CAP.4 PERDITE DEI PROFILI IN SCHIERA Introduzione

CAP.4 PERDITE DEI PROFILI IN SCHIERA Introduzione

In corrispondenza del bordo d’uscita di ogni singolo profilo della schiera lo strato limite sul dorso si unisce con quello che si sviluppa sul ventre: vengono così a formarsi le scie dei profili in schiera.

All’esterno delle scie che si sono venute a formare in questo modo il flusso si presenta come potenziale, mentre al loro interno è caratterizzato dall’avere un gradiente di velocità lungo la loro altezza. A notevole distanza dal bordo d’uscita le scie si mescolano completamente; si perdono così le caratteristiche puntuali del flusso.

Questo fatto comporta che le perdite di pressione totale assumono valori diversi a seconda che si riferiscono ad una stazione vicina alla schiera, oppure a grande distanza a valle di essa.

4.1 Perdite medie locali.

Le perdite locali medie di pressione rappresentano la differenza tra la pressione totale del flusso di ingresso, P10, e la media geometrica della pressione totale lungo l’asse della schiera

stessa nella sua stazione x (i valori relativi a tale stazione sono indicati con il pedice x); si ha quindi: ∆ = −

∫

d 0 0 x 0 1 0 x P dy d 1 P P (4.1.1)

dove con l’apice “0_{” si indica la pressione totale, somma della pressione statica e di quella}

dinamica, data da:

2 0 _w 2 1 P P = + ρ

Secondo quanto riportato in bibliografia [26] si fanno le seguenti assunzioni:

‰ equazione di Bernoulli per un flusso incomprimibile; ‰ flusso con vettore velocità costante all’esterno delle scie; ‰ pressione statica costante lungo l’asse y.

Essendo inoltre 0 y P0 1 ₌ ∂ ∂ si può scrivere: ∆ =

∫

d

(

−

)

0 0 x 0 x , 1 0 x P P dy d 1 P (4.1.2)

dove con il pedice “1,x” si esprimono i valori relativi al flusso potenziale al di fuori dello strato

limite.

2 1 1 0 1 w 2 1 P P = + ρ 2 x x 0 x w 2 1 P P = + ρ la (4.1.2) diventa:

(

)

(

)

∫

− + ρ

∫

− = ∆ d 0 d 0 2 x 2 x , 1 x x , 1 0 x w w dy 2 d 1 dy P P d 1 P Se si considera che 0 y P_{x =} ∂ ∂

si ottiene che il primo integrale a secondo membro della precedente relazione si annulla; da cui:

∆ = ρ

∫

d

(

−

)

0 2 x 2 x , 1 0 x w w dy d 2 P (4.1.3) e ponendo x , 1 x x w w wˆ = si può scrivere: ∆ = ρ

∫

d

(

−

)

0 2 x 2 x , 1 0 x w 1 wˆ dy d 2 P (4.1.4) Essendo poi:

(

)

(

)

(

)

(

)

∫

d − =

∫

− + − =

∫

− +

∫

− 0 d 0 d 0 d 0 x x x 2 x x x 2 x dy 1 wˆ wˆ wˆ dy 1 wˆ dy 1 wˆ wˆ dy wˆ 1 (4.1.5) ed anche

∫

(

)

∫

δ

(

)

∫

δ

(

)

β δ = − β = − = − d 0 0 0 x * x , w x x x x x , w w,x sen dn wˆ 1 sen 1 dy wˆ 1 dy wˆ 1 (4.1.6) ed analogamente

∫

(

)

β θ = − d 0 x x , w x x sen dy wˆ 1 wˆ (4.1.7)

la (4.1.4), mediante la (4.1.5), la (4.1.6) e la (4.1.7), si può scrivere come:

_       β θ + β δ ρ = ∆ x x , w x * x , w 2 x , 1 0 x sen sen w d 2 P (4.1.8)

Sfruttando ora l’equazione di continuità qui sotto riportata

∫

β =ρ

∫

β ρ = β ρ d 0 d 0 x x x , 1 x x 1

1sen d w sen dy w wˆ sen dy

w da cui β = β

∫

d 0 x x x , 1 1 1sen d w sen wˆ dy w (4.1.9) e considerando che

(

)

∫

∫

=− d − + = − δ _β 0 x * x , w x d 0wˆxdy 1 wˆ dy d d _sen la (4.1.9) diventa:         β δ − β = β x * x , w x x , 1 1 1 sen d sen w d sen w

da cui _* x , w x 1 1 x , 1 sen d sen d w w δ − β β = (4.1.10)

Sostituendo la (4.1.10) nella (4.1.8) si ottiene:

_       β δ + θ δ − β β ρ = ∆ x * x , w x , w * x , w x 1 2 1 0 x sen sen d sen d w d 2 P (4.1.11) Ponendo 2 1 0 x x w 2 1 P ρ ∆ =

ξ [coefficiente di perdita di pressione media]

ed essendo σ=L/d la solidità della schiera in esame, si può scrivere la (4.1.11) come:

_       β σ δ + β σ θ         β σ δ −       β β = ξ x * x , w x x , w 2 x * x , w 2 x 1 x sen ˆ sen ˆ sen ˆ 1 1 sen sen (4.1.12)

dove con “^” si sono indicate le varie grandezze adimensionalizzate con la lunghezza di riferimento L. Ponendo infine:

x x , w x sen ˆ a β σ θ = , x * x , w x sen b β σ δ = x x w a b H = la (4.1.12) diventa:

(

)

(

)

2 w x w x 2 x 1 x H a 1 H 1 a sen sen − +       β β = ξ (4.1.13)

Tale coefficiente di perdita può anche essere ricavato seguendo una media diversa da quella geometrica considerata in precedenza; infatti si può definire 0

x

P

∆ per mezzo di una media basata sulla massa di fluido con cui abbiamo a che fare. In accordo con quanto riportato in bibliografia [15] possiamo scrivere:

∫

∫

+ + ρ ρ − = ∆ _{y d} y x d y y 0 x x 0 1 0 x dy u dy P u P P

dove con ux si è indicata la componente della velocità (nella stazione x) diretta secondo l’asse x,

che vale:

ux= wx senβx

Con ragionamenti analoghi a quelli fatti in precedenza si giunge ad ottenere la seguente espressione:

(

)

(

_*

)

3 x , w x x , w x , w 2 1 2 1 0 x sen d k sen d w 2 1 P δ − β + θ β ρ = ∆ (4.1.14) dove

(

)

∫

δ − = w,x 0 x 2 x x , w wˆ 1 wˆ dn k e successivamente si ottiene:

(

_*

)

3 x , w x x , w x , w 1 2 x sen kˆ ˆ sen σδ − β + θ β σ = ξ Ponendo

x , w x , w ˆ kˆ ' k θ = x , w * x , w w _ˆ ˆ H θ δ = si può scrivere

(

)

3 w x , w x 1 2 x , w x H ˆ sen ' k 1 sen ˆ θ − β + β σ θ = ξ (4.1.15)

Adottando per k’ il seguente valore (fornito dal “power velocity profile”)

1 H 3 H 1 ' k w w + + = e ponendo x x , w x sen ˆ a β σ θ = la (4.1.15) diventa

(

)

3 w x w w x 2 x 1 x H a 1 1 1 H 3 H 4 a sen sen − −       β β = ξ (4.1.16)

che fornisce dei valori leggermente diversi dalla (4.1.13) a causa del profilo di velocità all’interno della scia. Può anche essere interessante ricavare il valore del coefficiente di pressione medio locale; infatti considerando che:

x 2 1 0 x 0 1 w 2 1 P P = + ρ ξ (4.1.17) 2 1 1 0 1 1 0 w 2 1 P P P = = + ρ (4.1.18)

2 x x 0 x w 2 1 P P = + ρ (4.1.19)

e sostituendo le (4.1.18) e (4.1.19) nella (4.1.17) e dividendo per 2 1 w 2 1 ρ si ottiene: x 2 1 x 2 1 1 x w w w 2 1 P P 1 _ =ξ      − ρ − − da cui x 2 1 x 2 1 1 x x w w 1 w 2 1 P P p C _ −ξ      − = ρ − =

4.2 Perdite per mescolamento completo.

Facendo ancora riferimento alla figura riportata all’inizio del presente capitolo, nella stazione 2 si considera che il flusso sia uniforme in quanto completamente mescolato.

Quindi in accordo con quanto affermato da Scholz (vedi bibliografia) ed applicando l’equazione di continuità e la conservazione della quantità di moto lungo gli assi x ed y, si ottengono le seguenti relazioni:

(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

           β β ρ = β β ρ + β ρ = + β ρ β ρ = β ρ

∫

∫

∫

∫

+ + + + d y y x x x x 2 2 2 2 d y y 2 2 2 2 x d y y 2 x x d y y x x 2 2 d cos w sen w dy cos w sen w d P d sen w dy P dy sen w d sen w dy sen w (4.2.1)

mediante le quali si arriva a calcolare il coefficiente di perdita di pressione totale per mescolamento completo, ξv, che è dato da:

2 1 0 2 0 1 v w 2 1 P P ρ − = ξ

nonché la direzione effettiva e l’intensità di w2 (velocità all’infinito a valle) ed il salto da pressione

rispetto all’infinito a monte (stazione 1). Assumendo approssimativamente: 0 y P_x = ∂ ∂ ; 0 y x ₌ ∂ β ∂ (4.2.2)

ed essendo, secondo la definizione di strato limite

∫

+

∫

+

∫

+

(

)

=

(

−

)

    _{− −} = = d y y 1,x x d y y x d y y x 1,x x , 1 xdy w wˆ dy w d 1 wˆ dy w 1 b d w (4.2.3)

dove x * x , w x * x , w x sen ˆ sen d b β σ δ = β δ = ed anche

(

)

(

)

∫

y+d =

∫

+ =

∫

+ − + = _

∫

+ −

∫

+ − _ y d y y d y y d y y d y y x x x 2 x , 1 2 x x x 2 x , 1 2 x 2 x , 1 22 x dy w wˆ dy w wˆ wˆ wˆ dy w wˆ dy wˆ 1 wˆ dy w da cui ponendo x x , w x sen ˆ a β σ θ = diventa

(

x x

)

2 x , 1 d y y 2 xdy w 1 a b wˆ = − −

∫

+ (4.2.4)

Mediante le relazioni (4.2.2), (4.2.3) e (4.2.4) le equazioni (4.2.1) diventano:

(

)

(

)

(

)

         β β = − − β β − − β ρ − β ρ = − β = − β 2 2 2 2 x x x x 2 x , 1 x x x 2 2 x , 1 2 2 2 2 2 x 2 2 x x x , 1 cos sen w b a 1 cos sen w b a 1 sen w sen w P P sen w b 1 sen w (4.2.5)

Si fa notare che con l’indice 2 si indicano le caratteristiche del flusso mescolato e non quelle del flusso potenziale calcolate mediante l’integrazione dei vortici e delle sorgenti in presenza dello strato limite.

       ρ + = ρ + = = 2 2 2 0 2 2 x , 1 x 0 1 0 x w 2 1 P P w 2 1 P P P (4.2.6)

dalle equazioni (4.2.5) si ha che:

(

)

2 2 2 2 2 x x x x 2 2 x ,

1 sen 1 a b cotg w sen cotg

w β − − β = β β

da cui si può ricavare

(

)

2 x x x x 2 cotg b 1 b a 1 g cot β − − − = β (4.2.7) Fig.4.2.1

Indicando con il pedice 2p le condizioni del flusso nella stazione 2 calcolate mediante l’integrazione dei vortici e della sorgenti, si ha per l’equazione di continuità, che:

w1 senβ1= w2 senβ2 (4.2.8)

β + = β 2 g cot 1 1 sen dalla (4.2.7) risulta

(

)

(

) (

)

x 2 2 x x 4 x 4 x 2 2 g cot b a 1 b 1 b 1 sen β − − + − − = β (4.2.9)

sostituendo ora la (4.2.9) nella (4.2.8) si ottiene:

(

)

(

)

x 2 4 x 2 x x 1 1 2 cotg b 1 b a 1 1 sen w w β − − − + β = (4.2.10)

Tenendo conto della (4.2.8) e del sistema di equazioni (4.2.5) si può scrivere come:

(

)

_     − − − − β ρ = − ₂ x x x 1 2 2 1 2 x b 1 b a 1 1 sen w P P (4.2.11) Inoltre si ha che

(

)

_      − −       β β ρ = ρ − ρ = − 1 b 1 1 sen sen w 2 1 w 2 1 w 2 1 P P ₂ x 2 x 1 2 1 2 1 2 x , 1 x 1 (4.2.12)

Sommando la (4.2.12) e la (4.2.11) cambiata di segno, si ottiene la seguente relazione:

(

)

(

)

_            − − − − β + − β β − ρ = − 1 b 1 b a 1 sen 2 b 1 1 sen sen 1 w 2 1 P P ₂ x x x 1 2 2 x x 2 1 2 2 1 1 2

(

)

_     − − − − β +       − β β − = ρ − = 1 b 1 b a 1 sen 2 b 1 1 sen sen 1 w 2 1 P P Cp ₂ x x x 1 2 2 x x 1 2 1 1 2 2

Considerando che valgono le seguenti espressioni

            ρ + = ρ + = ξ ρ + = 2 1 2 0 2 2 1 1 0 1 v 2 1 0 2 0 1 w 2 1 P P w 2 1 P P w 2 1 P P

e risolvendo per ξv si ottiene infine

2 2 1 2 v Cp w w 1 _ −      − = ξ