DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI FISICA MATEMATICA
CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA MECCANICA
DANIELE ANDREUCCI
DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L’INGEGNERIA UNIVERSIT`A LA SAPIENZA
VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY
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1. Gioved`ı 21/10/2010 Presentazione del corso.
Equazione del calore: derivazione dall’ipotesi di Fourier. Legge di Fick ed equazione della diffusione.
Equazione della corda vibrante.
Equazione delle onde in pi`u dimensioni.
Per casa 1.1. Verificare che f (x − ct) e g(x + ct) sono soluzioni
dell’equazione delle onde.
Paragrafi di riferimento sul testo: 1.1, 1.4.
2. Luned`ı 25/10/2010 Il Principio di Dirichlet.
L’equazione di Laplace come caso stazionario dell’equazione delle onde e del calore.
Problemi al contorno. Necessit`a di specificare il dominio di definizione della soluzione.
Natura dei dati per l’equazione di Laplace, e per le equazioni di evoluzione.
Soluzioni per variabili separabili in dimensione spaziale 1.
Paragrafi di riferimento sul testo: 1.3, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 3.1.
3. Mercoled`ı 27/10/2010
Soluzioni per variabili separabili dell’equazione delle onde. Onde stazionarie, armoniche, nodi.
Onde stazionarie come soluzioni del problema di Cauchy e di problemi al contorno.
Teorema 3.1. Le soluzioni dell’equazione delle onde in dimensione spaziale uno (definite in un rettangolo) sono della forma
u(x, t) = f (x − ct) + g(x + ct) . Esercizio 6/300.
Laplaciano per funzioni radiali.
Paragrafi di riferimento sul testo: 2.4, 3.1, 3.2, 3.3.
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4. Gioved`ı 28/10/2010
Dimostrazione della rappresentazione della soluzione del problema di Cauchy per l’equazione delle onde in dimensione 1 mediante la formula di D’Alembert.
Esercizi 5/300, 1,2/310.
Integrali di funzioni continue su intervalli illimitati.
Paragrafi di riferimento sul testo: 10.1.
5. Mercoled`ı 3/11/2010
Analisi del comportamento della formula di D’Alembert per dati iniziali funzioni caratteristiche dell’intervallo (a, b).
Problemi di Neumann e di Dirichlet per le equazioni di Laplace e del calore.
Condizione necessaria per l’esistenza di soluzioni del problema di Neumann per l’equazione di Laplace.
Principi di massimo e di minimo per l’equazione di Laplace.
Paragrafi di riferimento sul testo: 2.2, 2.3, 2.8, 4.1.
6. Gioved`ı 4/11/2010
Principi di massimo e di minimo per l’equazione del calore.
Principi di massimo forte per le equazioni di Laplace e del calore.
Esercizi: 11,13/430; 4/420.
Reversibilit`a dell’equazione delle onde e irreversibilit`a dell’equazione del calore; ossia, con il cambiamento di variabile t 7→ −t l’equazione delle onde rimane invariata, mentre quella del calore no.
Paragrafi di riferimento sul testo: 4.1, 4.3.
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7. Luned`ı 8/11/2010
Tentativo di risoluzione per separazione di variabili di problemi al contorno per l’equazione del calore e quella delle onde.
Autofunzioni del laplaciano; autovalori.
Calcolo delle autofunzioni per il problema di Dirichlet in dimensione 1.
Teorema 7.1. Gli autovalori dei problemi di Neumann e di Diri- chlet sono non negativi. L’autovalore nullo esiste solo nel problema di Neumann.
Identit`a di Green.
Teorema 7.2. Autofunzioni (per lo stesso problema) con autovalori diversi sono ortogonali, nel senso che
Z
Ω
ϕ1ϕ2 = 0 . Confronto con il caso delle matrici.
Lemma di Hopf, e lemma di Hopf parabolico.
Esercizio 7.3. 6/420 (versione con dati di Dirichlet nulli): metodo
delle soprasoluzioni.
Per casa 7.4. 6/420 (versione con dati misti nulli). Paragrafi di riferimento sul testo: 1.6, 4.5, 4.6, 5.1, 5.2.
8. Mercoled`ı 10/11/2010
Calcolo delle autofunzioni per il problema di Neumann in dimensione 1.
Sviluppi in serie di autofunzioni di soluzioni di e.d.p. non omogenee, ma con dati al bordo omogenei: significato e uso delle condizioni al bordo per le autofunzioni.
Problemi di Cauchy per e.d.o. che determinano i coefficienti dello sviluppo in serie.
Questione della sviluppabilit`a di una funzione qualunque in serie di autofunzioni.
Esercizio 8.1. 6/420 (anche versione con dati misti nulli, uso del
lemma di Hopf), 20/470.
Paragrafi di riferimento sul testo: 5.3.
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9. Gioved`ı 11/11/2010
Teorema dell’energia per l’equazione del calore (Teorema 6.5).
Applicazioni all’unicit`a di soluzioni e alla dipendenza continua.
Definizione di prodotto scalare e norma in L2(I).
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e triangolare.
Disuguaglianza |kfk − kgk| ≤ kf − gk.
Convergenza in L2(I) di successioni e serie.
Continuit`a del prodotto scalare rispetto alla convergenza in L2(I).
Definizione di funzioni ortogonali.
Funzioni ortogonali sono linearmente indipendenti.
Lo spazio L2(I) ha dimensione infinita.
Esercizio 9.1. 9/480; 1/490 (problema a frontiera libera per il
cambiamento di fase).
Paragrafi di riferimento sul testo: 6.2, 7.1, 7.2.
10. Luned`ı 15/11/2010
Confronto del metodo di Fourier con la costruzione di integrali generali per sistemi di e.d.o. mediante autovettori e autovalori.
Definizione di sistemi ortonormali {ϕn} e di di sistemi ortonormali completi.
Problema di determinare la migliore approssimazione di f nella forma
k
X
n=1
cnϕn, e scelta dei cn = (f, ϕn).
Disuguaglianza di Bessel.
Identit`a di Parseval come criterio necessario e sufficiente per la completezza.
Sistema dei seni, dei coseni e di Fourier.
Esempio di risoluzione di un problema ai valori iniziali e al contorno per serie di Fourier; importanza della scelta del sistema ortonormale con le giuste condizioni al contorno.
Esercizio: 23/480.
Paragrafi di riferimento sul testo: 7.3, 7.4.
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11. Gioved`ı 18/11/2010
Un sistema ortonormale `e completo se e solo se per ogni f e g (f, g) =
∞
X
n=1
(f, ϕn)(g, ϕn) .
Se il sistema di Fourier `e completo lo sono anche il sistema dei seni e quello dei coseni.
Trasformazioni di sistemi ortonormali da un intervallo all’altro.
Esercizio 7/610 (varie versioni): riflessioni intorno a uno degli estremi.
Paragrafi di riferimento sul testo: 7.4, 8.1, 8.2, 8.3.
12. Mercoled`ı 24/11/2010 Il fenomeno di Gibbs.
Sviluppi di funzioni regolari in serie di Fourier.
Esercizi sul metodo di Fourier.
Paragrafi di riferimento sul testo: 8.4, 8.5.
13. Gioved`ı 25/11/2010
Se {ϕn} [risp. {ψm}] `e completo in L2(I) [risp. L2(J)], allora {ϕnψm}
`e completo in L2(I × J). ((s.d.))
Sistemi ortonormali di autofunzioni del laplaciano in dimensione N >
1: il caso di Ω prodotto di intervalli e il caso generale.
Esercizi sul metodo di Fourier per l’equazione di Laplace.
Paragrafi di riferimento sul testo: 8.7, 9.1.
14. Luned`ı 29/11/2010 Sospensione della didattica decisa dalla Facolt`a.
15. Mercoled`ı 1/12/2010
Soluzioni dell’equazione di Laplace a variabili separate in coordinate polari.
Metodo di Fourier per l’equazione di Laplace in coordinate polari.
Esercizi sul metodo di Fourier in dimensione spaziale 2.
Paragrafi di riferimento sul testo: 3.2, 9.4.
16. Gioved`ı 2/12/2010
Autofunzioni del laplaciano nel cerchio; funzioni di Bessel.
Esercizi sul metodo di Fourier in dimensione spaziale 2: 1/615.
Paragrafi di riferimento sul testo: 9.5.
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17. Luned`ı 6/12/2010
La formula di Poisson nel cerchio come conseguenza della rappresenta- zione per serie della soluzione.
Nuclei di approssimazione. Il teorema fondamentale: la convoluzione di una funzione integrabile e limitata con una famiglia ϕλ di nuclei di approssimazione approssima il valore della funzione, nei punti di continuit`a, per λ → 0.
Paragrafi di riferimento sul testo: 9.4, 11.1.
18. Gioved`ı 9/12/2010 Continuit`a di
u(x, λ) =
f ∗ ϕλ(x) , λ > 0 , f (x) , λ = 0 , fino su λ = 0. (s.d.)
La δ di Dirac come limite dei nuclei di approssimazione.
Formula di rappresentazione della soluzione dell’equazione di Laplace nel semispazio.
Teorema di esistenza e unicit`a della soluzione limitata del problema nel semispazio per l’equazione di Laplace.
Teorema 18.1. Se u `e la soluzione limitata del problema nel semispazio per l’equazione di Laplace, con dato u0, allora:
m ≤ u0 ≤ M =⇒ m ≤ u ≤ M ;
Z
R
|u0| < ∞ =⇒ |u(x, y)| ≤ C yN . Esercizi 6, 17, 21/530.
Paragrafi di riferimento sul testo: 11.1, 11.2.
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19. Luned`ı 13/12/2010
Il problema di Cauchy per l’equazione del calore. La formula di rappresentazione, la soluzione fondamentale.
Comportamento asintotico di soluzioni con dato iniziale integrabile:
Teorema 19.1. Se u `e la soluzione limitata del problema di Cauchy per l’equazione del calore, con dato u0, allora:
m ≤ u0 ≤ M =⇒ m ≤ u ≤ M ;
Z
R
|u0| < ∞ =⇒ |u(x, t)| ≤ C tN/2 .
Il moto browniano e l’equazione della diffusione: derivazione di Ein- stein. Il significato probabilistico della diffusivit`a e della soluzione fon- damentale. Spostamento medio in un intervallo (0, t) proporzionale a
√t.
Paragrafi di riferimento sul testo: 11.3, 1.2.
20. Mercoled`ı 15/12/2010 Propriet`a qualitative dell’equazione del calore:
Propagazione con velocit`a infinita.
Diffusione della massa come √ t.
Effetto regolarizzante.
Esercizi: 7,29/520
Paragrafi di riferimento sul testo: 11.4.
21. Luned`ı 20/12/2010
Confronto tra l’equazione della diffusione e un cammino aleatorio su una griglia discreta.
La formula di Kirchhoff per la soluzione del problema di Cauchy per l’equazione delle onde in dimensione N = 3; commenti qualitativi.
Paragrafi di riferimento sul testo: 10.2.
22. Mercoled`ı 22/12/2010
Il metodo della discesa. La formula di Poisson per la soluzione del problema di Cauchy per l’equazione delle onde in dimensione N = 2;
commenti qualitativi.
Il principio di Duhamel. Applicazione all’equazione delle onde in dimensione N = 1 e N = 3, e all’equazione del calore.
Esercizi: 1/315, 1/350.
Paragrafi di riferimento sul testo: 10.3, 12.1, 12.2, 12.3.
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23. Luned`ı 10/1/2011
Stima dell’energia per l’equazione delle onde omogenea (senza dimo- strazione). Applicazioni all’unicit`a e alla dipendenza continua dai dati.
Stima dell’energia per l’equazione del calore non omogenea (con di- mostrazione). Applicazione alla convergenza nel senso L2 delle serie ottenute con il metodo di Fourier alla soluzione del problema ai valori iniziali e al contorno.
Esercizio: 22/630.
Paragrafi di riferimento sul testo: 6.1, 6.2, 9.1.
24. Mercoled`ı 12/1/2011 Trasformata di Fourier: definizione e propriet`a.
Calcolo del nucleo integrale della formula di rappresentazione per il problema per l’equazione di Laplace nel semipiano.
Esercizi: 2/820.
Paragrafi di riferimento sul testo: 14.1, 14.2, 14.3.
25. Gioved`ı 13/1/2011 Trasformata di Laplace: definizione e propriet`a.
Uso della trasformata di Laplace per risolvere problemi di Cauchy per le equazioni differenziali ordinarie.
Esercizi: 1,4/960, 2/810, 1/525.
Paragrafi di riferimento sul testo: 15.1, 15.2, 15.3.
26. Mercoled`ı 19/1/2011
Uso della trasformata di Laplace per risolvere problemi per l’equazio- ne del calore: problema di Cauchy, problemi in un quarto di piano, problemi in una striscia.
Esempio di adimensionalizzazione del problema:
ut− Duxx = 0 , x > 0, t > 0 , ux(0, t) = αu(0, t) + β , t > 0 ,
u(x, 0) = 0 , x > 0 .
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27. Gioved`ı 20/1/2011 L’operatore bilaplaciano ∆2:
Autovalori e autofunzioni per il il bilaplaciano.
Soluzioni a variabili separabili in R2.
Il metodo di Fourier in un rettangolo, con condizioni u = 0, uxx = 0 sui bordi.
[Nel seguito la sigla APS indica il testo:
A.P.S. Selvadurai, The biharmonic equations, Poisson’s equations.
(Partial differential equations in mechanics 2), Springer, 2000]
Paragrafi di riferimento sul testo: APS pag. 339–344, 351–353.
28. Luned`ı 24/1/2011 Varie condizioni al bordo per il bilaplaciano (in R2).
Soluzione polinomiale dei problemi
∆2u = 0 , |x| < a/2 , |y| < b/2 , uxx+ νuyy = λ , x = ±a/2 ,
νuxx+ uyy = µ , y = ±b/2 , uxy = λ ∈ R , sulla frontiera;
e
∆2u = 0 , |x| < a/2 , |y| < b/2 , uxx = uyy = 0 , sulla frontiera;
uxy = λ ∈ R , sulla frontiera.
Soluzione per serie del problema con carico concentrato
∆2u = f (x)δ(y) , 0 < x < π , −∞ < y < ∞ u = uxx = 0 , x = 0, π ,
u(x, y) → 0 , per |y| → ∞.
Paragrafi di riferimento sul testo: APS, pag. 332–339, 353–357.
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29. Mercoled`ı 26/1/2011
Teorema: se u `e armonica, allora u, xu, yu, (x2+y2)u sono biarmoniche.
Il bilaplaciano per funzioni radiali.
Soluzione polinomiale del problema
∆2u = P0 ∈ R , r < a u(a) = 0 ,
ur(a) = 0 . Soluzione del problema singolare
∆2u = 2P0δ(x, y) , r < a u(a) = 0 ,
ur(a) = 0
mediante la soluzione ‘fondamentale’ r2ln r.
Paragrafi di riferimento sul testo: APS, pag. 187–188, 305–312.
30. Gioved`ı 27/1/2011 Esercizi di ricapitolazione:
6/470, 17/420, 17/520, 17/610.
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