Analisi Matematica 1 12 Gennaio 2015 COMPITO 1 1. Il numero complesso z 2 C con |z| = 7 tale che z(1 + i) |z|

Analisi Matematica 1 12 Gennaio 2015 COMPITO 1

1. Il numero complesso z2 C con |z| = 7 tale che z(1 + i)

|z|²+|z| + 1 2 R⁺

`e dato da

Risp.: A : z = 7e^i⇡4 B : z = 7e ^i⇡3 C : z = 7e ^i⇡4 D : z = 7e^i⇡3

2. Il limite

n!+1lim

⇥sin(e ⁿ+_n!²)⇤ ⇥ ₁

7ⁿ + 2ⁿ⇤ + 3 n [ln(n + 2) ln n]

vale

Risp.: A : +1 B : ³₂ C : 3 D : 0

3. Sia ↵ > 0. Il limite

x!0lim⁺

sin(7x²) cos x + 7↵

(sin x)^7↵+1 esiste finito se e solo se

Risp.: A : ↵ = ¹₇ B : ↵ = 7 C : ↵ = 0 D : ↵ = 3

4. Sia ↵2 R. La serie

X+1 n=0

(n!)^3↵sinh

✓ eⁿ (2n + 1)!

◆

converge se e solo se

Risp.: A : ↵ < ²₃ B : ↵ ²₃ C : ↵ > ²₃ D : ↵  ²₃

5. Sia ↵2 R. Allora la funzione f : R ! R data da f (x) = 3

32x⁴+ x³+ 12↵x²+ x + 1

`e convessa sul suo dominio se e solo se

Risp.: A : per nessun valore di ↵ B : ↵ ¹₃ C : ↵ < ¹₃ D : per ogni valore di ↵

6. L’integrale Z ₁

0

6x + 9 x²+ 2x + 2dx vale

Risp.: A : 3 ln⁵₂+3 arctan 2 ³₄⇡ B : 3 ln⁵_{2 4}³⇡ C : 3 ln⁵₂+3 arctan 2 D : 3 arctan 2 ³₄⇡

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy

(y⁰+ 5^{2 cos}_sin(2x)^{2x 1}y = 0 y(⇡/12) = 3p

2 Allora ˜y(⇡/4) vale

Risp.: A : 9p

2 B : 3 C : ³₄ D : 9p 2

8. Sia data la funzione

f (x) = 3 2

3

q

arctan²(x 1) ³ r4

⇡| arctan(x 1)|.

Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) dom(f ) =R e f `e pari V F (b) y = ³₂ ^⇡₂ ^{2/3 3}

q4

⇡

⇡

2 `e asintoto orizzontale per x! +1. V F (c) f ammette asintoto obliquo per x! 1. V F

(d) x = 1 `e punto di cuspide. V F (e) x = 2 `e punto di massimo. V F

(f) f non ammette punti di minimo relativo. V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.