Raccolta di problemi di ripartizione. Parte prima. Completi di soluzione guidata. Proportionality Problems.

(1)

Proportionality Problems.

1.

Giacomo, Giovanni e il loro papà giocano al super enalotto puntando rispettivamente 3, 4 e 5 euro. La fortuna li assiste e decidono di spartirsi proporzionalmente 1380,00 euro.

Potrebbero aver optato per una suddivisione diversa. Quale? Motiva la risposta.

soluzione

2.

Inky, Blinky, Pinky e Clyde, che prendono nome dai fantasmi del videogioco Pac-Man (22 maggio 1980), devono spartirsi 450 banconote da 10 € in modo direttamente proporzionale ai numeri 2, 3, 4 e 5. Quanto spetta a ognuno?

soluzione

3.

I gemelli Giacomo e Giovanni con il loro amico Filippo hanno puntato al totocalcio rispettivamente 10 euro, 8 euro e 6 euro, realizzando un’unica giocata. Dovendo ripartirsi proporzionalmente una vincita di 696 euro quanto spetta a ciascuno?

soluzione

4.

Nicolò, Andrea e la loro mamma Milena puntarono al totocalcio nel lontano 1999

rispettivamente 2000, 3000 e 6000 lire, realizzando un’unica giocata. Ebbero la fortuna di ripartirsi proporzionalmente una vincita di 209 milioni di lire. Quanto spettò a ciascuno? L’euro, ci ricorda Alessandro, venne introdotto in circolazione l’1/1/2002.

soluzione

5.

Tre soci hanno investito in una società rispettivamente duecentomila, trecentomila e

cinquecentomila euro. Dovendo ripartirsi alla fine dell’anno un utile di 720.000 euro quanto spetta a ciascuno di loro?

soluzione

6.

Tre fratelli devono dividersi in parti inversamente proporzionali alla loro età una vincita di 20.000 euro. Sapendo che hanno rispettivamente 30, 20, e 12 anni, calcola quanto prende ciascun fratello.

soluzione

(2)

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euro. Come si devono suddividere un utile di 13.500 euro.

soluzione

9.

Tre comuni vicini devono contribuire alle spese annuali di manutenzione di una strada comune per un totale di 17.000 euro. La ripartizione deve essere fatta in base agli abitanti di ogni

comune. Come si deve suddividersi la spesa se la popolazione è rispettivamente di 3000, 7000 e 15000 abitanti.

soluzione

10.

In un condominio occorre contribuire proporzionalmente al numero di stanze riscaldate alla spesa sostenuta durante l’anno per un totale di 6370 euro. La ripartizione deve essere fatta sapendo che due appartamenti hanno 6 stanze e altri due ne hanno sette.

soluzione

11.

Un genitore dispone che parte del suo patrimonio, pari a 130.000 euro, vada distribuito in

maniera inversamente proporzionale all’età dei figli. Esegui la ripartizione sapendo che i suoi tre figli hanno rispettivamente 12, 20 e 25 anni.

soluzione

12.

Le spese per la costruzione di una strada di collegamento tra tre comuni vicini è stata di 360.000 euro. Occorre ripartire tale spesa tra i tre comuni proporzionalmente ai loro abitanti sapendo che il primo comune ha una popolazione di 3000 abitanti, il secondo di 4000 abitanti e il terzo di 5000 abitanti.

soluzione

13.

I fratelli Ubi e Michele, con l’amico Giampi hanno puntato al totocalcio rispettivamente 12 euro, 9 euro e 8 euro, realizzando una unica giocata. Dovendo ripartirsi proporzionalmente una vincita di 3480 euro, quanto spetta a ciascuno?

soluzione

14.

Giacomo e Giovanni devono dividersi 195 figurine in modo che il primo ne abbia 6/7 del secondo. Quanto spetta ad ognuno?

soluzione

15.

Una vincita di 180 euro deve essere suddivisa tra tre persone in ragione degli importi giocati da ognuno: 6 €, 4 € e 5 €. Trova quanto spetta ad ognuno.

soluzione

(3)

Giacomo, Giovanni e il loro papà giocano al super enalotto puntando rispettivamente 3, 4 e 5 euro.

La fortuna li assiste e devono spartirsi proporzionalmente 1380,00 euro.

Catena di rapporti x : 3 = y : 4 = z : 5 x+y+z=1380

(x+y+z) : (3+4+5) = x : 3 1380 : 12 = x : 3

𝑥 =1380 ∙ 3

12 = 115 ∙ 3 = 345 €

(x+y+z) : (3+4+5) = y : 4 1380 : 12 = y : 4

𝑦 =1380 ∙ 4

12 = 115 ∙ 4 = 460 €

x+y= 345+460 = 795 €

z = 1380-(x+y) = 1380-(345+460) = 575 €

Metodo della riduzione all’unità Proporzionalità diretta

3 + 4 + 5 = 12 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖 𝑢 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 =1380

12 = 115 €

𝑥 = 3𝑢 = 3 ∙ 115 = 345 € 𝑦 = 4𝑢 = 4 ∙ 115 = 460 € 𝑧 = 5𝑢 = 5 ∙ 115 = 575 €

Potrebbero decidere anche di spartire in tre parti uguali. La somma, inoltre, è divisibile senza alcun resto per 3.

𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 = 1380

3 = 460 €

(4)

Inky, Blinky, Pinky e Clyde, che prendono nome dai fantasmi del videogioco Pac-Man (22 maggio 1980), devono spartirsi 210 banconote da 10 € in modo direttamente proporzionale ai numeri 2, 3, 4 e 5. Quanto spetta ad ognuno?

Catena di rapporti x:2 = y:3 = z:4 = w:5 x+y+z+w=2100

(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤): (2 + 3 + 4 + 5) = 𝑥 ∶ 2 2100: 14 = 𝑥: 2

𝑥 =2100 ∙ 2

14 = 300 €

(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤): (2 + 3 + 4 + 5) = 𝑦 ∶ 3 2100: 14 = 𝑦: 3

𝑦 =2100 ∙ 3

14 = 450 €

(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤): (2 + 3 + 4 + 5) = 𝑧 ∶ 4 2100: 14 = 𝑧: 4

𝑧 =2100 ∙ 4

14 = 600 €

𝑤 = 2100 − (300 + 450 + 600) = 750 €

2 + 3 + 4 + 5 = 14 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖 𝑢 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 =2100

14 = 150 €

𝑥 = 2𝑢 = 2 ∙ 150 = 300 € 𝑦 = 3𝑢 = 3 ∙ 150 = 450 € 𝑧 = 4𝑢 = 4 ∙ 150 = 600 € 𝑤 = 5𝑢 = 5 ∙ 150 = 750 €

(5)

I gemelli Giacomo e Giovanni con il loro amico Filippo hanno puntato al totocalcio rispettivamente 10 euro, 8 euro e 6 euro, realizzando un’unica giocata. Dovendo ripartirsi proporzionalmente una vincita di 696 euro quanto spetta a ciascuno?

(x+y+z) : (10+8+6) = x : 10 696 : 24 = x : 10

𝑥 =696 ∙ 10

24 = 29 ∙ 10 = 290 €

(x+y+z) : (10+8+6) = y : 8 696 : 24 = y : 8

𝑦 =1380 ∙ 8

24 = 29 ∙ 8 = 232 €

x+y = 290+232 = 522

z = 696-(x+y) = 696-522 = 174 €

10 + 8 + 6 = 24 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖 𝑢 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 =696

24 = 29 €

𝑥 = 10𝑢 = 10 ∙ 29 = 290 € 𝑦 = 8𝑢 = 8 ∙ 29 = 232 € 𝑧 = 6𝑢 = 6 ∙ 29 = 174 €

(6)

Nicolò, Andrea e la loro mamma Milena puntarono al totocalcio nel lontano 1999

rispettivamente 2000, 3000 e 6000 lire, realizzando un’unica giocata. Ebbero la fortuna di ripartirsi proporzionalmente una vincita di 209 milioni di lire. Quanto spettò a ciascuno? L’euro, ci ricorda Alessandro, venne introdotto in circolazione l’1/1/2002.

Catena di rapporti

x : 2000 = y : 3000 = z : 6000 x+y+z=209.000.000

(x+y+z):(2000+3000+6000) = x:2000 209.000.000:11.000=x:2000

𝑥 =209.000.000 ∙ 2000

11.000 = 38.000.000 𝑙𝑖𝑟𝑒

209.000.000:11.000=x:3.000 𝑦 =209.000.000 ∙ 3000

11.000 = 57.000.000 𝑙𝑖𝑟𝑒

z = 209.000.000-(x+y) = 114.000.000 lire

2000 + 3000 + 6000 = 11000 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖 𝑢 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 =209.000.000

11.000 = 19.000 €

𝑥 = 2000𝑢 = 2000 ∙ 19000

= 38 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑙𝑖𝑟𝑒 𝑦 = 3000𝑢 = 3000 ∙ 19000 =

= 57 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑙𝑖𝑟𝑒 𝑧 = 6000𝑢 = 6000 ∙ 19000 =

= 114 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑙𝑖𝑟𝑒

In realtà si racconta che non si spartirono nulla ma andarono con papà Sandro e la mitica roulotte per 6 mesi in vacanza all’estero.

(7)

Tre soci hanno investito in una società rispettivamente duecentomila, trecentomila e

cinquecentomila euro. Dovendo ripartirsi alla fine dell’anno un utile di 720.000 euro quanto spetta a ciascuno di loro?

x:200.000=y:300.000=z:500.000 x+y+z=720.000

(x+y+z) : ((2+3+5)*100.000) = x : 200.000 720.000 : 1.000.000 = x : 200.000

𝑥 =720.000 ∙ 200.000

1.000.000 = 144.000 €

(x+y+z) : ((2+3+5)*100.000) = x : 300.000 720.000 : 1.000.000 = x : 300.000

𝑦 =720.000 ∙ 300.000

1.000.000 = 216.000 €

x+y= 144000+216000 = 360.000 €

z =720000-(x+y)=720000-360000= 360.000 €

(2 + 3 + 5) ∙ 100.000 = 1.000.000 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖 𝑢 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 = 720.000

1.000.000= 0,72 €

𝑥 = 200.000𝑢 = 200.000 ∙ 0,72

= 144.000 € 𝑦 = 300.000𝑢 = 300.000 ∙ 0,72

= 216.000 € 𝑧 = 500.000𝑢 = 500.000 ∙ 0,72

= 360.000 €

(8)

Tre fratelli devono dividersi in parti inversamente proporzionali alla loro età una vincita di 20.000 euro. Sapendo che hanno rispettivamente 30, 20, e 12 anni, calcola quanto prende ciascun fratello.

x : (1/30) = y : (1/20) = z : (1/12) x+y+z=20000

(x+y+z):(1/30+1/20+1/12) = x : (1/30) 20.000 : (1/6) = x : (1/30)

𝑥 = 20.000 ∙ 1 30 1 6

=2000

30 ∙ 6 = 4000 €

(x+y+z) : (1/30+1/20+1/12) = y : (1/20) 20.000 : (1/6) = x : (1/20)

𝑥 = 20.000 ∙ 1 20 1 6

=2000

20 ∙ 6 = 6000 €

x+y = 4000+6000 = 10.000

z = 20.000-(x+y) = 20.000-10.000 = 10.000 €

Metodo della riduzione all’unità Proporzionalità inversa

1 30+ 1

20+ 1

12= 2 + 3 + 5

60 = 1

6 𝑢 = 20.000:1

6= 20.000 ∙ 6 = 120.000 €

𝑥 = 𝑢

30=120.000

30 = 4000 € 𝑦 = 𝑢

20= 120.000

20 = 6000 € 𝑧 = 𝑢

12=120.000

12 = 10.000 €

(9)

Dovete suddividere un premio di produzione di euro 2560,00 è diviso tra i 4 impiegati di un ufficio in modo che a ognuno spetti in proporzione all’anzianità lavorativa aziendale. I quattro impiegati sono in servizio in azienda rispettivamente da 10, 15, 20 e 35 anni.

x : 10 = y : 15 = z : 20 = j : 35 x+y+z+j=2560

(x+y+z+j):(10+15+20+35) = x : 10 2560 : 80 = x : 10

𝑥 =2560 ∙ 10

80 = 32 ∙ 10 = 320 €

(x+y+z):(10+15+20+35) = y : 15 2560 : 80 = y : 15

𝑦 =2560 ∙ 15

80 = 32 ∙ 15 = 480 €

(x+y+z):(10+15+20+35) = z : 20 2560 : 80 = z : 15

𝑧 =2560 ∙ 20

80 = 32 ∙ 20 = 640 €

x+y+z = 320+480+640 = 1440 €

z = 2560-(x+y+z) = 2560-1440 = 1120 €

(10 + 15 + 20 + 35) = 80 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖 𝑢 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 =2560

80 = 32 €

𝑥 = 10𝑢 = 10 ∙ 32 = 320 € 𝑦 = 15𝑢 = 15 ∙ 32 = 480 € 𝑧 = 20𝑢 = 20 ∙ 32 = 640 € 𝑗 = 35𝑢 = 35 ∙ 32 = 1120 €

(10)

Tre azionisti hanno impiegato in una società i capitali di 60.000 euro, di 45.000 euro e 30.000 euro. Come si devono suddividere un utile di 13.500 euro.

A meno di x1000 per capitale investito x : 60 = y : 45 = z : 30

x+y+z = 135000

(x+y+z):(60+45+30) = x : 60 13.500 : 135 = x : 60

𝑥 =13.500 ∙ 60

135 = 6000 €

(x+y+z):(60+45+30) = y : 45 13.500 : 135 = y : 45

𝑦 =13.500 ∙ 45

135 = 4500 €

x+y = 6000+4500 = 10.500 €

z = 13500-(x+y) = 13500-10500 = 3000 €

60 + 45 + 30 = 135 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖 𝑢 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 =13.500

135 = 100 €

𝑥 = 60𝑢 = 60 ∙ 100 = 6000 € 𝑦 = 45𝑢 = 45 ∙ 100 = 4500 € 𝑧 = 30𝑢 = 30 ∙ 100 = 3000 €

(11)

Tre comuni vicini devono contribuire alle spese annuali di manutenzione di una strada comune per un totale di 17.000 euro. La ripartizione deve essere fatta in base agli abitanti di ogni

comune. Come si deve suddividersi la spesa se la popolazione è rispettivamente di 3000, 7000 e 15000 abitanti.

A meno di x1000 per numero di abitanti x : 3 = y : 7 = z : 15

x+y+z = 17.000

(x+y+z):(3+7+15) = x : 3 17.000 : 25 = x : 3 𝑥 =17000 ∙ 3

25 = 2040 €

(x+y+z):(3+7+15) = y : 7 17.000 : 25 = y : 7 𝑦 =17000 ∙ 7

25 = 4760 €

x+y = 2040+4760 = 6800 €

z = 17000-(x+y) = 17000-6800 = 10.200 €

3 + 7 + 15 = 25 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖 𝑢 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 =17.000

25 = 680 €

𝑥 = 3𝑢 = 3 ∙ 680 = 2040 € 𝑦 = 7𝑢 = 7 ∙ 680 = 4760 € 𝑧 = 15𝑢 = 15 ∙ 680 = 10.200 €

(12)

In un condominio di quattro appartamenti occorre contribuire proporzionalmente al numero di stanze riscaldate alla spesa sostenuta durante l’anno per il riscaldamento per un totale di 6370 euro. La ripartizione deve essere fatta sapendo che due appartamenti hanno sei stanze e altri due ne hanno sette.

Catena di rapporti x : 6 = x : 6 = y : 7 = y : 7 2x+2y+ = 6370

(2x+2y):(6+6+7+7) = x : 6 6370 : 26 = x : 6

𝑥 =6370 ∙ 6

26 = 1470 €

(2x+2y):(6+6+7+7) = y : 7 6370 : 26 = y : 7

𝑦 =6370 ∙ 7

26 = 1715 € Oppure

𝑦 =6370 − 2 ∙ 1470

2 = 3430

2 = 1715 €

6 + 6 + 7 + 7 = 26 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖 𝑢 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 =6370

26 = 245 €

𝑥 = 6𝑢 = 6 ∙ 245 = 1470 € 𝑦 = 7𝑢 = 7 ∙ 245 = 1715 €

(13)

Un genitore dispone che parte del suo patrimonio, pari a 130.000 euro, vada distribuito in

maniera inversamente proporzionale all’età dei figli. Esegui la ripartizione sapendo che i suoi tre figli hanno rispettivamente 12, 20 e 25 anni.

x: (1/12) = y : (1/20) = z : (1/25) x+y+z=130.000

(x+y+z):(1/12+1/20+1/25) = x : (1/12) 130.000 : (13/75) = x : (1/12)

𝑥 = 130.000 ∙ 1 12 13 75

=130000 12 ∙75

13= 62.500 €

(x+y+z):(1/12+1/20+1/25) = y : (1/20) 130.000 : (13/75) = x : (1/20)

𝑦 = 130.000 ∙ 1 20 13 75

=130000 20 ∙75

13= 37.500 €

x+y = 62500+37500 = 100.000 €

z =130000-(x+y)=130000-100000= 30.000 €

Metodo della riduzione all’unità Proporzionalità inversa

1 12+ 1

20+ 1

25= 25 + 15 + 12

300 = 52

300=13 75 𝑢 = 130.000 ∶ 13

75= 130.000 ∙75

= 750.000 € 13

𝑥 = 𝑢

12=750.000

12 = 62.500 € 𝑦 = 𝑢

15= 750.000

15 = 37.500 € 𝑧 = 𝑢

25=750.000

25 = 30.000 €

(14)

Le spese per la costruzione di una strada di collegamento tra tre comuni vicini è stata di 360.000 euro. Occorre ripartire tale spesa tra i tre comuni proporzionalmente ai loro abitanti sapendo che il primo comune ha una popolazione di 3000 abitanti, il secondo di 4000 abitanti e il terzo di 5000 abitanti.

A meno di x1000 per numero di abitanti x: 3 = y :4 = z : 5

x+y+z=360.000

(x+y+z):(3+4+5) = x : 3 360.000 : 12 = x : 3 𝑥 =360.000 ∙ 3

12 = 120.000 €

(x+y+z):(3+4+5) = y : 4 360.000 : 12 = y : 4 𝑦 =360.000 ∙ 4

12 = 90.000 €

x+y = 90.000+120.000 = 210.000 €

z =360.000-(x+y)=360000-210000= 150.000 €

3 + 4 + 5 = 12 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖 𝑢 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 =360.000

12 = 30.000 €

𝑥 = 3𝑢 = 3 ∙ 30.000 = 90.000 € 𝑦 = 4𝑢 = 4 ∙ 30.000 = 120.000 € 𝑧 = 5𝑢 = 5 ∙ 30.000 = 150.000 €

(15)

I fratelli Ubi e Michele, con l’amico Giampi hanno puntato al totocalcio rispettivamente 12 euro, 9 euro e 8 euro, realizzando una unica giocata. Dovendo ripartirsi proporzionalmente una vincita di 3.480 euro, quanto spetta a ciascuno?

Ubi: 12 = Michele : 9 = Giampi : 8 Ubi+Michele+Giampi=3480 €

(Ubi+Michele+Giampi):(12+9+8) = Ubi : 12 3480 : 29 = Ubi : 12

𝑢𝑏𝑖 =3480 ∙ 12

29 = 120 ∙ 12 = 1440 €

(Ubi+Michele+Giampi):(12+9+8) = Michele : 9 3480 : 29 = Michele : 9

𝑚𝑖𝑐ℎ𝑒𝑙𝑒 =3480 ∙ 9

29 = 120 ∙ 9 = 1080 €

Ubi+Michele = 1440+1080 = 2520 € Giampi =3480-2520 = 960 €

12 + 9 + 8 = 29 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖 𝑢 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 =3480

29 = 120 €

𝑥 = 12𝑢 = 12 ∙ 120 = 1440 € 𝑦 = 9𝑢 = 9 ∙ 120 = 1080 € 𝑧 = 8𝑢 = 8 ∙ 120 = 960 €

(16)

Giacomo e Giovanni devono dividersi 195 figurine in modo che il primo ne abbia 6/7 del secondo. Quanto spetta ad ognuno?

Catena di rapporti x : 6 = y : 7

x+y=195

(x+y) : (6+7) = x : 6 195 : 13 = x : 6 𝑥 =195 ∙ 6

13 = 15 ∙ 6 = 90 €

(x+y) : (6+7) = y : 7 195 : 13 = y : 7 𝑦 =195 ∙ 7

13 = 15 ∙ 7 = 105 €

6 + 7 = 13 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖 𝑢 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 =195

13 = 15 €

𝑥 = 6𝑢 = 6 ∙ 15 = 90 € 𝑦 = 7𝑢 = 7 ∙ 15 = 105 €

(17)

Una vincita di 180 euro deve essere suddivisa tra tre persone in ragione degli importi giocati da ognuno: 6 €, 4 € e 5 €. Trova quanto spetta ad ognuno.

(x+y+z) : (6+4+5) = x : 6 180 : 15 = x : 6

𝑥 =180 ∙ 6

15 = 12 ∙ 6 = 72 €

(x+y+z) : (6+4+5) = y : 4 180 : 15 = y : 4

𝑦 =180 ∙ 4

15 = 12 ∙ 4 = 48 €

x+y= 72+48 = 120 €

z = 180-(x+y) = 180-120 = 60 €

6 + 4 + 5 = 15 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖 𝑢 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 =180

15 = 12 €

𝑥 = 6𝑢 = 6 ∙ 12 = 72 € 𝑦 = 4𝑢 = 4 ∙ 12 = 48 € 𝑧 = 5𝑢 = 5 ∙ 12 = 60 €

(18)

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composto completi di risoluzione, tre semplice, tre composto, ripartizione, esercizi con soluzioni Math, Arithmetic, Proportion, Proportionality, Proportionality problems , extremes, means, solving a proportion, Math solved exercises

Matemática, Aritmética, Proporción Mathématique, Arithmétique, Proportion

Mathematik, Arithmetik, das Verhältnis

Arabic: دَدَع ،مْجَح ،هَّيِمَك Chinese 比例

Czech: poměr Danish: forhold

Dutch: verhouding Estonian: (õige) vahekord

Finnish: suhde Greek: αναλογία Hungarian: arány

Icelandic: hlutfall Indonesian: perbandingan

Japanese: 割合

Korean: (양·크기·수 따위의) 비, 비율 Latvian: proporcija; attiecība; samērs Lithuanian: proporcija, santykis

Norwegian: forhold Polish: proporcja Portuguese: proporção

Romanian: proporţie Russian: пропорция

Slovak: pomer, podiel Slovenian: razmerje

Swedish: proportion Turkish: oran, nisbet