤ 0 . Allora f `e continua in x = 0 se e solo se

Risp.: A : β 6= 6 B : β > 6 C : α < 3 D : β = 6

(4)

6. Sia f :]a, b[→ R, con a, b ∈ R tali che a < b, f ∈ C2(]a, b[) e x0 ∈]a, b[. Delle seguenti affermazioni

(a) f (x)−f (x0)−f0(x0)(x−x0)−f00(x0)2 (x−x0)2= o(x−x0)2per x → x0(b) se f0(x0) = f00(x0) = 0 allora x0 `e un punto di flesso a tangente orizzontale (c) se f0(x0) = 0 e f00(x0) < 0 allora x0

`

e un punto di minimo relativo (d) se f0(x0) = f00(x0) = 0 allora f (x) − f (x0) = o(x − x0)2 per x → x0 (e) se f `e convessa in ]a, b[ allora f (x) ≥ f (x0) + f0(x0)(x − x0), ∀ x ∈]a, b[

le uniche corrette sono

Risp.: A : (a), (d), (e) B : (a), (b), (c), (d) C : (b), (e) D : (c), (d)

7. Sia data la funzione f : R → R definita da

f (x) =

 arctan

 x2 log |x| − 2



se x 6= 0 e x 6= ±e2

0 se x = 0 o x = ±e2

Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

(a) f ammette un punto di salto in x = e2 V F (b) f ammette asintoto orizzontale a +∞ V F

(c) x = 0 `e un punto angoloso per f V F (d) Su [0, e2[ la funzione f `e crescente V F

(e) x = e52 `e un punto di minimo relativo V F (f) −π

3 ∈ im f V F

8. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 7 nell’apposito spazio sul foglio precedente.

9. Data una funzione f : A → R, definita su un insieme A ⊆ R, dire che cosa significa che x0 ∈ A

`

e un punto di minimo relativo per f e che x0 `e un punto di minimo assoluto per f .

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