∑ Capitolo 9Calcolo delle caratteristiche della sollecitazione

Capitolo 9

Calcolo delle caratteristiche della sollecitazione

Per determinare le cds si usa il metodo delle forze; il sistema effettivo (iperstatico) è la composizione di un sistema principale e di sistemi ausiari. Il sistema principale è in equilibrio, in quanto staticamente determinato, ma non congruente, perché gli spostamenti non sono quelli reali del sistema . Nei sistemi ausiliari agisce di volta in volta una sola incognita iperstatica che è resa unitaria, più un ulteriore sotto-sistema nel quale agisce il carico esterno; applicando poi il principio di sovrapposizione degli effetti tali contributi vengono sommati. La congruenza del sistema viene definita introducendo gli spostamenti a cui sono soggetti i vincoli nel sistema effettivo e nei sistemi ausiliari. Nel caso in questione, alcuni vincoli, come quelli all'incastro dell'ala posteriore, sono ideali e lo spostamento è nullo, altri invece tengono conto della rigidezza degli altri elementi strutturali, così come descritto nel capitolo 7.

Le cds vengono calcolate nelle stesse sezioni in cui sono state definite le caratteristiche geometriche, inerziali e i carichi che agiscono sull'ala; quindi in sezioni di passo 2,5% la lunghezza dell'ala.

Tutti i dati ottenuti vengono organizzati in strutture tipo “Array”, e vengono inoltre plottati sia i grafici delle cds finali e sia quelli dei singoli sotto-sistemi isostatici, in modo da poter visualizzare meglio i risultati elaborati dal programma. I valori delle cds presenti nei grafici si riferiscono al sistema di riferimento locale dell'ala.

9.2 Formulazione del problema di Muller-Breslau

Per la risoluzione del problema iperstatico col metodo delle forze si utilizzano le equazioni di Müller-Breslau che assumono la seguente espressione:

η_i=η_i0+

∑

Il significato dei simboli presenti nell'equazione è il seguente:

• ηi è lo spostamento del punto in cui è applicata l'incognita iperstatica i-esima Xi, lungo la

noto.

• ηi0 è lo spostamento del punto in cui è applicata l'incognita iperstatica i-esima Xi, lungo la

direzione e il verso di tale incognita iperstatica, nel sistema principale, provocato dai carichi esterni. Si può determinate tramite il teorema dei lavori virtuali:

η_i0=

∫

• ηik è lo spostamento del punto in cui è applicata l'incognita iperstatica i-esima Xi, lungo la

direzione e il verso di tale incognita iperstatica, nel sistema ausiliario i-esimo. Si può determinate tramite il teorema dei lavori virtuali:

η_ik=

∫

Le equazioni di Müller-Breslau sono equazioni di congruenza e grazie alla linearità del problema possiamo dire che lo spostamento dovuto al complesso delle iperstatiche, è la somma degli spostamenti prodotti separatamente da ciascuna.

La matrice dei coefficienti del sistema è simmetrica ηik=ηki ed ha i termini della diagonale

principale positivi

9.3 Applicazione del problema di Muller-Breslau ad un ala chiusa con fin posizionato lungo l'apertura alare

Le cds vengono calcolate nella metà simmetrica di sinistra della configurazione alare.

L'ala posteriore viene sconnessa sull'asse di simmetria del velivolo e in corrispondenza dell'attacco col fin, mentre l'ala anteriore viene sconnessa in corrispondenza dell'incastro con la fusoliera.

Tali sconnessioni introducono i seguenti vincoli, così come discusso al capitolo 8:

• vincolo di incastro alla radice dell'ala anteriore;

• vincolo di doppio pendolo alla radice dell'ala posteriore;

Il sistema è pertanto 6 volte iperstatico e le reazioni iperstatiche sono:

1) N: reazione normale lungo l'asse Y globale, alla radice dell'ala posteriore;

2) MX: momento flettente rispetto all'asse X globale, alla radice dell'ala posteriore;

3) MZ: momento flettente rispetto all'asse Z gobale, alla radice dell'ala posteriore;

4) Mxfin: è il momento attorno all'asse x locale dell'ala posteriore, introdotto dal fin;

5) Rxzfin: reazione del fin lungo il proprio asse, contenuta nel piano x-z locale dell'ala

posteriore;

6) Ryfin: è la reazione del fin lungo l'asse y locale dell'ala posteriore;

Poiché il problema è 6 volte iperstatico è necessario utilizzare 7 sotto-sistemi isostatici:

• sistema 0: è il sistema nel quale agiscono le sole forze esterne;

• sistema 1: è il sistema nel quale agisce la sola reazione N, posta uguale a 1;

• sistema 2: è il sistema nel quale agisce la sola reazione MX posta uguale a 1;

• sistema 3: è il sistema nel quale agisce la sola reazione MZ posta uguale a 1;

• sistema 4: è il sistema nel quale agisce la sola reazione Mxfin posta uguale a 1;

• sistema 5: è il sistema nel quale agisce la sola reazione Rxzfin posta uguale a 1;

• sistema 6: è il sistema nel quale agisce la sola reazione Ryfin posta uguale a 1.

Nelle figure 9.1 e 9.2 sono rispettivamente rappresentate le reazioni iperstatiche, poste uguali ad uno, che agiscono nei 6 sistemi ausiliari. Col punto A si indica l'incastro, mentre col punto B si indica il collegamento tra fin e ala posteriore.

Si noti che mentre le reazioni all'incastro sono orientate secondo il sistema di riferimento globale (O,X,Y,Z), quelle al fin sono invece orientate secondo il sistema locale dell'ala posteriore (o,x,y,z).

Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3 A O Z X Y 1 A O X Y Z 1 A O Y Z X 1 Fig. 9.1

Sistema 4 Sistema 5 Sistema 6 o x y z B o z x y B 1 1 1 B _x o y z Fig. 9.2

Come introdotto precedentemente oltre ai 6 sistemi ausiliari nei quali agiscono le incognite iperstatiche, è presente il sistema nel quale agiscono i carichi esterni, denominato sistema 0:

Il sistema 0 è a sua volta suddiviso in due sotto-sistemi:

• sistema 0A: è il sistema nel quale agiscono le forze esterne dovute all'aerodinamica ed al

peso strutturale del cassone;

• sistema 0B: è il sistema nel quale agiscono le forze esterne concentrate.

A loro volta i due sistemi sopra elencati includono un ulteriore sotto-sistema che rappresenta il contributo prodotto dal momento torcente:

• 0A_mom_trasp: è il sistema nel quale agisce il momento aerodinamico del profilo e il

momento di trasporto rispetto al centro di taglio, prodotto dalla portanza applicata nel centro aerodinamico;

• 0B_mom_trasp: è il sistema nel quale agisce il momento torcente prodotto dalla forza eccentrica rispetto al centro di taglio.

Tale suddivisione è stata effettuata affinché l'utente possa valutare distintamente gli effetti prodotti dai vari contributi. La somma del sistema 0A e 0B ci da il complesso delle forze esterne complessive che agiscono sul sistema.

Per quanto invece riguarda gli spostamenti, considerando le ipotesi fatte sui vincoli, così come discusso al capitolo 8, lo spostamento prodotto nel sistema effettivo dall'i-esima incognita

iperstatica ηi è: η1 0 η2 0 η3 0 η4 X4 / Kθ η5 X5 / K η6 0

Dunque come si vede gli unici spostamenti consentiti sono quelli lungo l'asse del fin e la rotazione attorno all'asse x locale dell'ala posteriore; il fin infatti possiede una certa rigidezza flessionale e torsionale.

9.4 Ridefinizione dei carichi agenti sulla struttura alare

Per poter calcolare le cds in ognuno dei sotto-sistemi isostatici è necessario dapprima definire in maniera appropriata i carichi che agiscono sulla configurazione alare.

Nei capitoli 8 e 9 si sono definiti i carichi aerodinamici, il peso strutturale e i carichi concentrati introdotti dai motori. In pratica i carichi esterni che agiscono sul velivolo sono di due tipi: carichi concentrati e carichi distribuiti.

Il programma effettua il calcolo dei carichi per ognuna delle sezioni in cui è stata discretizzata l'ala lungo l'apertura, e analogamente anche il calcolo delle cds è effettuato in tali sezioni.

I carichi vengono definiti dal root al tip di ogni ala.

Il calcolo delle cds viene invece effettuato come se la configurazione alare venisse percorsa in maniera continua dal root dell'ala posteriore al root dell'ala anteriore, seguendo quindi il seguente ordine:

1) dal root al tip dell'ala posteriore;

2) dal tip al root della paratia (il root è in corrispondenza del collegamento con l'ala anteriore, il tip è in corrispondenza del collegamento con l'ala posteriore);

3) dal tip al root dell'ala anteriore.

Per poter calcolare correttamente le cds, è quindi indispensabile operare una inversione del vettore che racchiude il valore del carico lungo l'apertura relativo all'ala anteriore e alla paratia; in tal modo quando l'ala viene percorsa dal tip al root, ad ogni sezione viene associato il carico corrispondente. In pratica il vettore del carico anziché essere letto ad iniziare dal primo valore, viene letto dall'ultimo, procedendo a ritroso. Tale procedura non è solo effettuata per i carichi, ma anche per le caratteristiche inerziali, calcolate nella sezione geometria.

Le caratteristiche geometriche ed inerziali della sezione sono state definite nel sistema di riferimento locale dell'ala, mentre i carichi distribuiti e quelli concentrati introdotti dai motori sono stati definiti nel sistema globale. Poiché le cds vengono calcolate nel sistema locale, è necessario operare una trasformazione di tali carichi per riportarli a tale sistema; questa operazione è effettuata con l'ausilio delle matrici di rotazione, descritte nel capitolo 4.

Anche le reazioni incognite della sconnessione dell'ala posteriore, introdotte nei sistemi ausiliari, devono essere ruotate nel sistema locale dell'ala posteriore.

9.5 Calcolo delle caratteristiche della sollecitazione

Il calcolo delle cds è effettuato con l'ausilio di due file matlab tipo function:

• Taglio: calcola lo sforzo assiale e il taglio lungo gli assi y e z locali dell'ala;

• Momento: calcola il momento torcente attorno all'asse x, e il momento flettente attorno agli

assi y e z locali dell'ala.

Per la corretta definizione delle cds, si utilizzando funzioni diverse in base all'ala considerata, così denominate:

Taglio

Momento

Il calcolo delle caratteristiche della sollecitazione inizia dalla radice dell'ala posteriore, fino ad arrivare alla radice di quella anteriore, e per passare da un'ala all'altra le cds vengono ruotate attraverso le matrici di rotazione.

Si nota che per trasformare le cds da un'ala all'altra della configurazione alare, occorre effettuare una doppia trasformazione: le grandezze al tip dell'ala vengono prima trasformate dal sistema locale a quello globale tramite la matrice di trasformazione dell'ala in esame, e poi trasformate nel sistema locale dell'ala successiva tramite l'inversa della matrice di rotazione di tale ala.

Man mano che si avanza dalla radice dell'ala posteriore verso la radice dell'ala anteriore lungo le ascisse locale delle ali, la sollecitazione in un punto sarà data dal contributo dei tratti precedenti; per cui quando si giunge al root dell'ala anteriore, la sollecitazione sarà dovuta al contributo delle cds dell'ala posteriore, bulk e anteriore.

Per comprendere meglio quanto esposto precedentemente, si schematizza il tutto nello schema di figura 9.3, nel quale:

• la linea blu tratteggiata raggruppa le operazioni compiute sull'ala anteriore;

• la linea rossa tratteggiata rappresenta le operazioni compiute sulla paratia;

• la linea verde rappresenta le operazioni compiute sull'ala posteriore.

_aa : è la funzione che calcola il taglio sull'ala anteriore; _bulk: è la funzione che calcola il taglio sulla paratia; _ap: è la funzione che calcola il taglio sull'ala posteriore.

_aa : è la funzione che calcola il momento sull'ala anteriore; _bulk: è la funzione che calcola il momento sulla paratia; _ap: è la funzione che calcola il momento sull'ala posteriore.

Calcolo delle cds nel sistema locale dell'ala posteriore

Valore delle cds al tip dell'ala posteriore

nel sistema locale

Matrice di trasformazione ala posteriore Valore delle cds al tip dell'ala posteriore nel sistema globale

Inversa della matrice di trasformazione bulk Valore delle cds al tip del bulk nel sistema locale Calcolo delle cds

nel sistema locale del bulk Valore delle cds

al root del bulk nel sistema locale Matrice di trasformazione bulk Valore delle cds al root del bulk nel sistema globale

Inversa della matrice di trasformazione ala anteriore Valore delle cds al tip dell'ala anteriore nel sistema locale

Calcolo delle cds nel sistema locale dell'ala anteriore

Valore delle cds al root dell'ala anteriore nel sistema locale

9.5.1 Calcolo della tensione normale e del taglio

La tensione normale, diretta secondo l'asse x locale dell'ala, è calcolata suddividendo l'ala in più segmenti, ognuno dei quali compreso tra 2 forze concentrate. Facendo per esempio riferimento alla

figura 9.4, dove si schematizza l'ala posteriore, soggetta ai carichi concentrati F1x, F2x e al carico

distribuito lungo il proprio asse fx, si ha:

Tratto OA: N_OA(i)=R_x−

∫

∫

∫

Il calcolo del taglio lungo l'asse y e z locale dell'ala, viene effettuato utilizzando lo stesso procedimento visto per il calcolo della tensione assiale.

N

f

R

F1

F2

R_x è la reazione all'incastro lungo x locale;

f_x è il carico distribuito lungo l'asse x locale dell'ala. dove:

N_OA(A) è la sollecitazione assiale calcolata nel punto A, dovuta al tratto precedente; F1_x è il carico concentrato 1 diretto lungo

l'asse x locale;

f_x è il carico distribuito lungo l'asse x locale dell'ala. dove:

Fig. 9.4

N_OB(B) è la sollecitazione assiale calcolata nel punto B, dovuta al tratto precedente;

F2_x è il carico concentrato 2 diretto lungo l'asse x locale; dove:

9.5.2 Calcolo del momento

Il calcolo del momento flettente rispetto all'asse y locale per la generica sezione i-esima è definito attraverso la seguente relazione:

M_y(i)=M_yA+F_zs(i)+M_y0(i)+m_y(i)

La relazione precedente è valida per un segmento di ala; ogni segmento è compreso tra due forze o momenti concentrati, e passando da una sezione all'altra si sommano i contributi dei tratti precedenti, così come visto per il calcolo dello sforzo normale e del taglio.

In figura 5.3 si illustra il segmento di ala compreso tra A e B soggetto al carico distribuito fz, al

momento distribuito my, al momento concentrato MyA è alle forze F1z e F2z.

M_yA è il momento concentrato applicato nel punto A rispetto all'asse y locale;

F_z è la forza diretta lungo l'asse z locale dell'ala;

s(i) è la distanza tra la sezione i-esima e l'origine del tratto considerato; M_y0 (i) è il momento flettente per la sezione i-esima, dovuto al carico

distribuito lungo l'asse z locale;

m_y (i) è il momento flettente distribuito della sezione i-esima. dove: x

f

F2

F1

m

M

Si descrive ora il procedimento di calcolo utilizzato dal programma per ricavare il momento My (i)

relativo alla sezione i-esima del segmento di ala, come illustrato in figura 9.6:

La risultante del carico distribuito si ottiene integrando tale carico da A fino alla sezione i-esima: R=

_∫

Per calcolare il momento prodotto dal carico distribuito si procede invece in maniera diversa, infatti il carico distribuito viene considerato come una serie di forze concentrate per unità di lunghezza, applicate nelle sezioni in cui è stata discretizzata l'ala; ciò consente di poter calcolare agevolmente il punto di applicazione della risultante del carico nella sezione i-esima, visto che tale carico non è costante ma variabile.

Si è quindi fatto ricorso allo stesso procedimento utilizzato per calcolare il centro di massa di un sistema di masse concentrate, sostituendo al posto delle masse le forze per unità di lunghezza agenti nelle sezioni in cui è stata discretizzata l'ala:

O=

∑

n

fixi

∑

Il momento della sezione i-esima del carico distribuito calcolato rispetto al punto P dell'i-esima sezione è:

M_y0(i)=(s(i)−O(i)) R_fz

f_i è la forza sull'unità di lunghezza del carico distribuito che agisce sulla i-esima sezione;

x_i è la distanza della i-esima sezione dell'ala, misurata lungo l'asse x locale. dove: x

f

F1

i

m

M

P

Per chiarire quanto descritto in precedenza si riporta il calcolo della risultante e del momento risultante per la sezione i=5, così come rappresentato in figura 9.7:

La risultante è pari a:

R_fz=f_1z+f_2z+f_3z+f_4z+f_5z

Il punto di applicazione del momento risultante è pari a: O_(i=5)=x_RIS=f2zx2+f3zx3+f4zx4+f5zx5

f1z+f2z+f3z+f4z+f5z

Dopo aver calcolato la risultante e il suo punto di applicazione è possibile calcolare il momento rispetto al punto P in corrispondente della quinta sezione attraverso la seguente relazione:

M_y0(P)=R_fz(x₅−x_RIS)

Analogamente a quanto descritto per il momento My anche per il momento flettente Mz valgono le

stesse relazioni, cambiano però le direzioni delle forze e dei momenti, vale infatti la seguente relazione:

M_z(i)=M_zA+F_ys(i)+M_z0(i)+m_z(i)

x

f

Ris f

O

f

f

f

f

9.6 Calcolo delle caratteristiche della sollecitazione in presenza di carichi concentrati

Una delle maggiori difficoltà incontrate nella realizzazione del programma, è stata quella di calcolare correttamente le cds dell'ala posteriore in presenza di carichi concentrati. Infatti poiché il calcolo delle cds va dalla radice al tip dell'ala posteriore, è necessario che il programma sia in grado di valutare la posizione lungo l'ascissa x locale dell'ala posteriore, del fin e dei carichi concentrati. Come descritto precedentemente, l'ala viene suddivisa in segmenti compresi tra due carichi concentrati, che sono introdotti dal fin o dalle forze; pertanto è indispensabile valutare l'ordine in cui si distribuiscono le forze in tali segmenti.

Per far questo, all'interno del programma è stato realizzato un apposito file denominato “cds_forze” che si attiva solo in presenza di carichi concentrati, il quale contempla tutte le possibili combinazioni in cui si può trovare il fin rispetto ai carichi concentrati; tale numero dipende da quanti carichi concentrati sono presenti sull'ala.

Si schematizzano ora tutti i possibili casi che possono verificarsi, indicando con x l'ascissa locale sull'ala posteriore del fin e del rispettivo carico concentrato :

1 carico concentrato sull'ala posteriore 1) xforza 1 < xfin

2) xforza 1 > xfin

2 carichi concentrati sull'ala posteriore 1) xforza 1 < xfin

2) xforza 1 < xfin < xforza 2

3) xforza 2 < xfin

3 carichi concentrati sull'ala posteriore 1) xforza 1 < xfin

2) xforza 1 < xfin < xforza 2

3) xforza 2 < xfin < xforza 3

9.7 Grafici delle caratteristiche della sollecitazione

Il programma plotta i grafici delle caratteristiche della sollecitazione nel sistema di riferimento locale dell'ala. Per agevolarne la lettura, si è scelto di visualizzare i risultati in un'unica schermata in cui compaiono 18 grafici; questi sono distribuiti in 6 righe e 3 colonne.

• ogni riga si riferisce ad una caratteristica della sollecitazione;

• ogni colonna si riferisce ad un ala.

Le cds plottate in ogni riga seguono il seguente ordine:

1) sollecitazione di sforzo normale, lungo l'asse x locale (Nx); 2) sollecitazione di taglio, lungo l'asse y locale (Ty);

3) sollecitazione di taglio, lungo l'asse z locale (Tz):

4) sollecitazione di momento torcente, attorno all'asse x locale (Mx); 5) sollecitazione di momento flettente rispetto all'asse y locale (My); 6) sollecitazione di momento flettente rispetto all'asse z locale (Mz); L'ordine delle colonne è invece:

1) ala posteriore; 2) bulk;

3) ala anteriore.

Le cds, da sinistra a destra di ogni grafico, sono così definite:

• per l'ala posteriore dalla radice al tip:

• per il bulk dal tip alla radice;

• per l'ala anteriore dal tip alla radice.

Questa scelta, rispecchia il procedimento di calcolo utilizzato dal programma; infatti come discusso precedentemente, la configurazione alare viene percorsa, dal root dell'ala posteriore al root dell'ala anteriore, lungo l'ascissa x locale di ogni ala.