F t)-semimartingale de décomposition de DoobS t = S 0 + M t + A t pourtoutt ∈ [0, T ].AppelonsΘl'espacedesprocessusprévisi-

N

◦

bibliothèque de Paris 13

TESI

il titolo di DOTTORE DI RICERCA le grade de DOCTEUR de

dell'Università LUISS-GUIDO CARLI l'Université de Paris 13

Indirizzo: Metodimatematici per Discipline: Mathématiques

l'economia, lananza el'impresa.

di(de)

GOUTTE Stéphane

Variance Optimal Hedging in incomplete market for processes

with independent increments and applications to electricity

market.

Soutenue le05/07/2010 devant lacommission d'examen :

Claudia CECI UniversitàGabrieleD'Annunzio,Pescara Examinateur

Jean-Stephane DHERSIN UniversitéParis13 Examinateur

Fausto G0ZZI LUISSGuidoCarli,Rome Co-directeur

Marco ISOPI UniversitàLaSapienza,Rome Examinateur

Maurizio PRATELLI UniversitàdiPisa Examinateur

Francesco RUSSO UniversitéParis13etINRIARocquencourt Directeur

Agnes SULEM INRIARocquencourt Présidente

Jean-Pierre FOUQUE UniversityofCalifornia,SantaBarbara Rapporteur

Monique JEANBLANC Universitéd'Evry Rapporteur

Conlacollaborazionedi(aveclecoencadrementde)

Nadia OUDJANE UniversitéParis13etEDF,R &D

Résumé: La thèse porte sur une décomposition explicite de Föllmer-Schweizer d'une

classe importante d'actifs conditionnels lorsque le cours du sous-jacent est un processus à

accroissements indépendants ou une exponentielle de tels processus. Ceci permet de met-

tre en oeuvre un algorithme ecace pour établir des stratégies optimales dans le cadre de

la couverture quadratique. Ces résultats ont été implémentés dans le cas du marché de

l'électricité.

Titolo: Copertura sulla base dello scarto quadratico medio nei mercati incompleti per

deiprocessi a incrementiindipendenti eapplicazioni almercato elettrico.

Riassunto: In questa tesi di dottorato di ricerca vengono calcolate esplicitamente le

scomposizionidettediFöllmer-Schweizerperuna famigliasignicativadiopzioninanziarie

quando il prezzo delsoggiacente é un processo a incrementi indipendentio un esponenziale

di tali processi. Le formule ottenute permettono di produrre un algoritmo eciente per la

risoluzione del problema della copertura che minimizzalo scarto quadraticomedio neimer-

cati incompleti. I risultati sono stati implementatinumericamente nell'ambito del mercato

elettrico.

Title: Variance OptimalHedging in incomplete marketfor processes with independent

incrementsand applicationsto electricity market.

Abstract: Foralargeclassofvanillacontingentclaims,weestablishanexplicitFöllmer-

Schweizerdecompositionwhentheunderlyingisaprocesswithindependentincrements(PII)

andanexponentialofaPIIprocess. Thisallows toprovideanecientalgorithmforsolving

the mean variance hedging problem. Applications to models derived from the electricity

market are performed.

Key words and phrases: Variance-optimal hedging, Föllmer-Schweizer decomposition,

Lévyprocess,Cumulativegeneratingfunction,Characteristicfunction,NormalInverseGaus-

sianprocess,Electricitymarkets,IncompleteMarkets,Process withindependentincrements,

tradingdates optimization.

des mathématiques nancières. Je le remercie également pour ses nombreux conseils, son

soutien constant, ainsi que pour la rigueur mathématique qu'il m'a apportée. Je lui suis

particulièrementreconnaissant pour sadisponibilitétout au long de mathèse.

Je souhaite aussi remercier Nadia Oudjane pour m'avoir encadré à la fois dans mes

recherches etdans mesapplications numériques. Ses nombreuses idées ontété unesourcede

recherche très appréciable tout aulong de mathèse.

Je remercie aussi Fausto Gozzi, pour m'avoir co-encadré durant ma thèse et surtout

pour son aide etson soutienlorsde mon année àRome.

Je suis très reconnaissant envers mes deux rapporteurs: Monique Jeanblanc et Jean-

Pierre Fouque. Je les remercie pour leur intérêt dans mes travaux de thèse et pour avoir

accepté de larapporter.

Je remercie également Claudia Ceci, Jean-Stéphane Dhersin, Marco Isopi, Maurizio

Pratelli etAgnes Sulem d'avoiraccepté de participerau jury de mathèse.

Mes remerciements vont également à tous les enseignants et chercheurs que j'ai pu

rencontrer au cours de ma thèse au sein de l'université Paris 13, à l'université LUISS de

Rome, auCermicsde l'EcoleNationaledes PontsetChaussées, auLAMAde l'universitéde

Marne la Vallée, auLPMA de l'université Paris6 et7 etenn audépartementrecherche et

développement d'EDF à clamart.

J'aimerais remercier mon épouse Sonia pour m'avoir accompagné et soutenu tout au

long de ma thèse. Elle m'a toujours encouragé dans mes choix professionnels. Elle était

toujours là pour m'écouter et me conseiller dans mon travail. Ses remarques et conseils

m'ont beaucoup aidé. C'est par sa présence quotidienne que je peux m'épanouir à la fois

dans mavie et dans mon travail. Sans ellerien de tout cela n'auraitété possible.

Je remercie aussi mafamillepour m'avoir encouragé dans mes études.

Mes pensées vont enn à mes amis thésards, pour leur bonne humeuret surtoutpour

leuramitié. Jetiensàremercier,enparticulier,GabrielFaraud,BenjaminMussatetThomas

Lim.

1 Introduction 9

2 Variance-Optimal hedging in continuous time 19

2.1 Introduction . . . 21

2.2 Generalitieson semimartingalesand Föllmer-Schweizer decomposition . . . . 25

2.2.1 Generating functions . . . 25

2.2.2 Semimartingales. . . 26

2.2.3 Föllmer-SchweizerStructure Condition . . . 27

2.2.4 Föllmer-SchweizerDecomposition and variance optimalhedging . . . 29

2.2.5 Link with the equivalent signed martingale measure and the variance optimalmartingale (VOM) measure . . . 33

2.3 Processes with independent increments (PII) . . . 36

2.3.1 Preliminaries . . . 37

2.3.2 Structure condition for PII (which are semimartingales). . . 42

2.3.3 Examples . . . 44

2.3.4 Explicit Föllmer-Schweizer decompositionin the PII case . . . 48

2.3.5 Representation of some contingentclaims by Fouriertransforms . . . 56

2.4 Föllmer-Schweizer decomposition for exponential of PII processes . . . 57

2.4.1 A reference variancemeasure . . . 57

2.4.2 On some semimartingaledecompositions and covariations . . . 61

2.4.3 On the Structure Condition . . . 62

2.4.4 Explicit Föllmer-Schweizer decomposition . . . 63

2.4.5 FS decomposition of special contingent claims . . . 66

2.4.6 Representation of some typicalcontingent claims . . . 74

2.5 The solutionto the minimizationproblem . . . 74

2.5.1 Mean-VarianceHedging . . . 74

2.5.2 The exponentialLévy case . . . 78

2.5.3 Exponentialof a Wiener integral driven by aLévy process . . . 80

2.5.4 A Log-Gaussian continuous process example. . . 83

2.6 ApplicationtoElectricity. . . 84

2.6.1 Hedging electricity derivatives with forward contracts . . . 84

2.6.2 Electricity price models for pricingand hedging application . . . 85

2.6.3 The non Gaussian two factors model . . . 86

2.6.4 Verication of the assumptions . . . 87

2.7 Simulations . . . 90

2.7.1 ExponentialLévy . . . 90

2.7.2 ExponentialPII . . . 93

3 Variance-Optimal hedging in discrete time 97 3.1 Introduction . . . 99

3.2 Generalitiesand Discrete Föllmer-Schweizerdecomposition . . . 103

3.2.1 Existence and structure of anoptimal strategy . . . 105

3.3 Exponentialof PII processes . . . 106

3.3.1 Discrete cumulant generating function . . . 107

3.3.2 Discrete Föllmer-Schweizer decomposition . . . 109

3.3.3 Discrete Föllmer-Schweizer decompositionof special contingentclaims 112 3.4 The solutionof the minimization problem . . . 115

3.4.1 Mean-VarianceHedging . . . 115

3.4.2 The Hedging Error . . . 116

3.5 Numericalresults . . . 121

3.5.1 The case of a Digitaloption . . . 121

3.5.2 The case of electricity forward prices . . . 127

Appendix 136

Bibliography 138

Introduction

Dans cette thèse, nous nous intéresserons aux problèmes de la couverture d'options en

marché incomplet et à ses applications, notamment sur le marché Spot de l'électricité. En

eet, lamotivationpremièrede cette thèseaété quesur lemarché de l'électricitélespicsde

prix des actifssont à lafois fréquents et élevés. Comme nous pouvons levoir dans lagure

1.1,laprésencede sautsdanslesprixde certainssous-jacentsjustie l'utilisationde modèles

non gaussiens et, entre autre, l'utilisationde processus à accroissements indépendants dans

nos modèlesde prix, an de pouvoirreprésenter ces sauts. Il est clair quedes variationsde

prix commecelles-làne peuvent pas être expliquées par un modèle gaussien.

Du point de vue de la couverture, les modèles gaussiens correspondent en général aux

marchés complets ou aux marchés qui peuvent être complétés. Or, l'utilisationde modèles

non gaussiens utilisant,par exemple, des processus à accroissements indépendants entraine

l'incomplétude du marché; c'est à dire un marché où lesméthodes classiques de couverture

et de valorisation du type de celle de Black et Scholes ne permettent plus une réplication

parfaite des produits dérivés.

La question de la valorisation et de la couverture d'option en temps continu ou discret

dans la cas non gaussien se pose donc. Quel est l'apport de la prise en compte des pics

de prix du sous-jacent dans le calcul de couverture par rapport à la solution donnée par la

formule de Black et Scholes? Comment se traduit, en terme d'erreur, le fait de discrétiser

une stratégiede couverture optimaleen temps continu?

Figure 1.1: Prix du marché Spot de l'électricité sur le marché PowerNext entre le 15/11/05 et le

31/03/06 eneuros par Mwh,heure par heure.

L'approche Variance-Optimale

Uneapproche populairepour résoudreleproblèmede couvertureen marché incompletest

celle de la couverture variance-optimale introduite dans [30]. Soit

(Ω, F, P)

^{un espace de}

probabilité, soit

T > 0

^{une maturité, posons}

S

^{une (}

F t

)-semimartingale de décomposition de Doob

S t = S 0 + M t + A t

^{pour tout}

t ∈ [0, T ]

^{. Appelons}

Θ

^{l'espace des processus prévisi-}

bles

(v t ) t∈[0,T ]

^pourlequell'intégralestochastique

G t (v) = R t

0 v s dS s

^estunesemimartingalede carréintégrable. Fixonsunevariablealéatoiredecarréintégrable

H

^{. Leproblèmedecouver-}

ture variance-optimaleconsisteàtrouveruneconstante

c ∈ R

^{etune stratégiede couverture}

(v t ) t∈[0,T ] ∈ Θ

^{qui minimisentlerisque} quadratiqueglobale de couverture suivant:

E [(H − c − G ^T (v)) ² ]

En termes nanciers,

c

^{répresente la valeur optimale du capital initial nécessaire pour}

minimisernotre erreur globalede couverture.

ϕ ^c

^{représentela stratégieoptimale d'achat et}

de vente sur le marché de l'actif

H

^{à chaque instantde} couverture.

Richardson [30]; Schweizer [72, 73, 76, 66]; Gourieroux, Laurent et Pham [41] Cont,

TankovetVoltchkovaet[23] ouplusrécemmentCerny etKallsen[17] ontcontribuédefaçon

signicative àla résolution de ce problème.

La décomposition de Föllmer-Schweizer est un outil classique utilisé pour résoudre le

problème de couverture variance-optmale.

La décomposition de Föllmer-Schweizer

Dénition. On dit qu'une variable aléatoire

H ∈ L ² (Ω, F, P )

^{admet une} décomposition de Föllmer-Schweizer si elle peut être représentée sous la forme suivante:

H = H 0 + Z T

0

ξ _s ^H dS s + L ^H _T , P − a.s. ,

^(0.1)

où

H 0 ∈ R

^{estune constante,}

ξ ^H ∈ Θ

^et

L ^H = (L ^H _t ) _{t∈[0,T ]}

^{une martingalede carré intégrable}

telle que

E [L ^H ₀ ] = 0

^{et fortement} orthogonaleà la partie martingalelocale

M

^(i.e.

hL, Mi = 0

⁾ apparaissant dans ladécomposition de Doob de

S

^.

Le premier article introduisant cette décomposition dans le cas où

(S t )

^{est continue est}

celui de Föllmer-Schweizer [36]. Nous pouvons remarquer que dans le cas où

(S t )

^{est une}

martingale de carré intégrable alorsla décomposition de Föllmer-Schweizer coïncide avec la

décomposition de Kunita-Watanabe.

L'existenced'unetelledécompositionestprimordialedanslacaractérisationdelasolution

de notreproblèmede couverturevariance-optimale. Eneet, c'est grâceautriplet

(H 0 , ξ, L)

intervenantdansladécompositiondeFöllmer-Schweizerquenouscaractériserons lasolution

explicite de notreproblème de couverturevariance-optimale. On en déduit qu'une première

étapenécessaire àlarésolutionde notreproblèmede couvertureestde démontrerl'existence

d'unetelledécompositionpournotresemimartingale

(S _t )

^{. Ilconvienttoutd'aborddevérier}

une condition introduite par Schweizer dans [72] appelée condition de structure.

Dénition. On dit que la semimartingale

(S t ) t∈[0,T ]

^{satisfait la condition de structure}

(SC) s'il existe un processus prévisible

(α t ) t∈[0,T ]

^{tel que pour tout}

t ∈ [0, T ]

^{on ait}

A t =

Z t 0

α s d hMi s , K T < ∞ a.s.,

où l' on note

K _t = Z t

0

α ² _s d hMi s .

Dans ce cas, la

( F t )

-semimartingale

(S t )

^{peut s'écrire sous laforme :}

S t = S 0 + M t +

Z t 0

α s d hMi s .

Le processus

(K t ) t∈[0,T ]

^{joue un role important dans} l'existence de la décomposition de Föllmer-Schweizer. Ce processus est appelé processus mean-variance tradeo. Il est

inspiré de la théorie en temps discret introduite dans [70] et dénie en temps continu dans

[36] puis [72]. Monat etStrciker, dans [61], ont donné une condition susante àl'existence

et àl'unicitéde ladécomposition de Föllmer-Schweizer d'une variable aléatoire

H

^.

Proposition. Supposons que

(S _t ) _{t∈[0,T ]}

^{satisfasse la condition de structure (SC) et que}

leprocessusmean-variancetradeo

K

^soit uniformementborné en

t

^et

ω

^{alorstoute variable}

aléatoire

H ∈ L ² (Ω, F, P)

^{admet une unique} décomposition de Föllmer-Schweizer.

Ce résultat nous permet donc sous certaines conditions sur notre sous-jacent

(S t )

^de

prouverl'existence de la décompositionde Föllmer-Schweizer de toute variablealétaoire

H

^.

L'existence de cette décomposition va nous permettre de prouver l'existence de la solution

de notre problème de couverture variance-optimale.

La solution de notre problème de couverture variance-optimale

En eet, l'existence de la décomposition de Föllmer-Schweizer sous les conditions précé-

dentesaboutitàl'existencedelasolutiondenotreproblèmedecouverturevariance-optimale.

Monat etStricker, toujours dans [61], ont ainsi démontré lerésultatsuivant:

Théorème. Supposons que

(S t ) t∈[0,T ]

^{satisfasse la condition de structure (SC) et que le}

processus mean-variance tradeo

K

^soit uniformement borné en

t

^et

ω

^{alors pour toute}

variable aléatoire

H ∈ L ² (Ω, F, P)

^{, il existe un unique couple}

(c ^(H) , ϕ ^(H) ) ∈ L ² ( F ⁰ ) × Θ

^tel

que

E [(H − c ^(H) − G ^T (ϕ ^(H) )) ² ] = min

(c,v)∈L ² (F 0 )×Θ

E [(H − c − G ^T (v)) ² ] .

Schweizer,dans[72],donne,danslecasoùleprocessusmean-variancetradeo

(K t )

^est

déterministe,uneformeimplicite(maisexploitablenumériquement)du couple

(c ^(H) , ϕ ^(H) ) ∈ L ² ( F ⁰ ) × Θ

^{solution du problème} variance-optimale, ainsi que la valeur de la variance de notre erreur de couverture variance-optimale.

Théorème. Supposons que

(S t ) t∈[0,T ]

^{satisfasse la condition de structure (SC) et que le}

processus mean-variance tradeo

(K t )

^soit déterministe. Soit

α

^{le processus prévisible ap-}

paraissant dans la condition de structure et

H ∈ L ²

^{la variable aléatoire admettant une}

décomposition de Föllmer-Schweizer;alors nous avons

1. Pourtout

c ∈ R

^{lastratégieoptimale}

ϕ ^(c) ∈ Θ

^{solutiondenotreproblème decouverture}

variance optimale est donnée par

ϕ ^(c) _t = ξ _t ^H + α t

1 + ∆K t

(H t− − c − G ^t− (ϕ ^(c) )) ,

^{pour tout}

t ∈ [0, T ]

où leprocessus

(H t ) _{t∈[0,T ]}

^{est déni par}

H _t := H ₀ +

Z t 0

ξ _s ^H dX _s + L ^H _t .

2. De plus lavariance de notre erreur de couverture variance-optimale vaut

min v∈Θ

E [(H − c − G T (v)) ² ] = E(− ˜ K T )



(H 0 − c) ² + E[(L ^H ₀ ) ² ] + Z T

0

1

E(− ˜ K _s ) d E[

L ^H 

s ]
 ,

(0.2)

où

E(S)

^est l'exponentiellede Doléans-Dade de la semimartingale

S

^{(voir séction II.8}

p. 85 de [63]) et

K ˜ t = Z t

0

|α s | ² 1 + ∆K s

d hMi _s = Z t

0

1 1 + ∆K s

dK s , for allt ∈ [0, T ].

3. En particulier, si

hM, Mi

^{est continue, nous avons alors que}

min v∈Θ

E [(H − c − G T (v)) ² ] = exp( −K T ) (H 0 − c) ² + E[(L ^H ₀ ) ² ]
+E

Z T 0

exp {−(K ^T − K ^s ) }d L ^H 

s

 .

Nous pouvons remarquer quedans le cas où lasemimartingale

(S t )

^{est continue, traitée}

dans [36], aucune condition sur

K

^{n'est requise. Plus récemment, une quantité importante}

de travauxtraitantles problèmes de minimisation du risque localouglobal ont été publiés.

Il est donc impossible de tous les lister. Cependant nous pouvons citer [76], [9] et [17] qui

comportent une bibliographieimportante.

Uneautreapproche envisagéepour résoudreleproblème decouverturevarianceoptimale

est celle de Cont, Tankov et Voltchkova dans [23], qui minimisent cette variance sous une

mesure de probabilité équivalente par rapportà laquelle

(S _t )

^{est une} martingale.

Le problème de couverture variance-optimale peut aussi être relié à lathéorie des équa-

tions diérentielles stochastiques rétrogrades (BSDEs) dans le sens de Pardoux et Peng

[62], et a été proposé par Schweizer [72]. Dans [62], est considérée une équation diéren-

tiellestochastiquerétrogradedirigéepar un mouvement brownien. Dans[72], lemouvement

brownienest remplacé par

M

^{. Lepremierauteurayant considéréune équation}diérentielle stochastique rétrograde dirigée par une martingale est Buckdahn dans [14].

Supposons

V t = R t

0 α s d hMi ^s

^{. Le problème de couverture} variance-optimale consiste à trouverun triplet

(V, ξ, L)

^{résolvant laBSDE suivante}

V t = H − Z T

t

ξ s dM s − Z T

t

f (ω, s, V s , ξ s )d hMi s − (L T − L t ),

où

• f(ω, s, V ^s , ξ s ) = ξ s α s

• E[V t ² ] < ∞

^{pour tout}

t ∈ [0, T ]

• E[ R T

0 ξ _s ² d hMi ^s ] < ∞

• L

^{est une}

( F ^t )

-martingale locale orthogonale à

M

^.

Enfait,cettedécompositionnousdonnelasolutionauproblèmedeminimisationdurisque

localde couverture[36]. Dans cecas,

V t

^{représenteleprix de notreoptionàl'instant}

t

^et

V 0

est l'espérance sous lavariance-optimal mesure (VOM)de

H

^.

La motivation du marché de l'électricité

Notre motivation à résoudre le problème de couverture variance optimale dans le cas de

logarithmedeprixàaccroissementsindépendantsnousvient,commenousl'avonsmentionné

précédement, du marché de l'électricité. En eet, du fait de l'impossibilité de stocker de

l'électricité, l'un des instruments de couverture utilisé sont les prix à termes ou futur

F _t ^{T d}

sur lesprix spot

(S t )

^.

F _t ^{T d}

^{représente alors le prixfutur àl'instant}

t ≤ T d

^{de la livraisonde}

1MWh d'électricitésur lapériode

[T d , T d + θ]

^.

Le modèle exponentiel de Lévy, proposé dans [11] et [21], permet de représenter à la

fois la structure de volatilité et les pics de prix. Plus précisément, le prix futur est donné

par le modèle àdeux facteurs suivant:

F _t ^{T d} = F ₀ ^{T d} exp(m ^T _t ^d + Z t

0

σ S e ^{−λ(T d −s)} dΛ s

| {z }

f acteur court terme

+ σ L W t

| {z }

f acteur long terme

) ,

^{pour tout}

t ∈ [0, T ^d ] ,

^(0.3)

où

m

^{est une tendanceréelle}déterministe,

Λ

^{un processusde Lévyréel et}

W

^{un mouvement}

brownien réel. Nous remarquons que la dynamique des prix futurs

F _t ^{T d}

^{est modélisée par}

une exponentielle de processus à accroissements indépendants.

Ceci justie notre choix de nous intéresser à l'extension des résultats du problème de

valorisationet de couverture variance-optimale dans le cas où lesous-jacent suit un modèle

à accroissementsindépendants mais non plus forcément stationnaires.

Cette thèse traiteradonc du cas oùlesous-jacent

(S t )

^{est un processus à}accroissements indépendantsouune exponentielle de processus àaccroissementsindépendants,etceci dans

le cas d'un marché en temps continuou discret. Nous donnerons, entre autre, des formules

explicites permettant d'obtenir le triplet

(H 0 , ξ, L)

intervenant dans la décomposition de Föllmer-Schweizer et ceci dans le cas où la semimartingale

(S t )

^{est une} exponentielle de processus à accroissementsindépendants etpour une classe particulère d'options introduite

dans [49]. Eneet, l'option

H

^{sera donnée par l'inversed'une} transformée de Laplaced'une

fonction

f

^{contre une mesure complexenie}

Π

^. Typiquement, on auraque

H = f (S T )

^avec

f (s) = R

C s ^z Π(dz)

^{. A titre d'exemple, nous avons qu'un call européen de strike Kvérie ce}

typede représentation etona que pour

R > 1

^et

s > 0 (s − K) ⁺ = 1

2iΠ

Z R+i∞

R−i∞

s ^z K ^1−z z(z − 1) dz

Pourcetyped'option,nousexprimeronslavaleurdenotrestratégiedecouverturevariance-

optimale

(ϕ ^(c) _t ) t∈[0,T ]

^{en fonctiondelafonctioncumulative}génératrice

(κ t ) t∈[0,T ]

^duprocessus

X t = log(S t )

^.

(κ t )

^{étantdénie pour l'ensembledes}

z ∈ D := {z ∈ C | E[e ^{Re(z)X t} ] < ∞, ∀t ∈ [0, T ] }

^comme

κ t : D → C ,

^avec

e ^{κ t (z)} = E[S _t ^z ] = E[e ^{zX t} ] ,

Onpeuttrouverdans [49],desrésultatsconcernantlecasoùlesous-jacentsemimartingale

(S t )

^{est une} exponentielle de processus de Lévy (donc à accroissements indépendants et stationnaires).

Cettethèse secomposeradoncde deuxparties. Chacuned'entreelles faisantobjetd'une

soumission à publication.

L'approche en temps continu

Lepremier chapitre visera àrésoudre le problème en temps continu. Dans la section 2.2,

nous introduirons, dans un premier temps, les notions intervenant dans la résolution du

problèmede lacouverturevariance-optimaleetnousdénironsladécompositionde Föllmer-

Schweizer. Deux cas de sous-jacent

(S t )

^{seront alors étudiés:}

•

^{Lasection2.3porterasur l'étudeducas oùle}sous-jacent

(S t )

^{est donnépar unproces-}

sus àaccroissementsindépendants

(X t )

^{. Dans ce cas précis,nous} travailleronssur une classe d'options du type transformée de Fourier de notre procéssus à accroissements

indépendants:

H = f (S T ) = f (X T )

^with

f (x) = Z

R

e ^iux µ(du) ,

^{pour tout}

x ∈ R ,

pour unecertaine mesuresignéenie

µ

^{. Lethéorème 2.3.34établiraalors des formules}

explicites permettant d'obtenir la décomposition de Föllmer-Schweizer d'une variable

aléatoire

H

^{vériant ce type de} représentation.

•

^{La section 2.4 traitera ensuite du cas où le} sous-jacent

(S t )

^{est donné par une expo-}

nentielledeprocessusàaccroissementsindépendants

S t = exp X t

^{. Nousdonneronsdes}

résultatsfaisantintervenir lafonctiongénératricecumulativede

(X t )

^{. Nousétablirons}

alors grâce à ces résultatsle théorème 2.4.24 donnant les formules explicites de la dé-

composition de Föllmer-Schweizer d'une variable aléatoire

H

^{dénie comme l'inverse}

d'une transformée de Laplace d'une fonction

f

^{contre une mesure complexe nie}

Π

^.

H = f (S T )

^avec

f (s) = R

C s ^z Π(dz)

^.

Puisdanslasection2.5,nousdonnerons,dansunpremiertemps,danslethèorème2.5.1la

solutionexpliciteauproblèmede couverturevariance-optimaledans lecas où

(S t )

^{est donné}

par un processus à accroissements indépendants

(X t )

^{. Dans un second temps, le théorème}

2.5.2formuleralasolutiondanslecasoù

(S t )

^{est donnéparune} exponentielle deprocessusà accroissements indépendants

(exp(X t ))

^{. Nous établirons ensuite le théorème 2.5.4 donnant}

la valeur explicite de la variancede l'erreur de couverture variance-optimale dans le cas où

(S _t )

^{est donné par une} exponentielle de processus àaccroissements indépendants

(exp(X _t ))

^.

La section 2.6 portera sur l'application des résultats obtenus au cas particulier du

marchéde l'électricité. Eneet, commenous l'avonsvu précédemmentlesprixfuturs

(F _t ^{T d} )

sont donnés par une exponentielle de processus à accroissements indépendants

(X t )

^dénie

pour tout

t ∈ [0, T d ]

^{par (0.3):}

X t = m t + X _t ¹ + X _t ² = m ^T _t ^d + Z t

0

σ s e ^{−λ(T d −s)} dΛ s + σ l W t .

Nousétablironsainsi lesformules explicitesde notresolutionde couverture varianceopti-

male aucas particulier du marché de l'électricité.

Enn, lasection2.7présentera des simulationsnumériquesqui permettront d'illustrer

et d'interpréter nos résultats.

L'approche en temps discret

Le second chapitre cherchera à résoudre le problème de la minimisation de la couverture

variance-optimale en temps discret. Nousintroduironsdans la section 3.2les notions inter-

venant dans la résolution du problème de couverturevariance-optimale. La version discrète

de ladécompositionde Föllmer-Schweizerainsi quelesconditionssusantes àson existence

seront ainsi dénies.

Nous utiliserons ensuite dans la section 3.3la version discrète de la fonction génératrice

cumulativedu processus

(S n ) n=0,1,...,N

^{pour établir la} proposition 3.3.19 donnant laformule explicite de la décomposition discrete de Föllmer-Schweizer dans le cas d'un modèle expo-

nentielde processus à accroissements indépendants.

Dans un troisièmetemps, dans la section 3.4, nous établirons dans le théorème 3.4.1 la

solution explicite du problème de couverture variance-optimale. Le théorème 3.4.3 permet-

tra d'établir la formule explicite donnant la valeur de la variance de l'erreur de couverture

variance-optimale.

Pour nir, la section 3.5 présentera des simulations numériques qui seront articulées

en deux temps.

•

^{Nous nous} intéresserons tout d'abord au cas d'un payo irrégulier (option digitale) avec un sous-jacent suivant un modèle exponentiel de processus à accroissements in-

dépendants et stationnaires. Nous montrerons que le choix d'instants de couverture

"équirépartis" sur

[0, T ]

^{n'est pas forcément optimalauvue du caractère irrégulier du}

payo.

•

^{Puis, dans une seconde partie, nous} travaillerons dans le cas d'un payo plus régulier (optioncalleuropéen) maisavec un sous-jacent suivant un modèleexponentielde pro-

cessus à accroissements indépendants et non plus stationnaires. Le fait d'avoir une

volatilité qui augmente en se rapprochant de la maturité

T

^{de l'option nous perme-}

ttra de montrer que l'erreur de couverture variance-optimale peut être réduite en se

couvrant plus souvent quand nous nous rapprocherons de

T

^.

Une des conclusions des ces simulations sera que dans les deux cas nous arrivons à réduire

l'erreurde couverture variance-optimale en optimisantnos instants de couverture.

Variance-Optimal hedging in continuous

time

This chapteris the objectof the paper [45].

Abstract. For a large class of vanilla contingent claims, we establish an explicit Föllmer-

Schweizerdecompositionwhentheunderlyingisa processwithindependentincrements(PII)

and an exponential of a PII process. This allows to provide an ecient algorithm for solv-

ing the mean variance hedging problem. Applications to models derived from the electricity

market are performed.

Key words and phrases: Variance-optimal hedging, Föllmer-Schweizer decomposition,

Lévy processes, Cumulative generating function, Characteristic function, Normal Inverse

Gaussianprocess, Electricitymarkets, Process with independent increments.

2000 AMS-classication: 60G51,60H05, 60J25, 60J75

JEL-classication: C02, G11, G12, G13

2.1 Introduction

Therearebasicallytwomainapproachestodenethemarkto market ofacontingentclaim:

onerelyingontheno-arbitrageassumption andtheotherrelatedtoahedgingportfolio,those

two approaches converging in the specic case of complete markets. A simple introduction

tothedierenthedgingandpricingmodelsinincompletemarketscanbefound inchapter10

of [22].

Thefundamental theoremof Asset Pricing [26]impliesthat apricingrule withoutarbitrage

thatmoreoversatisessomeusualconditions(linearity,nonanticipativity...) canalwaysbe

writtenas anexpectationunder amartingalemeasure. Ingeneral,the resultingpriceis not

linked withahedgingstrategyexceptinsomespeciccasessuchascompletemarkets. More

precisely, it is proved [26] that the market completeness is equivalent to uniqueness of the

equivalentmartingale measure. Hence, whenthe marketis not complete,there existseveral

equivalent martingale measures (possibly an innity) and one has to specify a criterion to

selectone specicpricingmeasure: torecoversomegiven optionprices(by calibration)[44];

tosimplifycalculus and obtainasimple process underthe pricing measure; tomaintain the

structure of the real world dynamics; to minimize a distance to the objective probability

(entropy [38] ...). In this framework, the diculty is to understand in a practical way the

impactof the choice of the martingale measure on the resultingprices.

If the resulting price is in this case not directly connected to a hedging strategy, yet it is

possible to consider the hedging question in a second step, optimizing the hedging strat-

egy for the given price. In this framework, one approach consists in deriving the hedging

strategy minimizingthe globalquadratic hedgingerror under the pricingmeasure where the

martingale property of the underlying highly simplies calculations. This approach, is de-

veloped in [22],inthe case ofexponential-Lévymodels: theoptimalquadratichedge isthen

expressed as a solution of an integro-dierentialequation involving the Lévy measure. Un-

fortunately,minimizingthe quadratic hedging error under the pricingmeasure has no clear

interpretationsincetheresultinghedgingstrategycanleadtohugequadraticerrorunderthe

objective measure. On the other hand[23]continues this approach,again inthe martingale

framework,providingsome interesting nancialmotivations.

Alternatively, one can dene option prices as a by-product of the hedging strategy. In the

case of complete markets, any option can bereplicated perfectly by a self-nanced hedging

portfoliocontinuously rebalanced, then the option hedgingvalue can be dened as the cost

of the hedgingstrategy. When the marketis not complete, it is not possible, in general,to

hedgeperfectlyanoption. Onehastospecifyriskcriteria,andconsiderthe hedgingstrategy

thatminimizesthedistance (intermsof thegivencriteria)between thepay-oof theoption

and the terminal value of the hedging portfolio. Then, the price of the option is related

to the cost of this imperfect hedging strategy to which is added in practice another prime

relatedto the residual riskinduced by incompleteness.

Several criteria can be adopted. The aim of super-hedging is to hedge all cases. This ap-

proach yields in general prices that are too expensive tobe realistic[32]. Quantilehedging

modiesthisapproachallowingforalimitedprobabilityofloss[34]. Indierenceutilitypric-

ing introduced in [47] denes the price of an option to sell (resp. to buy) as the minimum

initial value s.t. the hedging portfolio with the option sold (resp. bought) is equivalent

(in term of utility) to the initial portfolio. Quadratic hedging is developed in [72], [74]:

the quadratic distance between the hedging portfolioand the pay-o is minimized. Then,

contrarily to the case of utility maximization, losses and gains are treated in a symmetric

manner, whichyields a fair price for both the buyerand the seller of the option.

In this paper, we follow this last approach and our developments can be used in both the

no-arbitrage value and the hedging value framework: either to derive the hedging strategy

minimizingtheglobal quadratic hedgingerror under the objectivemeasure, for agiven pric-

ingrule; ortoderiveboththepriceand thehedgingstrategyminimizingtheglobalquadratic

hedging error under the objective measure.

We spend now some words related to the global quadratic hedging approach which is also

called mean-variance hedging or global risk minimization. Given a square integrable r.v.

H

^{, we say that the pair}

(V ₀ , ϕ)

^{is optimal if}

(c, v) = (V ₀ , ϕ)

^{minimizes the functional}

E 

H − c − R T

0 vdS  2

. The price

V 0

^{represents the price of the contingent claim}

H

^and

ϕ

^{is the optimal strategy.}

Technicallyspeaking,theglobalriskminimizationproblem,isbasedontheso-calledFöllmer-

Schweizerdecomposition(orFSdecomposition)ofasquareintegrablerandomvariable(rep-

resenting thecontingentclaim)withrespecttoan

( F t )

-semimartingale

S = M + A

^modeling

the asset price:

M

^{is an}

( F t )

^{-local martingale and}

A

^{is a bounded variation process with}

A 0 = 0

^. Mathematically, the FS decomposition, constitutes the generalisation of the mar- tingale representation theorem (Kunita-Watanabe representation) when

S

^{is a Brownian}

motionora martingale. Givena square integrablerandomvariable

H

^{,the problemconsists}

inexpressing

H

^as

H 0 + R T

0 ξdS + L T

^where

ξ

^is predictableand

L T

^{is the terminalvalue of}

an orthogonal martingale

L

^to

M

^{, i.e. the martingale part of}

S

^{. The seminal paper is [36]}

where the problem is treatedin the case that

S

^iscontinuous. In the general case

S

^{is said}

to have the structure condition (SC) condition if there is a predictable process

α

^such

that

A t = R t

0 α s d hMi s

^and

R T

0 α ² _s d hMi s < ∞

^{a.s. In the sequel most of} contributions were produced inthe multidimensionalcase. Here for simplicitywe willformulate all the results

in the one-dimensionalcase.

Aninteresting connectionwiththe theoryof backward stochasticdierentialequations(BS-

DEs) in the sense of [62], was proposed in [72]. [62] considered BSDEs driven by Brownian

motion;in [72] the Brownian motionisin factreplaced by

M

^{. The rst authorwho consid-}

ered a BSDE driven by a martingale was [14]. Suppose that

V _t = R t

0 α _s d hMi s

^{. The BSDE}

problemconsists innding a triple

(V, ξ, L)

^where

V t = H −

Z T t

ξ s dM s − Z T

t

ξ s α s d hMi ^s − (L ^T − L ^t ),

and

L

^{is an}

( F t )

^{-localmartingale orthogonal to}

M

^.

In fact, this decomposition provides the solution to the so called local risk minimization

problem,see [36]. In this case,

V t

^{represents the price of the contingent claim at time}

t

^and

the price

V 0

constitutes in fact the expectationunder the so called variance optimal signed measure (VOM). Hence, in full generality, the price

V 0

^{is not guaranteed to be arbitrage-}

free. Incaseofcontinuousprocesses,thevarianceoptimalmeasureisprovedtobenonegative

under a mild no-arbitrage condition [75]. Arai [3] and [2] provides sucient conditions for

the variance-optimal martingale measure to be a probability measure, for discontinuous

semimartingales.

IntheframeworkofFSdecomposition,aprocesswhichplaysasignicantroleistheso-called

meanvariancetradeo(MVT)process

K

^{. Thisnotionisinspiredbythetheoryindiscrete}

time started by [70]; in the continuous time case

K

^{is dened as}

K t = R t

0 α _s ² d hMi ^s , t ∈ [0, T ]

^{. [72] shows the existence of the} mean-variance hedging problem if the MVT process is deterministic. In fact, a slight more general condition was the (ESC) condition and the

EMVTprocessbutwewillnotdiscussherefurtherdetails. Weremarkthatinthecontinuous

case, treated by [36], no need of any condition on

K

^{is required. When the MVT process}

isdeterministic, [72] isable tosolve the global quadraticvariationproblemand providesan

ecient relation,see Theorem 2.5.2 withthe FS decomposition. He alsoshows that, for the

obtention of the mentioned relation,previous condition is not far from being optimal. The

next important step was done in [61] where under the only condition that

K

^{is uniformly}

bounded, the FS decomposition of any square integrable random variable admits existence

and uniqueness and the global minimizationproblemadmits asolution.

Morerecentlyhasappearedanincredible amountofpapers inthe frameworkofglobal(resp.

local)riskminimization,sothatitisimpossibletolistallofthemand itisbeyondour scope.

Two signicantpapers containing a good listof references are [76], [9] and [17].

For the sake of nancial applications, one would like to nd an expression for the FS

decomposition as explicit as possible. We are not interested in generalizing the conditions

underwhichtheFSdecompositionexists. Besides,thenumericalcomputationofBSDE(and

thereforeofFSdecomposition)isarealissueinappliedprobabilityandmathematicalnance.

We recall that Clark-Ocone formula provides an explicit form for the Kunita Watanabe

decomposition (inthe Brownian case). The present paper aims, in the spirit of a simplied

Clark-Oconeformula,atprovidinganexplicitformfortheFSdecompositionforalargeclass

of European payos

H

^{, when the process}

S

^{is a process with} independent increments (PII) or an exponential of PII. In the case of Lévy processes, there are some Clark-Ocone type

formula, but they are in adierentspirit than ours. We acknowledgefor instance [29, 58].

From a practical point of view, this serves to compute eciently the variance optimal

hedgingstrategy which isdirectlyrelated tothe FSdecomposition, sincethe mean-variance

tradeo is for that type of processes deterministic. One major idea proposed by [49] in

the case where the log price is a Lévy process consists in expressing the payo as a linear

combinationof exponential payos for which the variance optimal hedging strategy can be

expressed explicitly. We propose here to use the same idea of using Laplace transforms

representation of payo but to extend the results of [49]to the case of PII and exponential

of PII price processes.

Therst partofthispaperputsemphasisonPII andcontingentclaimsthat areprovided

by some Fourier transform of a nite measure: an original approach is developed to derive

explicit FSdecompositions. The secondpart ofthis paperextendsresults of[49] concerning

exponential of Lévy processes and contingent claims that are Laplace-Fourier transform of

a nite measure to the case of exponential of PII. Restricting assumptions was a leading

issue forthis work. In particular,our resultsdo not requireany assumptionon theabsolute

continuity of the cumulantgenerating function of

log(S t )

^.

One practicalmotivation for considering processes with independent and possibly non sta-

tionary increments came fromhedging problems in the electricity market. Because of non-

storability of electricity, the hedging instrument is in that case, a forward contract with

value

S _t ⁰ = e ^{−r(T d −t)} (F _t ^{T d} − F 0 ^{T d} )

^where

F _t ^{T d}

^{is the forward price given at time}

t ≤ T d

^for

deliveryof1MWhattime

T d

^{. Hence,the dynamicofthe underlying}

S

^{isdirectly relatedto}

the dynamic of forward prices. Now, forward prices are known to exhibit both heavy tails

(especiallyonthe shortterm)andavolatilitytermstructurewhichrequiretheuse ofmodels

with both non Gaussianand non stationary increments.

Thepaperisorganized asfollows. Afterthis introductionand somegeneralitiesabout semi-

martingales,we introducethe notionofFS decompositionand describelocaland globalrisk

minimization. Then, we examine at Section 3 (resp. 4) the explicit FS decomposition for

PII processes (resp. exponential of PII processes). Section 5 is devoted to the solution to

the global minimization problem and Section 6 to the case of a model intervening in the

electricity market. Section 7is devoted to simulations.

2.2 Generalities on semimartingales and Föllmer-Schweizer

decomposition

Inthewholepaper,

T > 0

^{,willbeaxedterminaltimeandwewilldenoteby}

(Ω, F, (F ^t ) _{t∈[0,T ]} , P )

a lteredprobability space, fulllingthe usual conditions.

2.2.1 Generating functions

Let

X = (X t ) t∈[0,T ]

^{bea real valued stochastic process.}

Denition 2.2.1. Thecharacteristicfunction of (the law of)

X _t

^{is thecontinuousmap-}

ping

ϕ X t : R → C

^with

ϕ X t (u) = E[e ^{iuX t} ] .

In the sequel, when there willbe no ambiguity on the underlying process

X

^{, we will use the}

shortened notation

ϕ t

^for

ϕ X t

^.

Denition 2.2.2. Thecumulant generating function of (the law of)

X t

^{is themapping}

z 7→ Log(E[e ^{zX t} ])

^where

Log(w) = log( |w|) + iArg(w)

^where

Arg(w)

^{is the Argument of}

w

^,

chosen in

] − π, π]

^;

Log

^{is the principalvalue logarithm. In particular wehave}

κ _{X t} : D → C

^with

e ^{κ Xt (z)} = E[e ^{zX t} ] ,

where

D := {z ∈ C | E[e ^{Re(z)X t} ] < ∞, ∀t ∈ [0, T ]}

^.

In the sequel, when there will be no ambiguity on the underlying process

X

^{, we will use}

the shortened notation

κ t

^for

κ X t

^.

We observe that

D

^{includesthe imaginaryaxis.}

Remark 2.2.3. 1. For all

z ∈ D

^,

κ t (¯ z) = κ t (z) ,

^where

z ¯

^{denotes the conjugate complex}

of

z ∈ C

^.

2. For all

z ∈ D ∩ R , κ ^t (z) ∈ R .

2.2.2 Semimartingales

An

( F t )

-semimartingale

X = (X t ) t∈[0,T ]

^{is a process of the form}

X = M + A

^{, where}

M

^is

an

( F t )

^{-local martingale and}

A

^{is a bounded variation adapted process vanishing at zero.}

||A|| T

^{will denote the total variation of}

A

^on

[0, T ]

^{. Given two}

( F t )

^{- local} martingales

M

and

N

^,

hM, Ni

^{willdenotetheanglebracketof}

M

^and

N

^{,i.e. the uniquebounded variation}

predictableprocess vanishingatzerosuchthat

MN − hM, Ni

^{is an}

( F ^t )

^-localmartingale. If

X

^and

Y

^are

( F ^t )

-semimartingales,

[X, Y ]

^{denotes the square bracket of}

X

^and

Y

^{, i.e. the}

quadraticcovariationof

X

^and

Y

^{. Inthesequel,ifthereisnoconfusionabouttheunderlying}

ltration

( F ^t )

^{, we willsimply speak about} semimartingales, localmartingales, martingales.

All the local martingales admit a cadlag version. By default, when we speak about local

martingales we always referto their cadlagversion.

More details about previous notions are given inchapter I.1. of [53].

Remark 2.2.4. 1. Allalongthis paper wewillconsider

C

-valuedmartingales(resp. local martingales, semimartingales). Given two

C

-valued local martingales

M ¹ , M ²

^then

M ¹ , M ²

^{are still local} martingales. Moreover

hM ¹ , M ² i = hM ¹ , M ² i .

2. If

M

^{is a}

C

-valued martingale then

hM, Mi

^{isa real valued increasing process.}

Theorem 2.2.5.

(X t ) t∈[0,T ]

^{is a real} semimartingale i the characteristic function,

t 7→

ϕ t (u)

^{, has bounded variation over all nite intervals, for all}

u ∈ R

^.

Denition 2.2.6. An

( F t )

^-special semimartingale isan

( F t )

-semimartingaleX with the decomposition

X = M + A

^{, where}

M

^{is a local martingale and}

A

^{is a bounded variation}

predictable processstarting at zero.

Remark 2.2.7. The decomposition of a special semimartingaleof the form

X = M + A

^is

unique, see [53] denition 4.22.

For any special semimartingaleX we dene

||X|| ² δ ² = E [[M, M] T ] + E ||A|| ² T

.

The set

δ ²

^{is the set of}

( F t )

^-special semimartingale

X

^{for which}

||X|| ² _δ ²

^isnite.

A truncation function dened on

R

is a bounded function

h : R → R

^{with compact}

supportsuch that

h(x) = x

^ina neighbourhood of

0

^.

An important notion, in the theory of semimartingales, is the notion of characteristics,

dened in denition II.2.6 of [53]. Let

X = M + A

^{be a real-valued} semimartingale. A characteristicis a triplet,

(b, c, ν)

^{,depending ona xed truncation function,where}

1.

b

^{is a}predictable process with bounded variation;

2.

c = hM ^c , M ^c i

^,

M ^c

^{beingthecontinuouspart of}

M

^{accordingtoTheoremI.4.18 of[53].}

3.

ν

^isapredictablerandommeasure on

R ⁺ × R

^,namelythe compensatorof the random measure

µ ^X

^{associatedto the jumps of X.}

Givenarealcadlagstochasticprocess

X

^,thequantity

∆X t

^{willrepresentthejump}

X t −X ^t−

^.

2.2.3 Föllmer-Schweizer Structure Condition

Let

X = (X _t ) _{t∈[0,T ]}

^{bea real-valued special} semimartingalewith canonical decomposition,

X = M + A .

For the clarity of the reader, we formulate in dimension one, the concepts appearing in the

literature, see e.g. [72] inthe multidimensionalcase.

Denition2.2.8. Foragivenlocalmartingale

M

^{, thespace}

L ² (M)

^{consistsofall}predictable

R

-valued processes

v = (v t ) t∈[0,T ]

^suchthat

E

Z T

0 |v ^s | ² d hMi s



< ∞ .

Foragivenpredictableboundedvariationprocess

A

^{, thespace}

L ² (A)

^{consistsofall}predictable

R

-valued processes

v = (v _t ) _{t∈[0,T ]}

^suchthat

E

 (

Z T

0 |v ^s |d||A|| ^s ) ²



< ∞ .

Finally, we set

Θ := L ² (M) ∩ L ² (A) .

For any

v ∈ Θ

^{,the stochastic integral process}

G t (v) :=

Z t 0

v s dX s ,

^{for all}

t ∈ [0, T ] ,

is thereforewell-dened and is a semimartingalein

δ ²

^{with canonical} decomposition

G t (v) = Z t

0

v s dM s + Z t

0

v s dA s ,

^{for all}

t ∈ [0, T ] .

We can view this stochastic integral process as the gain process associated with strategy

v

onthe underlyingprocess

X

^.

Denition 2.2.9. The minimization problem we aim to study isthe following.

Given

H ∈ L ²

^{, an admissible strategy pair}

(V 0 , ϕ)

^{will be called optimal if}

(c, v) = (V 0 , ϕ)

minimizes the expected squared hedgingerror

E [(H − c − G ^T (v)) ² ] ,

^(2.1)

overalladmisible strategypairs

(c, v) ∈ R × Θ

^.

V ₀

^{willrepresent theprice of thecontingent}

claim

H

^{at time zero.}

Denition 2.2.10. Let

X = (X t ) t∈[0,T ]

^{be a} real-valued special semimartingale.

X

^{is said}

to satisfy the structure condition (SC) if there is a predictable

R

-valued process

α = (α t ) t∈[0,T ]

^{such that the following properties are veried.}

1.

A _t = R t

0 α _s d hMi s ,

^{for all}

t ∈ [0, T ],

^{so that}

dA  d hMi

^.

2.

Z T 0

α ² _s d hMi s < ∞ , P −

^a.s.

Denition 2.2.11. From now on, we willdenote by

K = (K t ) t∈[0,T ]

^{the cadlag process}

K t = Z t

0

α ² _s d hMi s ,

^{for all}

t ∈ [0, T ] .

This process will be called the mean-variance tradeo (MVT) process.

Remark 2.2.12. In [72], the process

(K t ) t∈[0,T ]

^{is denoted by}

( b K t ) t∈[0,T ]

^.

Lemma 2 of [72] states the following.

Proposition 2.2.13. If

X

^{satises (SC) such that}

E [K T ] < ∞

^{, then}

Θ = L ² (M)

^.

The structure condition (SC) appears quitenaturally inapplicationstonancialmathe-

matics. In fact, it is mildly related to the no arbitrage condition. In fact (SC) is a natural

extension of the existence of an equivalent martingale measure from the case where

X

^is

continuous. Next propositionwillshow that every adapted continuous process X admitting

anequivalent martingalemeasure satises(SC).

Proposition 2.2.14. Let

X

^{be a}

(P, F ^t )

^continuous semimartingale. Suppose the existence of a locallyequivalentprobability

Q ∼ P

^underwhich

X

^isan

(Q, F ^t )

^-localmartingale,then (SC) is veried.

Proof. Let

(D t ) t∈[0,T ]

^{be the strictly positivecontinuous}

Q

^{-localmartingalesuch that}

dP = D T dQ

^{. By Theorem VIII.1.7 of [65],}

M = X − hX, Li

^{is a continuous}

P

^-localmartingale, where

L

^{isthe continuous}

Q

^{-localmartingaleassociated tothe density process i.e.}

D t = exp {L t − 1

2 hLi t } ,

^forall

t ∈ [0, T ] .

According toLemma IV.4.2in [65], thereis aprogressivelymeasurable process

R

^{such that}

for all

t ∈ [0, T ]

^,

L _t =

Z t 0

R _s dX _s + O _t

^and

Z T

0

R ² _s d hXi s < ∞ , Q −

^a.s.

,

where

O

^isa

Q

^{-localmartingale suchthat}

hX, Oi = 0

^{. Hence,}

hX, Li ^t =

Z t 0

R s d hXi ^s

^and

X t = M t + Z t

0

R s d[X] s ,

^{for all}

t ∈ [0, T ].

Weend the proof by setting

α t = d hX, Li ^t d hXi t

= R t .

2.2.4 Föllmer-Schweizer Decomposition and variance optimalhedg-

ing

Throughoutthis section,asinSection2.2.3,

X

^{issupposedtobean}

( F t )

^-specialsemimartin- gale fulllingthe (SC) condition.

We recallhere the denition statedin Chapter IV.3 p. 179 of [63].

Denition2.2.15. Two

( F t )

-martingales

M, N

^{are saidtobestrongly orthogonal if}

MN

is a uniformly integrable martingale.

Remark 2.2.16. If

M, N

^{are strongly} orthogonal, then they are (weakly) orthogonal in the sence that

E [M T N T ] = 0 .

Lemma2.2.17. Let

M, N

^{betwosquareintegrable}martingales. Then

M

^and

N

^arestrongly

orthogonal if and only if

hM, Ni = 0

^.

Proof. Let

S(M)

^{be the stable subspace generated by M.}

S(M)

^{includes the space of mar-}

tingalesof the form

M _t ^f :=

Z t 0

f (s)dM s ,

^{for all}

t ∈ [0, T ] ,

where

f ∈ L ² (dM)

^isdeterministic. AccordingtoLemmaIV.3.2of[63],itisenoughtoshow that, forany

f ∈ L ² (dM)

^,

g ∈ L ² (dN)

^,

M ^f

^and

N ^g

^{areweaklyorthogonal inthe sense that}

E [M _T ^f N _T ^g ] = 0

^{. This is clearsince previous} expectation equals

E [

M ^f , N ^g 

T ] = E

Z T 0

f gd hM, Ni



= 0

if

hM, Ni = 0

^{. This shows the converse} implication.

The direct implicationfollows from the factthat

MN

^{is a} martingale,the denition of the angle bracket and uniqueness of special semimartingaledecomposition.

Denition 2.2.18. We say that a random variable

H ∈ L ² (Ω, F, P )

^{admits a Föllmer-}

Schweizer (FS) decomposition, if it can be written as

H = H 0 + Z T

0

ξ _s ^H dX s + L ^H _T , P − a.s. ,

^(2.2)

where

H 0 ∈ R

^{is a constant,}

ξ ^H ∈ Θ

^and

L ^H = (L ^H _t ) t∈[0,T ]

^{isa square integrable}martingale, with

E [L ^H ₀ ] = 0

^{and strongly orthogonalto}

M

^.

We formulate forthis sectionone basic assumption.

Assumption 1. Weassume thatX satises(SC) andthatthe MVT process

K

^isuniformly

bounded in

t

^and

ω

^.

The rst result below gives the existence and the uniqueness of the Föllmer-Schweizer

decomposition for a random variable

H ∈ L ² (Ω, F, P )

^{. The second arms that subspaces}

G T (Θ)

^and

{L ² ( F 0 ) + G T (Θ) }

^{are closed subspaces of}

L ²

^{. The lastone provides existence}

and uniqueness of the solution of the minimization problem (2.1). We recall Theorem 3.4

of [61].

Theorem 2.2.19. Under Assumption 1, every random variable

H ∈ L (Ω, F, P)

^{admits a}

FS decomposition. Moreover,

H 0 ∈ R

^,

ξ ∈ L ² (M)

^and

L T

^{is uniquely determined by}

H

^.

We recallTheorem 4.1 of [61].

Theorem 2.2.20. Under Assumption 1, the subspaces

G T (Θ)

^and

{L ² ( F ⁰ ) + G T (Θ) }

^are

closed subspaces of

L ²

^.

So we can project any random variable

H ∈ L ²

^on

G T (Θ)

^{. By Theorem 2.2.19, we}

have the uniqueness of the solution of the minimization problem (2.1). This is given by

Theorem 4.6of [61], which isstated below.

Theorem 2.2.21. We suppose Assumption 1.

1. For every

H ∈ L ² (Ω, F, P )

^andevery

c ∈ L ² ( F 0 )

^{, there exists a unique strategy}

ϕ ^(c) ∈ Θ

^{such that}

E [(H − c − G T (ϕ ^(c) )) ² ] = min

v∈Θ

E [(H − c − G T (v)) ² ] .

^(2.3)

2. For every

H ∈ L ² (Ω, F, P)

^{there exists a unique}

(c ^(H) , ϕ ^(H) ) ∈ L ² ( F 0 ) × Θ

^{such that}

E [(H − c ^(H) − G T (ϕ ^(H) )) ² ] = min

(c,v)∈L ² (F 0 )×Θ

E [(H − c − G T (v)) ² ] .

From Föllmer-Schweizer decomposition follows the solution to the global minimization

problem(2.1). Next theorem givesthe explicitform of the optimalstrategy.

Theorem 2.2.22. Suppose that X satisies (SC) and that the MVT process

K

^{of X is}

deterministic and let

α

^{be the process appearing in Denition 2.2.10 of (SC). Let}

H ∈ L ²

with FS-decomposition(2.2).

1. For any

c ∈ R

^{, the solutionof the} minimizationproblem (2.3)veries

ϕ ^(c) ∈ Θ

^{for any}

c ∈ R

^{, such that}

ϕ ^(c) _t = ξ _t ^H + α _t 1 + ∆K t

(H t− − c − G t− (ϕ ^(c) )) ,

^{for all}

t ∈ [0, T ]

^(2.4)

where the process

(H t ) t∈[0,T ]

^{isdened by}

H t := H 0 + Z t

0

ξ _s ^H dX s + L ^H _t .

^(2.5)