DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA II 2015-2016 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA GESTIONALE

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DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA II 2015-2016

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA GESTIONALE

DANIELE ANDREUCCI

DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L’INGEGNERIA UNIVERSITÀ LA SAPIENZA

VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY

Le dimostrazioni fanno parte del programma, salvo quando viene esplicitamente indicato il contrario con il simbolo (s.d.).

I paragrafi indicati con AM sono riferiti alla seconda edizione di M.Bertsch, R.Dal Passo, L.Giacomelli, Analisi Matematica

mentre quelli indicati con EDO (o non altrimenti segnalati) sono riferiti alla versione del 2015-09-10 delle Note su Equazioni Differenziali Ordinarie presente sul sito del corso.

Gli esercizi indicati nella forma n/m (esercizio n del gruppo m) sono riferiti alla versione del 2015-09-10 degli Esercizi d’esame e di controllo reperibili sul sito del corso, mentre quelli indicati con AB sono riferiti al testo

D.Andreucci, A.M. Bersani, Risoluzioni di problemi d’esame di Analisi Matematica II

Le lezioni quando non indicato altrimenti sono state svolte dal docente responsabile del corso, prof. Daniele Andreucci. Il dott. Francesco Sisti è codocente del corso.

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1. Lunedì 21/9/2015

Presentazione del corso.

Equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie (e.d.o.).

Soluzioni locali di e.d.o..

Esempio 1.1. Il problema

y⁰= f (y) , y(0) = 0 , con

f (y) =

− 1 , y ≥ 0 , 1 , y < 0 ,

non ha soluzioni.

Definizione di soluzione locale del problema di Cauchy y⁰ = F (t, y) , y(α) = β , con F ∈ C (K), K = Ih× Bk.

Esempio 1.2. Risoluzione per separazione di variabili del problema y⁰= y²+ 1 , y(0) = 0 .

Discussione dell’intervallo di definizione per Ih= [−90, 110], Bk = [−19, 21]. Per casa 1.3. Trovare tutte le soluzioni delle e.d.o.

y⁰= t

ye^y+ e^y , y⁰= e^y².

Per casa 1.4. Trovare tutte le soluzioni dei sistemi

x˙1= −x2, x˙₂= x1;

x˙1= x2, x˙₂= −x1;

x˙1= x2, x˙₂= x1.

Per casa 1.5. 1/270.

Paragrafi di riferimento sul testo: EDO 1.1; AM 17.0.

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2. Mercoledì 23/9/2015

Lemma 2.1. (Disuguaglianza di Gronwall) Sia y ∈ C¹([α1, α2]).

Se vale

|y⁰| ≤ λ(|y| + σ) , in [α1, α2], con λ ≥ 0, σ ≥ 0 costanti, allora

|y(t)| + σ ≤ e^λ|t−a|(|y(a)| + σ) , per ogni α1≤ a, t ≤ α2. (2.1) Definizione di funzione lipschitziana in una variabile (vettoriale).

Teorema 2.2. Siano y(·; a, b) e y(·; α, β) due soluzioni locali dei corrispondenti problemi di Cauchy. Allora, se tali soluzioni sono definite entrambe (almeno) su un intervallo J , a, α ∈ J , si ha

|y(t; a, b) − y(t; α, β)| ≤ e^L|t−a| |b − β| + M |a − α| , ∀t ∈ J . Qui L è la costante di Lipschitz e M è il maggiorante di F .

Corollario 2.3. (Unicità) Siano u e v due soluzioni locali dello stesso problema di Cauchy. Valga la condizione di Lipschitz per F . Allora u ≡ v nell’intervallo intersezione dei domini di definizione di u e v.

Esercizio 2.4. Risoluzione delle equazioni y⁰= t

ye^y+ e^y, y⁰= t

ye^y+ y, y⁰ = e^y², e del sistema

x˙1= −x2,

˙

x₂= x₁;

Per casa 2.5. AB 4.11, 4.17.

Paragrafi di riferimento sul testo: EDO 1.2, 1.3; AM 17.2.

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3. Venerdì 25/9/2015

Funzioni vettoriali: limiti, continuità, derivabilità e integrabilità definiti per componenti.

Teorema 3.1. Valgono:

t→tlim₀y(t) = y0 ⇔ lim

t→t₀|y(t) − y0| = 0 ; d

dt[y(t) · z(t)] = y⁰(t) · z(t) + y(t) · z⁰(t) ; y ∈ C (J ) con J compatto ⇒ |y(t)| ≤ M , t ∈ J .

Successioni di Cauchy in R^N; una successione di punti di R^N converge se e solo se è di Cauchy.

Esempio 3.2. La curva

y(t) =( (t², 0) , − 1 < t ≤ 0 , (0, t²) , 0 < t < 1 ,

ha un punto angoloso nell’origine nonostante che y ∈ C¹((−1, 1)). Esercizio 3.3. AB 4.11,

1/270.

Paragrafi di riferimento sul testo: AM 12.1, 17.1.

4. Lunedì 28/9/2015

(dott. Francesco Sisti) Richiami su funzioni di più variabili.

Generalità: Funzioni di più variabili, Insiemi di Livello . Definizione in R²: Data f : R²→ R

Ic(f ) = {(x, y) ∈ R²| f (x, y) = c } con c ∈ R, Esempi in R².

Curve in R², Rappresentazione Parametrica, Rappresentazione Cartesiana. Esem- pi. Vettore tangente ad una curva.

Ricavare il vettore normale a partire dal vettore tangente, Esempi.

Insiemi di livello in Rⁿ , Data f : Rⁿ → R

Ic(f ) = {x ∈ Rⁿ | f (x) = c}

con c ∈ R. Insiemi di livello I^c(f ) al variare di c.

Restrizione di una funzione di 2 variabili f (x, y) su di una curva γ.

Semplici esempi iniziali: Andamento della restrizione f (γ(t)) con γ(t) = (t, 0), γ(t) = (t, −t).

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Formulazione del problema con ritardo r > 0

z⁰(t) = F (t, z(t − r)) , z(t) = b , a − r ≤ t ≤ a .

Lemma 5.1. Il problema con ritardo ha un’unica soluzione in [a, a + δ], ove

δ = min h, k

M

. Dimostrazione e commenti sulla disuguaglianza

b

Z

a

F (t) dt

≤

b

Z

a

|F (t)| dt ,

per F integrabile, F : [a, b] → R^N.

Esercizio 5.2. 1/620, 8/480.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.2.

6. Venerdì 2/10/2015

(dott. Francesco Sisti) Limiti, Continuità.

Confronto tra Limiti in R e Limiti in R². Definizione di limite in Rⁿ.

Definizione di continuità in Rⁿ.

Limite per f (x, y) ristretta ad una curva,

condizioni per dimostrare la non esistenza del limite.

Coordinate circolari.

Teorema del confronto per limiti in Rⁿ. Esempio f (x, y) = ^2x²^+2y_x2+y²^−3xy² .

Maggiorazioni di funzioni in R² tramite l’uso di coordinate circolari.

Esempi.

Condizione dell’esistenza di limite. Esempi.

7. Lunedì 5/10/2015

(dott. Francesco Sisti) Teorema su esistenza del Limite*

Paragrafi di riferimento sul testo: AM 10.3.

Richiamo retta tangente, derivate in R¹. Derivate Parziali in R²; Rⁿ.

Richiamo differenziabilità in R¹. Inizio Differenziabilità in R². Esempi.

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Teorema 8.1. Il problema di Cauchy

y⁰ = F (t, y) , y(a) = b , ha soluzione in [a − δ, a + δ], ove

δ = min h, k

M

.

Esercizio 8.2. 18/650.

Equazioni del tipo

y⁰= fy x

, x 6= 0 . Cambiamento di variabile

u = y x,

e riduzione dell’equazione al tipo a variabili separabili.

Per casa 8.3. 4, 10/260, 3/280, 25/650.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.3; AM 17.2, 17.3.

9. Venerdì 9/10/2015

Problemi di Cauchy per F : Ω → R^N, con Ω ⊂ R^{N +1} aperto. Funzioni localmente lipschitziane.

Definizione di soluzione massimale del problema di Cauchy.

Lemma 9.1. Due soluzioni dello stesso problema di Cauchy coincidono nell’intervallo comune di definizione.

Lemma 9.2. Se z è soluzione dell’e.d.o., definita in (t₀, t₁], t₁< ∞, allora esiste una soluzione ˜z definita in (t₀, t₁+ σ) per un σ > 0 opportuno tale che z ≡ ˜z in (t₀, t₁].

Teorema 9.3. (s.d.) Esiste unica soluzione massimale del problema di Cauchy; il suo intervallo di definizione è aperto.

Esercizio 9.4. AB 4.43.

Per casa 9.5. AB 4.21, 4.34, 4.51.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.3, 1.4; AM 17.2.

10. Lunedì 12/10/2015

(dott. Francesco Sisti) Differenziabilità di funzioni con due variabili.

Teorema 10.1. Una fuzione differenziabile ammette derivate parziali prime.

Piano tangente.

Esercizio sul piano tangente.

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11. Mercoledì 14/10/2015

Teorema 11.1. Una soluzione massimale definita in (σ, Σ) esce definitivamente da qualunque compatto per t → Σ−.

Corollario 11.2. 1) (Ω limitato) Se Σ < +∞, per t → Σ− vale dist (t, y(t)), ∂Ω → 0 .

2) (Ω = (r, s) × R^N) Se Σ < s allora |y(t)| diviene illimitato per t → Σ−.

Teorema 11.3. Se |F (t, y)| ≤ K|y| allora la soluzione massimale è limitata in ogni intervallo finito in cui è definita.

Esercizio 11.4. 1/400, 1/430.

Per casa 11.5. 2/200, 2/430, 3/440.

12. Venerdì 16/10/2015

(dott. Francesco Sisti) Derivate seconde di f : R^N → R.

Richiamo teorema di Schwartz.

Esempio.

Estremi locali, Estremi globali, Punti Critici: Teorema di Fermat; dimostrazione del teorema in R².

Esempio svolto.

13. Lunedì 19/10/2015

(dott. Francesco Sisti) Funzioni composte di più variabili.

Derivata totale di funzione composta in più variabili.

Curve e superfici in forma implicita.

Il gradiente in un punto di una curva F (x, y) = 0 è normale alla curva stessa in quel punto; dimostrazione.

Normale ad una superficie F (x, y, z) = 0, senza dimostrazione.

Funzione di due variabili z = f (x, y) come caso particolare di F (x, y, z) = 0 e sua normale.

Paragrafi di riferimento sul testo: AM 11.1-12.5.

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14. Mercoledì 21/10/2015

Sistemi lineari di e.d.o..

Le soluzioni sono definite globalmente (ossia nell’intervallo J ove sono definiti e continui i coefficienti).

C¹(J ) come spazio vettoriale.

Teorema 14.1. Combinazioni lineari di soluzioni sono ancora soluzioni.

Corollario 14.2. L’insieme S delle soluzioni è un sottospazio vettoriale di C¹(J ).

Concetto di lineare indipendenza in S.

Teorema 14.3. {y_i} ⊂ S è linearmente indipendente in S se e solo se {yi(t₀)} ⊂ R^N è linearmente indipendente come sottoinsieme di R^N.

Esercizio 14.4. Studio delle orbite del sistema x⁰₁= tx₂, x⁰₂= −tx₁.

Esercizio 14.5. 1/350.

Per casa 14.6. 2/350; 1/360.

Risoluzione del sistema

x⁰₁= tx₂, x⁰₂= −tx₁.

Paragrafi di riferimento sul testo: 2.1, AM 17.6.

15. Venerdì 23/10/2015

(dott. Francesco Sisti) Sviluppo di Taylor al II ordine con resto di Lagrange.

Dimostrazione dello sviluppo con resto di Lagrange.

Sviluppo al II Ordine con resto di Peano, motivazione senza dimostrazione.

Matrice Hessiana

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16. Lunedì 26/10/2015

Teorema 16.1. Le N soluzioni corrispondenti agli N problemi di Cauchy con dati iniziali assegnati come una base di R^N sono una base di S.

Corollario 16.2. dim S = N .

Integrale generale del sistema differenziale lineare.

Definizione di matrice risolvente.

Lemma 16.3. Il prodotto di una matrice risolvente per una matrice quadrata non singolare è ancora una matrice risolvente.

Teorema 16.4. Se Y(t) è una matrice risolvente allora Φ(t, t₀) = Y(t)Y(t₀)⁻¹ ha la proprietà che Φ(t, t₀)u₀ risolve il problema di Cauchy con dato u₀.

Definizione di matrice risolvente canonica (o di transizione).

Esercizio 16.5. Risoluzione del sistema

x⁰₁= tx₂, x⁰₂= −tx₁, e calcolo della matrice di transizione in t = 0.

2/430.

Per casa 16.6. 4/430.

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17. Mercoledì 28 ottobre

Sistemi di e.d.o. lineari a coefficienti costanti y⁰= Ay.

Proposizione 17.1. Se Av = λv allora e^λtv è soluzione.

Corollario 17.2. Se A ha una base di autovettori vi di autovalori λi, allora la matrice che ha per colonne e^λⁱ^tvi è risolvente.

La matrice esponenziale e^tA. Teorema 17.3. (s.d.) La matrice

e^tA=

∞

X

i=0

(tA)ⁱ i!

è definita per ogni A e t. Inoltre d

dte^tA= Ae^tA.

Giustificazione formale della formula di derivazione (derivazione per serie).

Se v è un autovettore di autovalore λ si ha e^tAv = e^λtv.

Teorema 17.4. e^tA è la matrice di transizione in t = 0.

La matrice di transizione in t = t0 è e^(t−t⁰^)A.

Esercizio 17.5. 2/550; 2/360.

Per casa 17.6. 3/360.

AB 4.13, 4.39, 4.51.

Trovare l’integrale generale di y⁰ = Ay, ove

A =





1 −1 4

3 2 −1

2 1 −1



.

18. Venerdì 30/10/2015

(dott. Francesco Sisti) Sviluppo intorno ai punti critici per loro classificazione.

Forme quadratiche, classificazione forme quadratiche.

Diagonalizazione delle forme quadratiche per la loro classificazione.

Teorema 18.1. Se la forma quadratica associata alla matrice Hessiana nel punto critico x₀ è definita positiva (negativa) allora x₀ è di minimo (massimo) locale forte; se è indefinita è punto di Sella.

Cenni della dimostrazione.

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19. Lunedì 2/11/2015

(dott. Francesco Sisti) Forme quadratiche semidefinite.

Autovalori nulli della forma quadratica.

Modo per classificare un punto critico direttamente.

Restrizioni per individuare un punto di sella.

Ricapitolazione e notazione per funzioni in 3 o più variabili: f : Rⁿ→ R.

20. Mercoledì 4/11/2015

Definizione di autovettore generalizzato di ordine m > 1.

Metodo di ricerca di un integrale generale del sistema del primo ordine lineare a coefficienti costanti mediante una base di autovettori e autovettori generalizzati.

Struttura delle soluzioni linearmente indipendenti trovate come combinazioni di esponenziali polinomi e funzioni trigonometriche.

Esercizio 20.1. 1/550, 9/440.

Per casa 20.2. 10/440.

21. Lunedì 9/11/2015

(dott. Francesco Sisti) Estremi vincolati.

Metodo diretto di sostituzione.

Linee di livello tangenti al vincolo.

Gradiente del vincolo parallelo al gradiente della funzione.

Sistema di Lagrange in due dimensioni.

Lagrangiana, condizione di estremi vincolati.

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22. Mercoledì 11/11/2015

Definizione di dipendenza continua.

Definizione di sistema autonomo.

Definizione di eqilibrio stabile, asintoticamente stabile, instabile.

Caso del punto di equilibrio 0 ∈ R^N per il sistema lineare a coefficienti costanti y⁰= Ay .

Dall’integrale generale ottenuto con il metodo degli autovalori e autovettori generalizzati si ha:

• Se Re λ < 0 per ogni autovalore, 0 è asintoticamente stabile.

• Se Re λ > 0 per almeno un autovalore, 0 è instabile.

• Se Re λ ≤ 0 per ogni autovalore, e non occorre introdurre gli autovettori generalizzati per gli autovalori con Re λ = 0, allora 0 è stabile.

Esercizio 22.1. AB 4.53.

Per casa 22.2. AB 4.23.

Studiare la stabilità di (0, 0) per il sistema x⁰₁= x1− bx2, x⁰₂= x1− 2x2.

Esercizi nel sito del corso sui sistemi lineari, con data di oggi.

Paragrafi di riferimento sul testo: 1.1, 1.3, 2.3.

23. Venerdì 13/11/2015

(dott. Francesco Sisti)

Funzione f : C^I(R²) → R vincolata ad insieme chiuso e limitato.

Richiamo sul teorema di Weierstrass.

Ricerca di minimo e massimo assoluti per funzione continua su insieme chiuso e limitato.

Punto singolare x^∗per il vincolo g(x, y) = 0: ∇g(x^∗) = 0.

Esempio risolto parallelamento tramite sostituzione diretta e tramite Lagrangiana.

Bordo ∂E ∈ R² di un insieme chiuso e limitato E ∈ R²e sua parametrizzazione.

24. Lunedì 16/11/2015

Esempio di punto singolare per vincolo g(x, y) = 0: ∇g(x^∗) = 0.

Relazione tra metodo di sostituzione diretta e metodo di Lagrange.

Esercizio risolto in dettaglio: Massimi e minimi assoluti della funzione f (x, y) = x²y + 2 vincolata alla frontiera dell’insieme

E =(x, y) ∈ R²: x²+ y²< 16, x > 0 .

Svolgimento completo tramite sostituzione diretta e tramite Lagrangiana.

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25. Mercoledì 18/11/2015

Metodo per ottenere l’integrale generale di e.d.o. lineari a coefficienti costanti omogenee.

Equazioni del tipo di Eulero:

y⁽ⁿ⁾+a1

xy⁽ⁿ⁻¹⁾+ · · · + an

xⁿy = 0 ; metodo per ottenere l’integrale generale.

Esercizio 25.1.

y⁰⁰+ 1 xy⁰+ 1

x²y = 0 .

Caso delle equazioni lineari non omogenee.

Teorema 25.2. Se y e w sono soluzioni dell’equazione non omogenea allora y − w risolve l’equazione omogenea associata.

Corollario 25.3. L’integrale generale dell’equazione non omogenea è dato dal- l’integrale generale dell’equazione omogenea associata sommato a una soluzione particolare dell’equazione non omogenea.

Metodo della variazione delle costanti per trovare la soluzione particolare dell’equazione non omogenea.

Metodo ad hoc per trovare la soluzione particolare dell’equazione non omogenea qualore il termine noto abbia la forma

e^αxQ(x)(c1cos(γx) + c2sin(γx)) , con Q(x) polinomio.

Esercizio 25.4. AB 4.13, 4.45.

26. Venerdì 20/11/2015

Punti critici di funzione a tre variabili: f : C^I(R³) → R vincolata a g(x, y, z) = 0, g : C^I(R³) → R.

Sistema di Lagrange in tre dimensioni, Lagrangiana in tre dimensioni.

Esercizio risolto in dettaglio:

Massimi e minimi assoluti della funzione f (x, y) = x + y − z vincolata all’insieme E =(x, y) ∈ R²: x²+ y²+ z²= 1 .

Estremi assoluti di funzioni continue su insiemi chiusi e limitati con parte interna non vuota (insiemi chiusi e limitati “pieni”).

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27. Lunedì 23/11/2015

(dott. Francesco Sisti) Richiami: Serie Numeriche.

Carattere della Serie: Convergente, Divergente o Irregolare, Esempi.

Serie di Riferimento: Serie Geometrica, Serie Armonica.

Condizione Necessaria per la convergenza della serieP∞

k=0ak è che limk→∞ak = 0, e dimostrazione. Controesempio.

Criterio del confronto per serie a termini non negativi, Esempio.

Definizione di convergenza assoluta per le serie. La convergenza assoluta implica la convergenza semplice.

Criterio del Rapporto per la convergenza di una serie a termini positivi.

Paragrafi di riferimento sul testo: AM 4.6; 4.7; 4.8.

28. Mercoledì 25/11/2015

Equazioni di Bernoulli.

Esercizio 28.1. 1/280.

Equazioni lineari del primo ordine; struttura dell’integrale generale; integrale generale dell’omogenea associata ottenuto per separazione delle variabili e integrale particolare della non omogenea per variazione delle costanti.

La traslata nel tempo della soluzione di un sistema autonomo è ancora una soluzione.

Teorema 28.2. Se y è la soluzione di un sistema autonomo e per t2 > t1 vale y(t1) = y(t2), allora y è periodica di periodo t2− t1.

Riduzione dell’ordine dell’equazione scalare y⁰⁰= f (y⁰, x) , mediante la sostituzione v = y⁰.

Riduzione di ordine dell’equazione scalare y⁰⁰= f (y⁰, y) . I metodo: cambiamento di variabili y = y(p), p = y⁰. II metodo: cambiamento di variabili y⁰= y⁰(y).

Esercizio 28.3. 1/360.

Esercizio 28.4. 9/650.

Per casa 28.5. 11/480.

Paragrafi di riferimento sul testo: 17.2.1, 17.5.3.

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29. Venerdì 27/11/2015

(dott. Francesco Sisti) Teorema 29.1. (Criterio del confronto) Sia P∞

k=0ak una serie tale che

∃N ≥ 0 : ak > 0 ∀k ≥ N ; se esiste finito il limite lim

k→∞

ak+1

a_k = l

e l > 1 la serie diverge, se l < 1 la serie converge, se l = 1 non si può concludere nulla.

Criterio della radice*, enunciato, Esempio.

Serie di Potenze.

Teorema 29.2. (Raggio di convergenza per le serie di potenze) Sia

∞

X

k=0

bk(x − x0)^k; se esiste finito il limite

lim

k→∞

|bk+1|

|bk| = L, si ponga R =







1/L se L 6= 0, ∞ +∞ se L = 0 , 0 se L = ∞ . Allora:

se |x − x₀| < R la serie converge assolutamente, e quindi semplicemente;

se |x − x₀| > R la serie non converge.

Criterio della radice per determinare il raggio di convergenza delle serie di potenze*.

Paragrafi di riferimento sul testo: AM 4.8, 9.3.

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30. Lunedì 30/11/2015

Esempio 30.1. 1) Criterio rapporto con Serie di potenze lacunari:

∞

X

k=0

k(−4)^k(x − 1)^2k.

2) Funzioni somma di serie di potenze a partire dalla serie geometrica tramite sostituzioni, Esempi: x = −t²,

∞

X

k=0

(−1)^kt^2k= 1 1 + t²

Teorema 30.2. (Proprietà delle serie di Potenze) Sia data la serie

∞

X

k=0

b_k(x − x₀)^k. Se ha raggio di convergenza R > 0 allora

(1) La somma della serie è una funzione derivabile (e quindi continua) in (x0− R, x0+ R) e vale:

d dx

∞

X

k=0

b_k(x − x0)^k

!

=

∞

X

k=0

b_k d

dx (x − x0)^k =

∞

X

k=1

k b_k(x − x0)^k−1 La serie derivata ha lo stesso raggio di convergenza R.

(2) Come conseguenza di 1. si ha che f ∈ C^∞(x0− R, x0+ R)

(3) La somma della serie ammette primitiva nell’intervallo (x0− R, x0+ R) e vale:

Z ^∞

X

k=0

bk(x − x0)^k

! dx =

∞

X

k=0

bk

Z

(x − x0)^kdx =

∞

X

k=0

bk

k + 1(x − x0)^k+1. Applicazione di (3.): Sviluppo in serie della funzione arctan(x) e calcolo di π.

Definizione di funzione analitica.

Applicazione di (1.) e (2.) nel seguente

Teorema 30.3. Una funzione analitica ha lo sviluppo in serie che coincide con lo sviluppo di Taylor.

Una funzione f ∈ C^∞(x0− R, x0+ R) non è detto che sia analitica.

Esempio 30.4. La funzione:

f (x) =

(e⁻^x2¹ x 6= 0 , 0 x = 0 ,

è f ∈ C^∞(R) ma non è analitica.

Paragrafi di riferimento sul testo: AM 9.3; 9.4.

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31. Mercoledì 9/12/2015

Riepilogo.

Esercizio 31.1. AB 4.33, 4.39, 4.51.

1/200, 1, 2/220.

32. Lunedì 14/12/2015

Risoluzione degli esercizi su sistemi di e.d.o. assegnati l’11 novembre 2015.

FINE DEL CORSO

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