1.1 TRASFORMAZIONE DEL POTENZIALE VETTORE PER UN ARRAY DI DIPOLI.

(1)

CAPITOLO 1

1.1 TRASFORMAZIONE DEL POTENZIALE VETTORE PER UN ARRAY DI DIPOLI.

In questo paragrafo verrà presentata una tecnica che consente di calcolare il potenziale vettore in un dominio trasformato in cui la convergenza della serie risulta più rapida.

Per illustrare questo metodo, consideriamo inizialmente il caso di un array monodimensionale di dipoli elettrici elementari di lunghezza dl, orientati secondo una generica direzione comune p, con asse coincidente con l’asse z di un sistema di riferimento Cartesiano come rappresentato in figura 1.1.

z

W

x

y

figura 1.1

(2)

Il potenziale vettore prodotto nel punto di coordinate ^{P x y z}

(

^{, ,}

)

da un singolo dipolo disposto nell’origine del sistema di riferimanto risulta:

( ) (

² ² ²

)

2 2 2

, , exp 4

jk x y z

A x y z Jdl p

x y z µ

π

− + +

= + + ,

dove k =2 /π λ è il numero d’onda.

Per ricavare il potenziale vettore dell’intero array, applichiamo il principio di sovrapposizione degli effetti ottenendo:

( ) (

² ² ²

)

2 2 2

exp ( )

, , 4 ⁿ ⁿ ( )

jk x y z nW

A x y z dl J p

x y z nW

µ π

∞

=−∞

− + + −

=

∑

+ + −

in cui si è indicato con W la distanza fra i dipoli ovvero la periodicità dell’array.

Supponendo inizialmente (questa ipotesi verrà rimossa nel seguito) che le correnti sui vari dipoli siano uguali in modulo e fase, la precedente espressione diventa:

( ) (

² ² ²

)

2 2 2

exp ( )

, , 4 n ( )

jk x y z nW

A x y z Jdl p

x y z nW

µ π

∞

=−∞

− + + −

=

∑

+ + − ^. (1.1.1)

Prendendo spunto da [2], per arrivare all’espressione trasformata di ( , , )A x y z , occorre per prima cosa applicare la formula di Poisson

(

0

) (

0

) ( )

1 exp

m m

jm t F m f t mT

T ^∞ ω ω ^∞

=−∞ =−∞

= +

∑ ∑

^,

con T =2 /π ω₀ e ^F^{( )}^ω ^{f t}

( )

^∞ ^{f t e}^{( )} ⁻^{j t}^ω^dt

−∞

= ℑ =

∫

⋅ ^. Facendo le seguenti posizioni:

(3)

(

² ² ²

)

2 2 2

exp ( )

( )

jk x y z nW f t mT

x y z nW

z t W T

n m

 − + + −

 + =

 + + −

 =

 =

 = −



si ottiene:

(

, ,

)

exp

(

2 /

) (

0

)

4 m

A x y z Jdl jm z W F m

W

µ π ω

π

∞

=−∞

=

∑

− ⋅ ^.

A questo punto rimane da esplicitare l’espressione della trasformata che risulta

(

² ²

) ₍ ₎

2 2

( ) ( )exp( ) ( )exp( ) exp jk a z exp

F f t j t dt f z j z dz j z dz

a z

ω ^∞ ω ^∞ ω ^∞ ω

−∞ −∞ −∞

− +

= − = − = − =

∫ ∫ ∫

+

⁼^{2K a}⁰

(

^ω²⁻^k²

)

in cui a² =x²+y² è il quadrato della distanza del punto di osservazione dall’asse dell’array e

0

( )

K ⋅ è la funzione modificata di Bessel di ordine zero il cui andamento è riportato in figura 2.1.

(4)

0 1 2 3 4 5

0 2 4 6 8 10

BESSELK(0,x)

x

figura 2.1

Pertanto l’espressione finale del potenziale vettore nel dominio trasformato risulta:

( )

² 0 ² ² ² ²

, , e 2

2

jm z W m

Jdl m

A x y z K k x y p

W W

µ π π

π

∞ −

=−∞

   

 

=

∑

⋅    − ⋅ + ⋅ ^(1.1.2)

Come si può notare dalla precedente figura 2.1, le funzioni modificate di Bessel (sia di ordine zero che di ordine uno) presentano un andamento che decresce molto rapidamente, rendendo la serie nel dominio trasformato rapidamente convergente.

Quando la quantità

2

2 m 2

W k

 π  −

 

  diventa negativa, allora l’argomento della funzione K0

( )

⋅ risulta immaginario puro e quindi, grazie alla seguente relazione [1]

( )

^e ² ⁽²⁾ ²

2

j j

K z j H z e

νπ π

ν _{= −} π ⁻ _⋅ ν ^ _⋅ ⁻ ^

 

  ,

la (1.1.2) si modifica in

(5)

( ) ( )

0⁽²⁾ ² ² ² ²

, , exp 2 / 2

2 m 2

Jdl j m

A x y z jm z W H k x y p

W W

µ π π π

π

∞

=−∞

 

−     

=

∑

− ⋅     − ⋅ + ⋅ , (1.1.3)

dove H0⁽²⁾

( )

⋅ è la funzione di Hankel del secondo tipo di ordine zero, la quale è definita per mezzo delle funzioni di Bessel di primo e secondo tipo nel seguente modo:

( ) ( ) ( )

(2)

0 0 0

H ⋅ =J ⋅ − jY ⋅ .

1.2 TRASFORMAZIONE DEL POTENZIALE VETTORE PER ARRAY BIDIMENSIONALE.

Il procedimento di calcolo mostrato nel precedente paragrafo può essere esteso anche al caso di un array bidimensionale di dipoli elettrici elementari. Infatti, per arrivare all’espressione del potenziale vettore nel dominio trasformato, in questo caso, è sufficiente applicare due volte la formula di Poisson.

Supponiamo che i dipoli dell’array siano orientati secondo una direzione comune individuata dal versore ˆp e che l’array si sviluppi lungo gli assi z e y di un sistema di riferimento Cartesiano; in questo caso, indicando con a e b i periodi di ripetizione lungo l’asse y e lungo l’asse z rispettivamente, il potenziale vettore nel punto di osservazione ^{P x y z}

(

^{, ,}

)

può essere scritto come

( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( )

2 2

2

2 2

2

exp , , ˆ

4 p q

jk x y pa z qb

A x y z p Jdl

x y pa z qb

µ π

∞ ∞

=−∞ =−∞

− + − + −

=

∑ ∑

+ − + − ^{. (1.2.1)}

Applicando la formula di Poisson prima alla coordinata y, la (1.2.1) diventa

( )

0 ² ² ²

( )

² ²

1 2

, , ˆ

4 2

j py a

p q

Jdl p

A x y z p K k x z qb e

a a

µ π π

π π

∞ ∞ −

=−∞ =−∞

   

 

=

∑ ∑

   − + −  ^{. (1.2.2)}

(6)

La precedente espressione può essere manipolata per ottenerne una forma equivalente alla quale applicare di nuovo la formula di Poisson. Infatti dopo alcuni passaggi algebrici l’espressione equivalente della (1.2.2) che si ottiene è

( )

0⁽²⁾ ² ² ²

( )

² ²

1 2

, , ˆ

4 4

j py a

p q

Jdl p

A x y z p H k x z qb e

aj a

µ π π

π

∞ ∞ −

=−∞ =−∞

   

 

=

∑ ∑

 −  ⋅ + − ⋅ ^{. (1.2.3)}

Infine si applica alla (1.2.3) la formula di Poisson relativamente alla coordinata z e si ottiene la seguente espressione finale del potenziale vettore prodotto da un array bidimensionale nel dominio trasformato:

2 2 2 2

2

2 2

2

2 2

exp e e

( , , ) ˆ

8 2 2

j py j qz

a b

p q

x k

a b

A x y z p Jdl

ab p q

a b k

π π

µ

π π π

− −

∞ ∞

=−∞ =−∞

     

−   +  − 

     

 

=

  +  −

   

   

∑ ∑

^{. (1.2.4)}

1.3 ESPRESSIONI TRASFORMATE DEL POTENZIALE VETTORE MAGNETICO E DEL POTENZIALE SCALARE.

Riconsiderando per semplicità il caso di un array monodimensionale e sfruttando il Teorema di Dualità, è possibile ricavare le espressioni del potenziale vettore magnetico a partire da quelle precedentemente determinate del potenziale vettore elettrico semplicemente compiendo le seguenti sostituzioni:

m

J J

A A

µ ε

 →

 →

 → .

Pertanto l’espressione del potenziale vettore magnetico nel dominio trasformato risulta la seguente:

( ) ( )

0 ² ² ² ²

, , exp 2 / 2

2

m m

m

J dl m

A x y z jm z W K k x y p

W W

ε π π

π

∞

=−∞

   

 

=

∑

− ⋅    − ⋅ + ⋅

(7)

Il potenziale scalare può essere determinato dalla seguente relazione che lo lega al potenziale vettore:

1 1 Ax Ay Az

j A j x y z

φ ωεµ ωεµ

∂ ∂ ∂ 

= − ∇i = −  ∂ + ∂ + ∂ . (1.3.1)

Per calcolare le precedenti derivate delle funzioni di Bessel è possibile sfruttare la seguente relazione ricorsiva

( )

z 1( )z

( )

z

ν ν z ν

ζ = −ζ ₊ +νζ

in cui ζ indica una qualsiasi funzione di Bessel o una combinazione lineare delle stesse. Si noti che le derivate rispetto alla variabile z non coinvolgono direttamente le funzioni di Bessel in quanto essa non compare nell’argomento delle stesse.

1.4 VERIFICA E CONFRONTO DELLA CONVERGENZA NEL DOMINIO TRASFORMATO.

In questo paragrafo vengono riportati i risultati delle prove effettute per verificare la convergenza delle serie che esprimono i potenziali vettore e scalare nel dominio trasformato.

Per ogni grafico relativo alle prove effettuate nel dominio trasformato viene anche riportato quello omologo relativo al dominio non trasformato in modo tale da poter confrontare il comportamento delle due serie al variare dei principali parametri che vengono per comodità riassunti di seguito:

- W: periodicità dell’array

- a: distanza del punto di osservazione dall’asse dell’array - z : altezza del punto di osservazione rispetto al piano xy _o

Le prove effettuate sono state di due tipi: nel primo tipo sono stati mantenuti fissi i parametri a e z ed è stato fatto variare il parametro _o W, mentre nel secondo caso sono stati fissati z e _o W ed è stato fatto variare il parametro a. Pertanto i grafici numerati da 1 a 4 sono relativi alle prove del primo tipo, mentre i grafici dal numero 5 al numero 14 sono relativi alle prove di secondo tipo.

(8)

-8 10^-6 -6 10^-6 -4 10^-6 -2 10^-6 0 2 10^-6 4 10^-6 6 10^-6 8 10^-6

0 10 20 30 40 50

POTENZIALE VETTORE TRASFORMATO:

f=3GHz, W=0.1λ, a=1.0λ, zo=0.0

RE(Az) IM(Az)

NUMERO TERMINI

grafico 1

-1 10^-5 -5 10^-6 0 5 10^-6 1 10^-5 1,5 10^-5

0 50 100 150 200 250 300

POTENZIALE VETTORE NON TRASFORMATO:

f=3GHz, W=0.1λ, a=1.0λ, zo=0.0

RE(Az) IM(Az)

NUMERO TERMINI

grafico 2

(9)

-1,5 10^-5 -1 10^-5 -5 10^-6 0 5 10^-6 1 10^-5 1,5 10^-5

0 10 20 30 40 50

f=3GHz, W=0.05λ, a=1.0λ, zo=0.0

RE(Az) IM(Az)

NUMERO_TERMINI

grafico 3

-2 10^-5 -1 10^-5 0 1 10^-5 2 10^-5 3 10^-5

0 50 100 150 200 250 300

f=3GHz, W=0.05λ, a=1.0λ, zo=0.0

RE(Az) IM(Az)

NUMERO_TERMINI

grafico 4

(10)

-6 10^-5 -5 10^-5 -4 10^-5 -3 10^-5 -2 10^-5 -1 10^-5 0 1 10^-5 2 10^-5

0 10 20 30 40 50

f=3GHz, W=0.05λ, a=0.1λ, zo=0.2λ

RE(Az) IM(Az)

NUMERO TERMINI

grafico 5

-8 10^-5 -6 10^-5 -4 10^-5 -2 10^-5 0 2 10^-5 4 10^-5

0 50 100 150 200

f=3GHz, W=0.05λ, a=0.1λ, zo=0.2λ

RE(Az) IM(Az)

NUMERO TERMINI

grafico 6

(11)

-8 10^-5 -6 10^-5 -4 10^-5 -2 10^-5 0 2 10^-5 4 10^-5 6 10^-5

0 10 20 30 40 50

f=3GHz, W=0.05λ, a=0.05λ, zo=0.2λ

RE(Az) IM(Az)

NUMERO TERMINI

grafico 7

-8 10^-5 -6 10^-5 -4 10^-5 -2 10^-5 0 2 10^-5 4 10^-5 6 10^-5

0 50 100 150 200

f=3GHz, W=0.05λ, a=0.05λ, zo=0.2λ

RE(Az) IM(Az)

NUMERO TERMINI

grafico 8

(12)

-0,0001 -5 10^-5 0 5 10^-5 0,0001 0,00015

0 10 20 30 40 50

f=3GHz, W=0.05, a=0.01λ, zo=0.2λ

RE(Az) IM(Az)

NUMERO TERMINI

grafico 9

-0,0001 -5 10^-5 0 5 10^-5 0,0001 0,00015 0,0002

0 20 40 60 80 100 120 140

f=3GHz, W=0.05λ, a=0.01λ, zo=0.2λ

RE(Az) IM(Az)

NUMERO TERMINI

grafico 10

(13)

-0,0002 0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001 0,0012

0 20 40 60 80 100

f=3GHz, W=0.05λ, a=0.001λ, zo=0.2λ

RE(Az) IM(Az)

NUMERO TERMINI

grafico 11

-0,0002 0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001 0,0012

0 20 40 60 80 100

f=3GHz, W=0.05λ, a=0.001λ, zo=0.2λ

RE(Az) IM(Az)

NUMERO TERMINI

grafico 12

(14)

-0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025

0 50 100 150 200

f=3GHz, W=0.05λ, a=0.0005λ, zo=0.2λ

RE(Az) IM(Az)

NUMERO TERMINI

grafico 13

-0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025

0 20 40 60 80 100

f=3GHz, W=0.05λ, a=0.0005λ, zo=0.2λ

RE(Az) IM(Az)

NUMERO TERMINI

grafico 14

(15)

I precedenti grafici mostrano solo l’andamento della componente z del potenziale vettore, al variare del numero di termini considerati nella serie, in quanto l’orientazione dei dipoli ˆp è stata scelta coincidente con il versore ˆz e quindi le componenti A ed _x A sono nulle _y (comunque sia anche per orientazioni generiche si ottengono andamenti per le tre componenti analoghi ai precedenti).

Innanzitutto si nota come i valori ottenuti nel dominio trasformato siano gli stessi di quelli ottenuti nel dominio non trasformato provando la correttezza dei calcoli e delle subroutine (scritte in linguaggio Fortran) per effettuare le simulazioni.

Dai grafici relativi alle prove di primo tipo si può notare che, fissati a e z , il numero di _o termini necessario per raggiungere la convergenza nel dominio trasformato è molto inferiore a quello necessario nel dominio non trasformato, il quale peraltro, aumenta al diminuire di W assieme all’ampiezza delle oscillazioni delle parti reali e immaginarie della relativa serie.

Dalle prove di secondo tipo, invece, si nota che il numero dei termini necessario per il raggiungimento della convergenza nel dominio trasformato è di poche unità per valori di a superiori o uguali ad un centesimo di λ mentre quello nel dominio non trasformato è di qualche centinaio.

Sempre nell’ambito delle prove di secondo tipo, occorre osservare che i comportamenti delle due serie si invertono al diminuire di a. Infatti è possibile determinare un valore limite dello stesso parametro attorno a W/ 20 oltre il quale la serie non trasformata converge più rapidamente rispetto alla serie trasformata. Questo comportamento si spiega notando che il parametro a, comparendo direttamente nell’argomento delle funzioni modificate di Bessel, rende quest’ultimo via via più piccolo con conseguente aumento del valore delle stesse funzioni e del numero di termini necessari per raggiungere la convergenza. Tuttavia dai grafici appare evidente che la parte immaginaria del potenziale vettore non risente del rallentamento della convergenza; ciò si spiega semplicemente osservando che l’argomento delle funzioni modificate di Bessel è una funzione pari e quindi esse assumono lo stesso valore sia per indici della sommatoria m positivi che negativi (di pari modulo); questo valore moltiplica il seno derivante dall’esponenziale complesso che, essendo una funzione dispari, cambia segno al variare del segno di m che compare nel suo argomento. Quindi i valori della parte immaginaria si elidono a due a due e il valore finale che si ottiene è relativo solo ai valori di m che rendono l’argomento delle funzioni modificate di Bessel immaginario puro, caso in cui non si ha più la suddetta eliminazione.

(16)

Per quanto riguarda il potenziale scalare vengono riportati i grafici numerati dal 15 al numero 20 relativi alla secondo tipologia di prove per i quali valgono considerazioni analoghe a quelle precedentemente discusse per il potenziale vettore.

-0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05

0 10 20 30 40 50

POTENZIALE SCALARE TRASFORMATO:

f=3GHz, W=0.6λ, a=0.1λ, zo=0.2λ

RE(POT_SCAL) IM(POT_SCAL)

NUMERO TERMINI

grafico 15.

-0,12 -0,1 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04

0 50 100 150 200 250

POTENZIALE SCALARE NON TRASFORMATO:

f=3GHz, W=0.6λ, a=0.1λ, zo=0.2λ

NUMERO TERMINI

grafico 16.

(17)

-0,35 -0,3 -0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05

0 10 20 30 40 50

f=3GHz, W=0.6λ, a=0.05λ, zo=0.2λ

NUMERO TERMINI

grafico 17.

-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05

0 50 100 150 200 250

f=3GHz, W=0.6λ, a=0.05λ, zo=0.2λ

NUMERO TERMINI

grafico 18.

(18)

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4

0 50 100 150 200

f=3GHz, W=0.6λ, a=0.01λ, zo=0.2λ

NUMERO TERMINI

grafico 19.

-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05

0 50 100 150 200

f=3GHz, W=0.6λ, a=0.01λ, zo=0.2λ

NUMERO TERMINI

grafico 20.

(19)

Infine è opportuno osservare che il tempo di calcolo aumenta all’aumentare del parametro a. La spiegazione a questo comportamento risiede nel fatto che le routine delle librerie matematiche usate per calcolare le funzioni di Bessel e di Hankel, approssimano tali funzioni mediante delle serie che, al crescere dell’argomento, necessitano di un numero sempre maggiore di termini necessari alla convergenza facendo aumentare il tempo di calcolo. Per ovviare a questo problema è bene usare le seguenti espressioni asintotiche [1]:

2 3

1 ( 1)( 9) ( 1)( 9)( 25)

( ) 1

2 8 2!(8 ) 3!(8 )

K z e z

z z z z

ν

π ₋  µ− µ− µ− µ− µ− µ− 

≅ ⋅  + + + + ⋅⋅⋅

  con µ =4ν²

valida per z ≥7 e

( )

(2) 2

( ) exp 0.5 0.25

H z j z

ν z πν π

= π ⋅ − − −

valida per z ≥80.

1.5 DETERMINAZIONE DELLA FUNZIONE DI GREEN NEL DOMINIO TRASFORMATO

L’espressione del potenziale vettore nel dominio trasformato determinata nei precedenti paragrafi è

( ) ( )

0 ² ² ² ²

, , exp 2 / 2

2 _m

Jdl m

A x y z jm z W K k x y p

W W

µ π π

π

∞

=−∞

   

 

=

∑

− ⋅    − ⋅ + ⋅ ^.

La relativa funzione di Green può essere ricavata considerando che A r soddisfa l’

( )

equazione di Helmholtz

2A k A2 J

∇ + = −

(20)

la cui soluzione è

∫

^⋅ ⁼ ^⊗

= ( , ') ' ( )

)

(r J G r r dr J G r

A _s _A _s _A .

Pertanto se si suppone che J_s sia di tipo impulsivo, allora il potenziale vettore precedentemente considerato coincide proprio con la funzione di Green.

La funzione di Green relativa al campo elettrico può essere determinata dal fatto che il campo irradiato da una generica distribuzione di corrente è dato da

∫

^⋅ ⁼ ^⊗

= J G(r,r')dS' J G (r)

E _E

dove G_E(⋅) è la funzione di Green, e che il campo elettrico è legato al potenziale vettore dalla seguente relazione:

( )

1 1

E j A A j A

j j

ω ω φ

ωεµ ωεµ

= − + ∇ ∇ ⋅ = − + ∇ . (1.5.1)

Quindi, supponendo che la corrente sia impulsiva, l’espressione del campo che si ottiene dalla (1.5.1) sostituendovi l’espressione di A r risulta anche uguale a quella della funzione di

( )

Green.

1.6 VALUTAZIONE DEL CAMPO ELETTRICO ED EFFETTO DELLA SINGOLARITA’

Il campo elettrico irradiato dall’array in esame può essere ottenuto esplicitando la (1.5.1).

Supponendo che la distribuzione di corrente sugli elementi dell’array abbia solo la componente ˆz diversa da zero, il potenziale vettore ad essa associato risulta diretto lungo ˆz :

( )

ˆ ˆ

z z

A r = A i⋅ .

In questo caso particolare il campo elettrico è dato da

(21)

( )

z z^ˆ ¹ ² ^z ^ˆx ² ^z ^ˆz ² ₂^z ^ˆz

A A A

E r j A i i i i

j x z y z z

ω ωεµ

∂ ∂ ∂ 

= − + ∂ ∂ +∂ ∂ + ∂ =

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

0

2

0 0 0

2 ˆ

2

2 ˆ ˆ 2 ˆ

jm z

z W

z m

jm z

z W

x y z

m

J dl m

j e K k x y i

W W

J dl jm jm

e K i K i K i

j W x y W

π

µ π

ω π

µ π π

ωεµ

∞ −

=−∞

∞ −

=−∞

   

 

= −    − +  +

    ∂ ∂ −  

+  −  ∂ ⋅ +∂ ⋅ +  ⋅ 

∑

(1.6.1)

Sono state qiundi effettute delle prove per valutare il comportamento della (1.6.1). Come prima prova si è fissato un punto d’osservazione di coordinate , ,x y z e si è fatto tendere la _o _o _o periodicità dell’array W all’infinito aspettandoci che, da un certo valore in poi dello stesso parametro, i valori di campo trovati coincidessero con quelli prodotti da un singolo dipolo elementare disposto nell’origine del sistema di riferimento. Dalla figura 3.1 si nota come il risultato della prova corrisponda con quanto previsto. Occorre sottolineare che al crescere di W è necessario aumentare il numero di termini della sommatoria per raggiungere la convergenza.

-0,024 -0,02 -0,016 -0,012 -0,008 -0,004 0

0 50 100 150 200

f=3GHz, xo=20.0λ, yo=0.0, zo=0.0

RE(Ez) array IM(Ez) array RE(Ez) dipolo IM(Ez) dipolo

W / λ

figura 3.1: valori di campo prodotti dall’array all’aumentare di W confrontati con quelli prodotti da un singolo dipolo

(22)

L’ altra prova effettuata ha riguardato la valutazione del diagramma di irradiazione. La figura 4.1 mostra il diagramma ottenuto.

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30

0 30 60

90 120

210

240

270

300

330

DIAGRAMMA DI IRRADIAZIONE f=3GHz, W=0.6λ

figura 4.1

Si nota come il precedente diagramma abbia la direzione di massima irradiazione uguale a 90°

coerentemente con le caratteristiche radiative di un array di dipoli orientati lungo ˆz e alimentati in fase. Si può tuttavia constatare la presenza di lobi laterali molto stretti di ampiezza maggiore di quella dei lobi principali. Queste effetto è dovuto al fatto che in corrispondenza di θ =0°, 180° e 360° si annulla l’argomento delle funzioni di Bessel dando origine a valori di campo elevati.

Per capire come affrontare questo problema si è studiato l’andamento del campo elettrico al diminuire della distanza a del punto di osservazione dall’ asse dell’array. Gli andamenti della componente zeta del campo elettrico che sono stati ottenuti sono riportati nelle figure 5.1-8.1.

(23)

0 5 10⁷ 1 10⁸ 1,5 10⁸ 2 10⁸

0 5 10^-5 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025 0,0003 EFFETTO SINGOLARITA'

f=3GHz, W=0.6λ, zo=0.0

a x λ

figura 5.1

0 5 10⁴ 1 10⁵ 1,5 10⁵ 2 10⁵ 2,5 10⁵ 3 10⁵ 3,5 10⁵ 4 10⁵

f=3GHz, W=0.6λ, zo=0.5W

a x λ

figura 6.1

(24)

0 1 10⁹ 2 10⁹ 3 10⁹ 4 10⁹ 5 10⁹

f=3GHz, W=0.06, zo=0.0

a x λ

figura 7.1

0 2 10⁵ 4 10⁵ 6 10⁵ 8 10⁵ 1 10⁶ 1,2 10⁶ 1,4 10⁶

f=3GHz, W=0.06λ, zo=0.5W

a x λ

figura 8.1

(25)

Dalle precedenti figure risulta evidente l’effetto della singolarità sull’andamento del campo elettrico: infatti, per valori di a compresi fra 10⁻⁴λ e 5 10⋅ ⁻⁵λ nel caso di W =0.6λ e inferiori a 5 10⋅ ⁻⁵λ nel caso di W =0.06λ, si ha un brusco aumento del valore di campo. Tale aumento risulta ancora più ripido se l’altezza z del punto di osservazione rispetto all’origine _o è diversa da zero.

Si è pensato, allora, di fissare un valore di a, appena prima dell’ aumento repentino dei valori di campo, da assumere come soglia. Quindi in corrispondenza dei valori di a inferiori alla soglia si è imposto al campo il valore che esso assume proprio in corrispondenza della soglia stessa. Con questa tecnica si è dunque ricalcolato il diagramma di irradiazione che viene mostrato di seguito in figura 9.1.

-150 -100 -50 0 50

0 30 60

90 120

210

240

270

300

330 DIAGRAMMA DI IRRADIAZIONE

f=3GHz, W=0.6λ

Si può adesso notare come i lobi laterali siano spariti e l’andamento del diagramma sia praticamente uguale a quello che si ottiene moltiplicando il diagramma d’irradiazione di un singolo dipolo per il fattore d’array.

La presenza della singolarità e la necessità della sua rimozione o attenuazione saranno anche oggetto di discussione nell’ ambito dell’applicazione della funzione di Green trasformata ai problemi di scattering.