6 CORPO LIBERO

(1)

189

6 CORPO LIBERO

6.1 Soppressione del vincolo d’incastro

Di seguito si procede alla determinazione degli sforzi nella struttura supponendola libera, ovvero si sopprime la sezione d’incastro. Ciò implica che non vi sono gli effetti dovuti all’impedito ingobbamento per cui la struttura è libera di deformarsi.

Tale supposizione va a modificare la scrittura delle equazioni di Muller-Braslau in quanto, nel caso in questione, l’incognita iperstatica ܺ_ଵ è identicamente nulla, data la mancanza dell’incastro.

6.2 Schema del cassone

Il cassone è lo stesso indicato nel paragrafo 2.2.1 con la differenza che ora non vi è il vincolo d’incastro.

6.3 Sistema principale

(2)

190

6.4 Sistema supplementare

6.4.1 Cassone costituito da tre baie

L’andamento delle incognite iperstatiche è riportato in figura seguente:

Figura 6.1 Andamento incognite iperstatiche per cassone non vincolato costituito da tre baie

Come si può notare dalla figura 6.1 il sistema supplementare I è completamente scarico data l’assenza del vincolo d’incastro. Ciò conferma quanto detto precedentemente nel paragrafo 6.1.

(3)

191 Di seguito si riportano le espressioni analitiche degli sforzi agenti sul corrente 1 nelle tre baie, dove con ܮ si indica la lunghezza della baia:

Baia 1 Baia 2 Baia 3

• Sistema supplementare I ܰ_ଵ= 0 ܰ_ଵ= 0 ܰ_ଵ= 0

• Sistema supplementare II _ܰ

ଶ = ܺଶ∙ݖ_ܮ ܰଶ= ܺଶ∙ ቀ2 −ݖ_ܮቁ ܰଶ= 0 • Sistema supplementare III ܰ_ଷ = 0 _ܰ

ଷ = ܺଷ∙ ቀ_{ܮ − 1ቁ}ݖ ܰଷ= ܺଷ∙ ቀ3 −ݖ_ܮቁ Tabella 6.1 Espressioni analitiche degli sforzi nelle tre baie

I flussi agenti nella struttura sono schematizzati nella figura sotto:

(4)

192 Posti ܺ_ଵ= 0, ܺ_ଶ= 1, ܺ_ଷ= 1, gli sforzi nei pannelli nei tratti 2-1 e 4-3 saranno:

߬ଵ= 0 ߬ଵ= 0 ߬ଵ= 0

߬ଶ =_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߬ଶ = −_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߬ଶ= 0

߬ଷ = 0 _߬

ଷ =_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߬ଷ= −_{2 ∙ ܮ ∙ ݐ}1 Tabella 6.2 Sforzi nei pannelli nei tratti 2-1 e 4-3

Le deformazioni nei tratti 2-1 e 4-3 saranno:

ߛଵ = 0 ߛଵ= 0 ߛଵ= 0

ߛଶ=_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߛଶ= −_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߛଶ = 0

ߛଷ= 0 _ߛ

ଷ=_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ}1 ߛଷ = −_{2 ∙ ܩ ∙ ܮ ∙ ݐ}1 Tabella 6.3 Deformazioni nei pannelli nei tratti 2-1 e 4-3

Nei tratti 1-4 e 3-2 i segni degli sforzi e delle deformazioni sono di segno opposto a quelli indicati nelle tabelle sopra.

6.4.2 Equazioni di Muller-Breslau

Nel caso di tre incognite iperstatiche dalle equazioni di Muller-Breslau si ricava il seguente sistema:

൝ߟߟଶଵ= ߟ= ߟଶ଴ଵ଴+ ܺ+ ܺଵଵ∙ ߟ∙ ߟଵଵଶଵ+ ܺ+ ܺଶଶ∙ ߟ∙ ߟଵଶଶଶ+ ܺ+ ܺଷଷ∙ ߟ∙ ߟଵଷଶଷ

ߟଷ = ߟଷ଴+ ܺଵ∙ ߟଷଵ+ ܺଶ∙ ߟଷଶ+ ܺଷ∙ ߟଷଷ

(6.1)

Che riscritto in forma matriciale, per il caso in cui si abbiano patches di MFC applicate solo sui pannelli, diventa:

(5)

193 ൥ߟߟଵଵଵଶ 2 ∙ ߟߟଵଶଵଵ ߟ0ଵଶ 0 ߟଵଶ 2 ∙ ߟଵଵ ൩ ∙ ൥ܺܺଵଶ ܺଷ ൩ = − ቊߟ0ଵ଴ 0 ቋ (6.2)

Dato che ܺ_ଵ è identicamente nullo dalla (6.2) si devono eliminare la prima riga e la prima colonna.

൥ߟߟଵଵଵଶ 2 ∙ ߟߟଵଶଵଵ ߟ0ଵଶ 0 ߟଵଶ 2 ∙ ߟଵଵ ൩ ∙ ൥ܺܺଵଶ ܺଷ ൩ = − ቊߟ0ଵ଴ 0 ቋ (6.3)

Il sistema da risolvere sarà quindi:

൤2 ∙ ߟ_ߟ ଵଵ ߟଵଶ

ଵଶ 2 ∙ ߟଵଵ൨ ∙ ൤ܺ ଶ

ܺଷ൨ = ቄ00ቅ

(6.4)

Analogamente, per il caso di patches di MFC applicate anche sui correnti, il sistema da risolvere si riduce, per cui la (3.7) diventa:

൥ߟߟଵଵଵଶ 2 ∙ ߟߟଵଶଵଵ ߟ0ଵଶ 0 ߟଵଶ 2 ∙ ߟଵଵ ൩ ∙ ൥ܺܺଵଶ ܺଷ ൩ = − ൝ߟߟଵ଴௜଴ ߟ௜଴ ൡ (6.5) Da cui: ൤2 ∙ ߟ_ߟ ଵଵ ߟଵଶ ଵଶ 2 ∙ ߟଵଵ൨ ∙ ൤ܺ ଶ ܺଷ൨ = ቄ ߟ௜଴ ߟ௜଴ቅ (6.6)

6.4.3 Cassone costituito da un numero di baie superiore a tre

Variando il numero di baie e, di conseguenza, il numero di incognite iperstatiche, varia anche, come visto nei capitoli precedenti, il sistema di equazioni di congruenza da risolvere. Nel caso specifico, la riduzione della dimensione del sistema, dato che ܺ_ଵ= 0, si applica in tutti i casi:

ۏ ێ ێ ێ ێ ێ ۍߟ_ߟଵଵ_ଵଶ _{2 ∙ ߟ}ߟଵଶ_ଵଵ _ߟ0_ଵଶ 0 ⋯ ⋯_{0 ⋯ ⋯} 0₀ 0 ߟଵଶ 2 ∙ ߟଵଵ ߟଵଶ 0 ⋯ 0 0 0 ߟଵଶ ⋱ ⋱ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋱ ⋱ ߟଵଶ 0 0 0 ⋯ 0 ߟଵଶ 2 ∙ ߟଵଵے ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ې ∙ ۏ ێ ێ ێ ێ ێ ۍܺ_ܺଵ_ଶ ܺଷ ⋮ ⋮ ⋮ ܺ௡ے ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ې = ە ۖۖ ۔ ۖۖ ۓߟଵ଴_⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ۙۖۖ ۘ ۖۖ ۗ (6.7)

(6)

194

6.5 Calcolo dell'angolo di rotazione

ࣂ della sezione d'estremità

Per il calcolo dell'angolo di rotazione ߠ della sezione d'estremità si sfrutta la (2.49); tenendo conto che ܺ_ଵ= 0 essa diventa:

ߠ =_{ܹ ∙ ܪ ∙ ߛ}ܮ௖௔௦ ௫௬∙ ሺܹ + ܪሻ (6.8)

6.6 Andamento degli sforzi per cassone con patches di MFC applicate solo

sui pannelli

Di seguito si riporta lo sforzo normale agente nel corrente 1:

Figura 6.3 Sforzo normale nel corrente 1

Come si nota dalla figura, non essendoci applicati carichi, la struttura risulta scarica, qualsiasi sia il numero di incognite iperstatiche, qualsiasi sia la lunghezza totale del cassone e qualsiasi materiale venga utilizzato.

(7)

195

6.7 Andamento degli sforzi per cassone con patches di MFC applicate sui

pannelli e sui correnti

Di seguito si riporta lo sforzo normale agente nel corrente 1 al variare del numero di incognite iperstatiche, della lunghezza del cassone e del materiale usato.

• Alluminio

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196

Figura 6.5 Sforzo normale nel corrente 1 al variare delle I.I. per cassone di 0.75 m in alluminio

(9)

197

(10)

198

(11)

199

• Carbon-Epoxy, Glass-Epoxy

Figura 6.11 Sforzo normale nel corrente 1 al variare delle I.I. per cassone di 0.5 m in Carbon-Epoxy e Glass-Epoxy

(12)

200

(13)

201

(14)

202

(15)

203

6.9 Conclusioni

Dallo studio appena effettuato si deduce che:

• le equazioni di Muller-Breslau hanno una certa ripetitività, come indicato dalla (2.63)

• l'incognita iperstatica ܺ_ଵ, secondo quanto indicato dalla (2.17), dipende linearmente dal modulo elastico del materiale e dalla deformazione imposta

• il valore di ܺ_ଵ, all'incastro, diminuisce al crescere della lunghezza del cassone

• la rotazioneߠ a cui è sottoposto il cassone dipende fortemente dalla deformazione imposta dalle patch di MFC

• gli effetti dovuti all'impedito ingobbamento, presenti attraverso l'introduzione di ܺ_ଵ nel calcolo di ߠ, sono secondari e diminuiscono all'aumentare della lunghezza del cassone

• il comportamento della struttura in alluminio ed in glass-epoxy, nel caso in cui si abbiano patch applicate solo sui pannelli, è circa uguale, ovvero le rotazioni raggiunte differiscono per qualche centesimo di grado

• l'applicazione di patch sui correnti, le quali introducono flessione differenziale, permette un incremento della rotazione ߠ

• gli effetti della flessione differenziale portano ad un incremento di circa 0.1 ݀݁݃/݉nella struttura in glass-epoxy, di 0.04 ݀݁݃/݉ nella struttura in alluminio.

6.10 Obiettivi futuri

Il lavoro compiuto ha dimostrato che è possibile raggiungere deformazioni evidenti di un cassone alare controllandolo attivamente con attuatori piezoelettrici. Tali deformazioni, però, hanno comunque valori limitati per l'obiettivo principale sarà quello di incrementare suddetti valori.

Lo studio dovrà, quindi, effettuarsi su strutture più complicate e maggiormente deformabili. Potranno essere esaminate:

• strutture con sezioni aperte

(16)

204

• sezioni costituite da più unità sovrapposte

Figura 6.19 Esempio di struttura costituita da più unità sovrapposte

• strutture costituite da altri tipi di materiali

Potranno, inoltre, essere studiati:

• gli effetti dell'incollaggio

• la reale trasmissione delle deformazioni dalle patch al cassone