TERMOFLUIDODINAMICA APPLICATA

Università Degli Studi Di Parma

Dipartimento di Ingegneria Industriale

DISPENSE DEL CORSO DI

TERMOFLUIDODINAMICA APPLICATA

Tratta dalle lezioni del prof.:

Angelo Farina

Redatte dagli studenti del corso dell’A.A. 2009-2010 Revisionate dagli studenti del corso dell’A.A. 2012-2013

Con la revisione finale di:

Andrea Santi Gianluca Lavacchielli

Data dell’ultima revisone: 07/02/2014

REVISIONE: Giulia Vianello – mat. 240107 Lezione del 07/03/2013 – 10:30-12:30

LEZIONE 1

Indice:

Astrazione Di Un Problema Reale ... - 1 -

Il Mondo Della Fisica ... - 2 -

Il Mondo Della Matematica ... - 4 -

Unità Di Misura: Introduzione ... - 5 -

Unita’ Fondamentali E Derivate ... - 6 -

Il Sistema Internazionale (SI) ... - 7 -

Precisione Ed Accuratezza ... - 10 -

Misura delle grandezze fisiche

Astrazione Di Un Problema Reale

I problemi che spesso incontriamo nascono dal mondo reale, ma non sempre sono risolvibili internamente ad esso. Il mondo reale (o mondo fisico) è costituito da ciò che ci circonda: auto, case, alberi, computer, etc. come indicato nella figura sottostante.

Gran parte dei problemi si risolvono nel mondo reale, quindi senza dover compiere calcoli o risolvere equazioni. Ad esempio un problema può essere affrontato e risolto per tentativi.

Non sempre però è possibile risolvere il nostro problema in modo diretto, occorre allora quindi ‘sollevarsi’ dal mondo reale e cercare di guardare il problema con il dovuto distacco. In questo modo entriamo in quello che viene chiamato il mondo della fisica.

Lezione del 07/03/2013 – 10:30-12:30

Il Mondo Della Fisica

Nel disegno le nuvole indicano la barriera esistente tra i due mondi in esame, ovvero il fatto che esistano limiti:

1) limite di astrazione: allontanarsi troppo con la sistematicità e la semplificazione;

2) limite di applicazione: non sempre la soluzione teorica è effettivamente applicabile.

Il passaggio dal mondo reale al mondo della fisica avviene mediante l’operazione di astrazione (semplificazione per categorie), una volta giunti nel mondo della fisica si risolve il problema (risoluzione) e mediante l’operazione di applicazione si portano i risultati nel mondo reale (non ci limitiamo a fare solo astrazione ma torniamo nel mondo reale dimensionando, progettando e costruendo case, macchine ecc..).

Nel mondo della fisica possiamo individuare 3 livelli molto importanti, tali livelli sono indicati sotto in ordine di veridicità decrescente:

1) Principi Fisici. I principi fisici rappresentano il più elevato livello di veridicità nel mondo fisico, essi quindi non possono essere messi in discussione. Esempio: i principi della Termodinamica.

2) Leggi Fisiche. Le leggi fisiche sono solo approssimativamente vere, esse descrivono il comportamento di oggetti ideali che nella realtà non esistono. Come esempio possiamo pensare ai gas perfetti: solo alcuni gas si comportano approssimativamente come i gas perfetti.

Osservazioni:

 le leggi fisiche è possono essere migliorate (i principi fisici no!).

Esempio di miglioramento: l’analogia di Reynolds modificata (o analogia di Colbun) in sostituzione all’analogia di Reynolds;

 quando usiamo le leggi fisiche stiamo sempre commettendo una certa percentuale di errore (esempi: 1%, 20%, 30%).

Questo fatto è inevitabile: l’importante è essere consci dell’entità dell’errore, cosicchè si può fare in modo di restare entro i limiti di accettabilità ci si si vuole prefissare.

3) Equazioni Empiriche. Le equazioni empiriche (legame causa-effetto) hanno il più basso livello di veridicità. Esse hanno una validità limitata in quanto si applicano solo in determinate condizioni, condizioni che in generale sono quelle sotto cui vengono svolte le prove sperimentali. In generale, infatti, un’equazione empirica si costruisce nel modo seguente:

 si svolgono adeguate prove sperimentali e si estraggono i dati numerici che interessa andare a correlare con l’equazione empirica;

 si “fittano” i dati (ovvero si cerca una curva analitica che riesca a interpolare tutti i dati). Anche in questa fase di lavoro bisogna svolgere delle scelte, come per esempio bisogna scegliere che tipo di curva si vuole utilizzare per il fitting (lineare, quadratica, logaritmica, esponanziale,…) e quale criterio (esempio: metodo dei minimi quadrati) si vuole utilizzare per decidere qual è la curva di “best fitting”, ovvero la curva che interpola i dati sperimentali con maggior precisione.

Per come sono ottenute, le equazioni empiriche sono molto pratiche da utilizzare e all’interno del loro campo di validità sono sicuramente attendibili perché derivano da un’analisi diretta del “mondo reale”, però di contro il problema è che il campo di validità spesso è molto ristretto e se si esce dal campo di validità della formula i risultati non sono più attendibili.

Il mondo della fisica non è fatto di oggetti come il mondo reale, ma bensì di grandezze fisiche. Una grandezza fisica è un attributo dell’oggetto che stiamo studiando, da osservare però il fatto che non tutti gli attributi di un oggetto costituiscono una grandezza fisica. Vediamo i seguenti esempi:

1) lunghezza: la lunghezza di un oggetto è una grandezza fisica.

2) colore: il colore è divenuto grandezza fisica solo recentemente, e la scienza che lo studia e la Colorimetria.

3) odore: l’odore di un oggetto non è ancora una grandezza fisica, la scienza che lo studia è la Odorimetria.

4) temperatura: la temperatura è diventata una grandezza fisica solo agli inizi di questo secolo.

Lezione del 07/03/2013 – 10:30-12:30

Il mondo della fisica non è però in grado di risolvere tutti i problemi del mondo reale, o meglio necessita di strumenti matematici più potenti quali il calcolo infinitesimale e le equazioni differenziali. A questo punto seguendo quanto fatto prima per il mondo reale cerchiamo di elevarci ad un più alto livello di astrazione: il mondo della matematica.

Il Mondo Della Matematica

Nella figura possiamo notare la posizione più elevata del mondo della matematica rispetto agli altri due. Anche in questo caso utilizzeremo una nuvola come rappresentazione della barriera esistente tra il mondo della matematica e quello della fisica.

Come detto prima il mondo della matematica comprende strumenti complessi come le equazioni differenziali ed il calcolo infinitesimale, quindi è facile intuire che in tale mondo non tutti possono operare dato l’elevato livello di astrazione. E’ bene quando possibile trovare una soluzione nei “mondi”

inferiori.

Cerchiamo ora di fare un esempio semplice di astrazione al mondo della matematica. Supponiamo che per risolvere un problema occorra utilizzare la legge di Fourier, tale legge appartiene al mondo fisico ma per risolverla occorre l’equazione differenziale di Fourier che appartiene al mondo della matematica. Ne consegue che per arrivare alla soluzione sarà necessario il seguente passaggio.

L’equazione differenziale rappresenta il reale evolvere dei fenomeni nello spazio-tempo, mentre la legge mi esprime la causa-effetto per spiegare il mondo reale, ma da sola essa non basta, infatti ha bisogno dell’equazione differenziale.

Unità Di Misura: Introduzione

Come già detto un oggetto reale viene caratterizzato nel mondo fisico descrivendo alcuni suoi attributi con opportune grandezze fisiche. Nasce quindi la necessità di quantificare queste grandezze fisiche e di distinguerle fra di loro. Consideriamo il caso di due oggetti, se un oggetto pesa più di un altro occorre quantificare questa differenza. Inoltre un oggetto è caratterizzato da più di una grandezza, e quindi vi è la necessità di distinguere tra di esse. Unendo le ultime due osservazioni si può capire la necessità dell’esistenza delle unità di misura.

Una unità di misura è sostanzialmente un riferimento invariabile che ci permette di misurare una data grandezza di un corpo: peso, lunghezza, volume, ecc…. Vediamo un esempio di come si esprime il valore di una grandezza

Lezione del 07/03/2013 – 10:30-12:30

Praticamente è come scrivere 75*1N dove 1N è la grandezza fisica di partenza.

L’equazione prende il nome di equazione dimensionale, e richiede che entrambe i membri della equazione devono avere le stesse dimensioni. Il segno di uguale è quello che ci permette di volare sopra il secondo banco di nuvole nel disegno precedente. L’unità di misura deve sempre comparire in una equazione dimensionale, non ha senso scrivere:

L = 7,5

Mentre ha senso scrivere:

L = 7,5 m

Oppure:

L = 7,5 mm

Questo perché ogni per ogni grandezza deve essere specificata sia la quantità che l’unità di misura. Ciò che abbiamo appena fatto solitamente viene chiamato analisi (o verifica) dimensionale, ed ha lo scopo di verificare la congruenza della equazione scritta.

Quando si esegue l’analisi dimensionale di una equazione occorre utilizzare le parentesi quadre, ad esempio per la lunghezza:

[L]

Unita’ Fondamentali E Derivate Consideriamo ora la legge di Newton:

F = m a

Si vede che la grandezza forza dipende dal prodotto di due grandezze.

Anche l’unità di misura della forza dovrà tenere conto di questo fatto, in generale si comprende che solo alcune unità di misura sono necessarie

(chiamate pertanto “fondamentali”) mentre le altre dipendono da queste (e pertanto sono dette “derivate”). Occorre quindi organizzare le unità di misura, tale compito e svolto dai sistemi di unità di misura. Noi utilizzeremo il Sistema Internazionale.

Il Sistema Internazionale (SI)

Il Sistema Internazionale ha il compito di regolamentare il sistema metrico, ed è attivo da circa trent’anni. Le grandezze fisiche vengono distinte in fondamentali e derivate, le fondamentali sono:

Grandezza fondamentale Simbolo Unità Di Misura

Lunghezza L m

Massa M kg

Tempo t s

Intensità Di Corrente Elettrica I A

Temperatura T K

Intensità luminosa I cd

Quantità Di Sostanza n kmol

Il Sistema Internazionale è un sistema coerente, cioè le unità di misura derivate sono derivate da quelle fondamentali tramite leggi fisiche senza fattori moltiplicativi. Vediamo come esempio la legge di Newton:

F = m a

Dimensionalmente:

[F] = [M L / t

]

Quindi se vogliamo derivare l’unità di misura della forza:

1N = 1kg 1m / 1s

La regola di derivazione è scritta con tutti i fattori uguali ad 1. Questo fatto non è banale, ad esempio nel Sistema Tecnico spesso comparivano fattori moltiplicativi, motivo per cui dal 1980 il Sistema Tecnico per legge è stato abolito, e quindi tuttora è illegale. Per esempio, il kgf (dicesi “kilogrammo forza”) era un’unità di misura del Sistema Tecnico, ed era definito come segue:

1kg

= 1kg

9,81m/s

Lezione del 07/03/2013 – 10:30-12:30

Come si nota, quando togliamo le unità di misura all’equazione essa risulta matematicamente errata, infatti ne esce che 1=1*9,81.

Nel sistema anglosassone sono ancora utilizzati le “libbre forza” mentre nel Sistema Internazionale si utilizzano i “kilogrammi massa” (kgm), ma non i kilogrammi forza, pertanto l’inicazione al pedice “m” della sigla “kg” nel Sistema Internazionale non ha più senso, e quindi è stata asportata. Tutt’ora si parla quindi sempre solo di “kilgrammo”, non di “kilogrammo massa”.

Occorre non confondere i coefficienti (numeri puri, quindi adimensionali) con le grandezze fisiche che compaiono nelle equazioni. Per esempio, il 9.81 che compare nell’ultima formula non è un coefficiente, ma una vera e propria grandezza fisica: in particolare corrisponde all’accelerazione di gravità, e solitamente si indica col simbolo g. Si definisce quindi:

g = 9,81 m/s

Quindi g non è affatto adimensionale!

Nella fisica alcune volte per rendere verificate l’equazioni bisognerà utilizzare delle costanti correttive ad esempio: costante gravitazionale universale, costante di Plank, ecc….

Esempio: costante gravitazionale universale (G)

G = 6,67 10

Nm

/kg

Nel Sistema Americano, o Anglosassone (SA) vengono utilizzate molte più costanti correttive che nel Sistema Internazionale (SI), ecco perché il Sistema Internazionale è considerabile migliore. A titolo d’esempio esaminamo sempre la legge di Newton:

SA: F = m a / g

; SI: F = m a

Gli Americani non avendo definito una forza campione coerente, ossia il Newton, ogni volta per rendere idonea l’equazione devono dividere l’accelerazione a per una costante chiamata gc. Già da questo esempio di

capisce come bisogna prestare molta attenzione quando si passa dal Sistema Anglosassone al Sistema Internazionale!

Nella scrittura dei valori delle grandezze e delle unità di misura occorre rispettare alcune convenzioni formali. Il calcolo dell’ingegnere è sempre affetto da errori numerici o sostanziali (è intrinseco nella professione..), però errori formali non sono tollerati, e per legge sono severamente punti (anche con condanne penali). Questo è dovuto al fatto che gli errori sostanziali derivano molto spesso da scelte personali, pertanto contengono una parte di soggettività e quindi si possono discutere, trattare e questionare, mentre invece gli errori formali sono errori tipografici assoluti, ovvero indiscutibili. Per questo motivo in caso di un eventuale processo se il giudice riscontra errori formali chi ha firmato la relazione di calcolo viene quasi sempre condannato.

In generale, le indicazioni tecniche che l’ingegnere è invitato a seguire quando progetta qualcosa (convenzioni tipografiche per la stesura di relazioni tecniche, convenzioni grafiche per i disegni tecnici, procedimenti di calcolo, procedure di test,…) si riscontrano nelle norme tecniche, che sono regolamentazioni redatte da diversi enti, locali e non: UNI per in Italia, CEN in Europa, ISO in tutto il Mondo. L’UNI è quindi l’ente di unificazione italiano, e come il CEN e l’ISO non è un apparato dello Stato, anche se poi le leggi dello Stato Italiano richiamano al loro interno le norme tecniche redatte dall’UNI.

In particolare, la norma che specifica le convenzioni tipografiche allo stato attuale dell’arte è la CNR-UNI 10003, che dà le seguenti indicazioni:

1) dopo l’unità di misura in generale non ci vuole il puntino. Scrivere

“10m.” è sbagliato!

2) sono consentiti solo multipli e sottomultipli di fattore 1000 per le unità di misura.

Esiste un’unica eccezione, il “bar”, unità di misura di pressione definito dal Sistema Internazionale come segue:

1bar = 10

Pa = 10

N/m

Dove il Pascal è definito sempre dal Sistema Internazionale, cui si rimanda per ulteriori indicazioni.

Questa eccezione è ammessa perché il bar è una unità di misura molto comoda in quanto 1bar corrisponde circa alla pressione atmosferica, in particolare:

p

= 101325 Pa = 1,01325 bar

Tornando alla regola generale, i multipli e sottomultipli di fattore 1000 sono stati normati con dei simboli appositi secondo questa tabella, riportata nel Sistema Internazionale:

Lezione del 07/03/2013 – 10:30-12:30

Prefisso Multiplo Simbolo

tera 10¹² T

giga 10⁹ G

mega 10⁶ M

kilo 10³ K

- 10⁰ -

milli 10^-3 M

micro 10^-6 µ

nano 10^-9 N

pico 10^-12 P

Osservando la tabella si comprende che molte unità di misura anche piuttosto utilizzate nella vita comune, quali il centimetro, il quintale, etc… sono fuorilegge, e non devono essere utilizzate nella stesura delle relazioni tecniche.

3) è obbligatorio utilizzare le grandezze derivate quando possibile, quindi è corretto per esempio scrivere:

75 N ; 27 Pa

Mentre è meglio evitare di scrivere:

75 kg m/s

; 27 N/m

Precisione Ed Accuratezza

Vediamo ora quali sono le norme che riguardano la precisione (approssimazione). Innanzitutto occorre fare una distinzione fra due terminologie che spesso vengono (erroneamente) confuse:

 imprecisione si ha quando si commette un errore casuale;

 inaccuratezza si ha quando si commette un errore sistematico;

Per spiegare le differenze tra questi concetti conviene fare il seguente esempio. Consideriamo un fucile a pallini che spara contro un bersaglio:

Nel bersaglio a sinistra si vede un tiro:

- preciso: infatti i colpi sono molto vicini tra loro;

- inaccurato: infatti non è stato preso il centro.

Mentre nel bersaglio di destra si vede un tiro:

- inpreciso: infatti i colpi sono molto distanziati fra loro;

- inaccurato: come nel bersaglio a sinsitra, non è stato preso il centro.

Quindi il tiro è tanto più preciso quanto la rosa è piccola, e tanto più accurato quanto più il “tiro medio” è vicino al centro. Entrambi i precedenti tiri sono inaccurati allo stesso modo, però quello di sinistra è più preciso.

Per chiarire ulteriormente il concetto (e per concludere la trattazione di tutte e quattro le possibili combinazioni del bersaglio) vengono proposti a seguire i due esempi di tiro accurato, il bersaglio a sinistra con un tiro anche preciso (tiro migliore, da cecchino!), mentre quello a destra con un tiro inpreciso:

Da un punto di vista degli strumenti di misura, la cosiddetta operazione di

“taratura” è l’operazione che permette di annullare l’errore sistematico. In Italia c’è un ente unico chiamato “SIT” (Servizio Italiano di Taratura) che è incaricato certificare le tarature di tutti gli strumenti di misura. Attenzione: la taratura annulla solo l’errore sistematico, mentre non influenza l’errore casuale: uno strumento tarato correttamente (certificato SIT) è quindi accurato, ma non è detto che sia anche preciso!

Lezione del 07/03/2013 – 10:30-12:30

Se quindi possiamo dire che l’accuratezza è un fattore che dipende da chi ha costruito lo stumento di misura, la precisione è invece un fattore che dipende invece da chi utilizza tale stumento. Ad esempio, un modo di aumentare la precisione è l’analisi statistica: si ripetono le misurazioni per n volte e poi si calcola la deviazione standard e l’intervallo di confidenza. Maggiore è il numero di prove n, più precisa sarà la misura. Attenzione: così come la taratura risolve solo il problema dell’accuratezza, l’analisi statistica risolve solo il problema della precisione: per effettuare delle buone misure è quindi necessario applicare sia la taratura che l’analisi statistica!

Vediamo ora in che modo si scrive il valore numerico di una grandezza in base all’errore con cui è nota. Consideriamo un valore di lunghezza sempre uguale (3*10⁶ m) e notiamo che in base a quale fattore moltiplicativo viene utilizzato per scriverla viene espresso (in maniera implicita) l’errore di misura (ovvero il parametro “epsilon”):

m ε 1

m 3000000

L = ⇒ =

m 10 km

ε 1 km 3000

L = ⇒ = =

m 10 Mm

ε 1 Mm 3

L = ⇒ = =

Quindi l’ordine dell’ultima cifra significativa mi dice l’errore con cui è noto il valore della grandezza. Per questo motivo sono importanti anche gli zeri dopo la virgola!

Nel caso in cui l’ordine di grandezza dell’errore non sia su multipli “legali”

dell’unità di misura si può utilizzare la notazione scientifica per scrivere il numero, ad esempio esempio:

m ε 10

m 10 30

L = ⋅

⇒ =

Il numero che moltiplica la potenza di dieci (in questo esempio 30) prende il nome di “mantissa”.

REVISIONE: Andrea Fiorani – mat. 245011 Lezione del 08/03/2013 – 10:30-13:30

- 1 - LEZIONE 2

Diffusione e Operazioni base con Excel

LA DIFFUSIONE ... 2

Introduzione ... 2

Legge di Fourier ... 2

Legge di Fick ... 3

Esercizio 1 ... 7

Esercizio 2 ... 11

ALLEGATI ... 13

OPERAZIONI DI BASE PER L’UTILIZZO DI MICROSOFT EXCEL^® .... 15

Formattazione ... 15

Risoluzione di una formula matematica ... 15

Come nominare una cella: ... 16

Operazione “copia-incolla” di celle: puntamento relativo ... 16

Operazione “copia-incolla” di celle: puntamento assoluto ... 17

Operazione “copia-incolla” di celle: puntamento per nome ... 18

Nominare una matrice ... 18

Inversa di una matrice ... 18

Prodotto di matrici ... 19

Grafici di dati sperimentali ... 20

BIBLIOGRAFIA E SITOGRAFIA ... 24

Lezione del 08/03/2013 – 10:30-13:30

- 2 -

LA DIFFUSIONE

Introduzione

Dicesi trasporto di materia il trasferimento di un componente di una soluzione da una regione a concentrazione maggiore ad una regione a concentrazione minore.

Il trasporto di materia può avvenire sia in fase liquida che in fase gassosa. [1]

La diffusione molecolare è un particolare fenomeno di trasporto di materia che coinvolge due specie chimiche differenti e può avvenire in un fluido in quiete o in un fluido in moto laminare. Ad esempio un gas che diffonde entro un altro gas o un gas entro un solido o un liquido.

Il trasporto di materia per diffusione molecolare è del tutto analogo alla trasmissione del calore per conduzione, anche se i due fenomeni potrebbero sembrare distinti in quanto nello scambio termico si ha trasporto di energia ma non necessariamente di materia. [1]

Grazie a questa analogia tra diffusione e scambio termico è possibile applicare equazioni formalmente simili per risolvere problemi riguardanti questi due fenomeni.

Legge di Fourier

Stabilisce la proporzionalità tra flusso di calore e gradiente di temperatura:

( ) ^T

grad

q ^ = − λ ⋅

Dove:

q

è la potenza termica per unità di superficie [W/m²];

λ è la conducibilità termica del mezzo 



⋅ k m

W (proprietà termofisica del materiale);

grad(T) è il gradiente termico fra due punti [K/m].

Nel caso in cui si voglia calcolare il flusso di calore attraverso una superficie generica è necessario integrare l’eq.1:

- 3 -

( ) ^{T dS}

grad

Q ^ = ∫ − λ ⋅ ⋅

Dove:

Q

è la potenza termica [W];

S è la superficie di scambio termico [m²].

Legge di Fick

La legge di Fick rappresenta l’equivalente in campo diffusivo della legge di Fourier:

( ) _m

D grad

v 

= −

⋅

(3) Dove:

vA

è la portata volumica della specie chimica “A” per unità di superficie, che quindi prende l’unità di misura di una velocità

















m ms

2

3 ;

DAB è la diffusività binaria e rappresenta quanto facilmente la specie chimica “A” diffonde nella specie chimica “B” [m²/s] (la diffusività è chiamata binaria perché dipende da entrambe le sostanze);

mA è la frazione massica della specie chimica “A” nella miscela [adim].

La frazione massica mA è esprimibile con le seguente relazione:

ρ m ρ

tot A

A

=

Dove:

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

ρ

Ovviamente nel caso si avesse una densità della sostanza “A” poco rilevante rispetto alla densità della sostanza “B” sarebbe possibile attuare un’approssimazione

ρ

ρ

ρ ρ

B A

m

Lezione del 08/03/2013 – 10:30-13:30

- 4 -

La legge di Fick come espressa nell’equazione (3) non è però la forma più conveniente per esprimere della legge di Fick. Questo perché in realtà la

vA

calcolata secondo l’equazione 3 non è la velocità con cui la specie chimica A diffonde nella B, anche se così potrebbe sembrare visto che, come notato prima, la quantità v_A

ha l’unità di misura di una velocità (ovvero m/s).

La velocità con cui la specie chimica A diffonde nella B (quantità che chiameremo v_diff,A

) è un argomento che verrà affrontato nella prossima lezione (trattando cioè la legge di Fick generalizzata), ma già adesso è utile anticipare che tale velocità si ricava a partire dalla legge di Fick in versione massica, ovvero:

A A A

diff,

v j

− ρ

=

 

Dove la quantità jA

 è appunto calcolata tramite la legge di Fick in versione massica.

Per via di questo fatto la legge di Fick in letteratura (così come fece in origine Adolph Fick) viene quasi sempre espressa in termini massici (o tuttalpiù molari), anche perché oltre ad eliminare l’ambiguità appena esposta consente un calcolo diretto della massa diffusa, che in generale è l’obiettivo del calcolo dei problemi di diffusione.

• Legge di Fick in versione massica:

( ) m D grad

ρ

j

= −

⋅

⋅



(4) Dove:

jA

 è la portata massica della specie A per unità di superficie 

 m2

s kg .

Nel caso in cui il fluido fosse incomprimibile (ovvero

ρ

( ) ρ D grad

j

= −

⋅



Che è la legge di Fick in termini massici semplificata.

La versione massica semplificata della legge di Fick si può anche applicare nel caso di muro massivo, ossia quando un gas (sostanza “A”) diffonde attraverso una parete (composto dalla sostanza “B” che ha densità molto maggiore rispetto a quella del gas stesso). In questo caso, infatti, l’errore che si commette è trascurabile:

- 5 -

costante

B tot B

A <<ρ ⇒ρ ≅ρ = ρ

• Legge di Fick in versione molare:

( ) _X

D grad

J 

= − C

⋅

⋅

(5) dove:

JA

è la portata molare della specie A per unità di superficie













m

s kmol

2 ;

Ctot è la concentrazione delle specie chimiche [kmol/m³];

XA è la frazione molare della specie chimica “A” [adim].

La frazione molare XA è esprimibile con la seguente relazione:

V V

n n C

X C

tot A

tot A

A= = (6)

dove:

CA è la concentrazione molare della specie chimica “A” [kmol/m³];

Ctot è la concentrazione molare del miscuglio [kmol/m³] (se ad esempio abbiamo una miscela bifase di una sostanza “A” ed una sostanza “B” si ha che Ctot=CA+CB);

nA è il numero di moli della specie chimica “A” [kmol];

ntot è il numero di moli totale del miscuglio [kmol];

V è il volume occupato dal miscuglio [m³].

Nel caso in cui si avesse Ctot=costante, grazie all’eq. 6, si potrebbe semplificare l’eq. 5:

( ) C D grad

J 

= −

⋅

Che è la legge di Fick in termini molari semplificata. La versione molare semplificata della legge di Fick si può applicare nel caso di gas perfetti, per i quali vale l’equazione di stato.

L’equazione di stato può presentarsi in forma molare:

R T n V

p ⋅ = ⋅

⋅

dove:

p è la pressione del gas [Pa];

V è il volume a disposizione del gas [m³];

n è il numero di moli del gas [kmol];

Lezione del 08/03/2013 – 10:30-13:30

- 6 -

R0 è la costante universale dei gas(che corrisponde a 8314.51

K kmol

J

⋅ );

T è la temperatura del gas [K].

L’equazione dei gas perfetti può anche esser scritta in forma massica (sapendo che

µ n= M ):

T R M R T

M V

p ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ µ

T R v

p ⋅ = ⋅

Dove:

M è la massa del gas [kg];

µ è la massa molare del gas [kg/kmol];

R è la costante specifica del gas considerato 



 





⋅ K kg

J ; ρ

=

=V M 1

v è il volume specifico del gas [m³/kg].

In questo caso per calcolare la concentrazione di una sostanza basta scrivere:

R T p V

C n

= ⋅

=

0

(9)

Quindi per calcolare la concentrazione di una determinata sostanza basta utilizzare l’eq. 9 sostituendo i valori di pressione (pparziale) (ovviamente si intende pressione parziale se la sostanza è miscelata) e di temperatura (T) relative alla sostanza d’interesse.

Se interessa la concentrazione totale (o anche la concentrazione di una sostanza non miscelata) invece basta usare i valori totali:

R T p V

C n

= ⋅

=

0

Analogamente si può calcolare la densità della specie chimica A:

T R

p

A A

A

= ⋅

ρ

- 7 -

Ovviamente RA è la costante specifica del gas “A”, espressa in 



 





⋅ K kg

J .

Esercizio 1

Un recipiente in pressione in acciaio a forma di cubo di lato L e spessore s contiene idrogeno a pressione p1 e temperatura T1. Calcolare:

1) La portata molare di idrogeno che diffonde attraverso le pareti del contenitore per unità di superficie;

2) Il tempo necessario poiché il numero iniziale di moli n1i di idrogeno contenute nel recipiente si dimezzi.

Dati:

s = 10 mm = 0.01 m L = 1 m

p1 = 100 bar = 10⁷ Pa T1 = 293 K

S = 9.01 ∙ 10^-3

bar m

kmol

⋅

3

Risoluzione:

1) Per il calcolo della portata molare specifica si può usare per comodità la versione molare della legge di Fick (eq. 5):

( ) _X

D grad

J 

= − C

⋅

⋅

Possiamo semplificare l’equazione di Fick grazie alla monodimensionalità del problema e scrivere:

Lezione del 08/03/2013 – 10:30-13:30

- 8 -

dx D dX

C

J

2

2

= − ⋅ ⋅

Possiamo quindi calcolare la frazione molare dell’idrogeno con:

C C

C C

X C

acciaio H

H tot

H

H

= = +

2 2 2

2

Dal momento che la densità dell’acciaio è molto maggiore di quella dell’idrogeno, e quindi CH2<<Cacciaio, si può considerare Ctot=Cacciaio=costante e quindi semplificare scrivendo:

dx D dC

J

2

2

= − ⋅

Risolvendo separando le variabili e considerando JH2 costante (anche se in realtà questo valore varierebbe nel tempo a causa della diminuzione della concentrazione dell’idrogeno all’interno del recipiente):

∫

∫

^{= −}

C AB C s

x

x

dx D dC

J _H

_H

Si ottiene:

[ ]

s

C C

J _H

^{= −} D

⁻

Il valore di diffusività D_AB può esser letto nella Tabella 1 in allegato:

D_AB = 0.26 · 10^-12 m²/s

Il valore C2 della concentrazione di idrogeno nell’interfaccia 2 può ritenersi nullo (poiché nell’atmosfera l’idrogeno è presente solo in una quantità estremamente piccola, circa 0.5 ppm), mentre il valore C1 della concentrazione di idrogeno nell’interfaccia 1 si calcola con la seguente relazione, valida nel caso di interfaccia solido-gas:

m S kmol

C

= p

⋅ = 100 ⋅ 9 . 01 ⋅ 10

= 0 . 901

- 9 -

Il valore di S, solubilità dell’idrogeno nell’acciaio, si può leggere dalla Tabella 2 in allegato:

S = 9.01 · 10^-3 _{m bar} kmol

⋅

3

Sostituendo ora i valori nell’equazione appena trovata si ottiene:

[ ]

s m

kmol

s C D C

J

⋅

⋅

= ⋅

−

= − ^{2 1 −12}₋₃ 2.343 10⁻¹¹ ₂ 10

10

901 . 0 10 26 . 0

2

2) Innanzitutto occorre calcolare il numero iniziale di moli di idrogeno per unità di volume, il che si può fare utilizzando la legge dei gas perfetti (infatti si l’idrogeno è in ottima approssimazione un gas perfetto):

3 5

1 0

1

1 1

1 4.105

293 51 . 8314

10 100

m kmol

T R

p V

C

n

Il numero finale di moli di idrogeno contenute nell’intero serbatoio per ottenere il dimezzamento dovrà quindi essere:

V

n

C

2

1

1 ^{= ⋅}

= ⋅ =

Il flusso di idrogeno attraverso l’intera superficie laterale A del cubo sarà:

s kmol

H

J

A

N

−

− ⋅ = ⋅

⋅

=

⋅



Infine il tempo necessario poiché il numero di moli di gas contenute nel recipiente si dimezzi è:

=

⋅

=

⋅

=

⋅

⋅ =

=

= ₋ s h giorni

N

t n

10 406 . 1

053 . 2

2



anni 0 .

=463

In realtà come già detto questo calcolo è un’approssimazione data dal fatto che si considerano concentrazione e pressione dell’idrogeno costanti all’interno del recipiente. In realtà queste diminuiscono durante la diffusione, quindi è possibile fare un calcolo più accurato del tempo di dimezzamento tenendo conto anche del fenomeno di diminuzione della pressione.

Lezione del 08/03/2013 – 10:30-13:30

- 10 -

Con un programma di calcolo (come ad esempio Excel^®) è possibile ottenere risultati più precisi usando le stesse equazioni citate durante lo svolgimento dell’esercizio.

Così facendo si possono ottenere grafici come quelli visibili in Grafico 1, Grafico 2 e Grafico 3.

In questo caso il tempo calcolato per il dimezzamento diventa:

anni giorni

h

t

Grafico 4: variazione del numero di moli dell’idrogeno all’interno del recipiente.

Grafico 5: variazione della portata in moli dovuta alla diffusione.

- 11 -

Grafico 6: variazione della pressione dell’idrogeno all’interno del recipiente.

Esercizio 2

Una membrana di gomma di spessore L separa due ambienti con pressione PA e PB; nell’ambiente A è presente idrogeno, mentre nell’ambiente B aria.

Determinare la massa di H2 che diffonde attraverso la membrana di gomma.

Dati:

DAB = 8.7 · 10^-8 m²/s S = 1.5 · 10^-3 m bar

kmol

⋅

3

L = 0.3 mm = 3 · 10^-4 m pA = 3 bar = 3 · 10⁵ Pa

Lezione del 08/03/2013 – 10:30-13:30

- 12 - Risoluzione:

Calcolo CA e CB, ovvero le concentrazioni di H2 alle interfacce A e B:

m p kmol

S

C

= ⋅

= 1 . 5 ⋅ 10

⋅ 3 = 4 . 5 ⋅ 10

Come nel caso dell’esercizio 1 si può considerare CB nullo a causa della quasi totale assenza dell’idrogeno in atmosfera.

Riprendiamo l’eq.5:

( )

2 tot AB H

H

C D grad X

J  = − ⋅ ⋅

Dal momento che CH2<<Cgomma si può considerare Ctot=Cgomma=costante, e quindi si può scrivere:

dx D dC

J

2

= − ⋅

E nello stesso modo dell’esercizio 1:

∫

∫

^{= −}

C

C H

AB L

x H x

B

A

D dC dx

J

Quindi si calcola:

[ ]

s m kmol

s C C

J

D

⋅

⋅

⋅

= ⋅

−

= − ⁻⁸ ₋₄ ⁻³ 1.305 10⁻⁵ ₂

10 3

10 5 . 4 10 7 . 8

2

Ora si può determinare la massa di idrogeno che si diffonde attraverso la membrana utilizzando la massa molare della molecola d’idrogeno (

kmol kg

H 2

2=

µ ):

m s J kg

j

⋅ ⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

= 8 . 7 10

2 1 . 74 10

2 2

2

µ

Se si vogliono determinare le concentrazioni C1 e C2 dell’idrogeno rispettivamente a sinistra e a destra della membrana possiamo scrivere:

m kmol T

R C p

3 5

0

1

0 . 123

293 51 . 8314

10

3 =

⋅

= ⋅

= ⋅

- 13 -

m C kmol

2

= 0

Osservazione: la concentrazione C1 appena calcolata è la concentrazione dell’idrogeno nell’ambiente a sinistra della membrana, mentre la concentrazione CA calcolata in precedenza è la concentrazione dell’idrogeno sul lato A della membrana, quindi è la concentrazione sulla membrana. La differenza fra C1 e CA sta quindi nel fatto che C1 riguarda l’ambiente (gas), mentre CA riguarda la membrana (parete solida).

ALLEGATI

Substance A Substance B T [K] DAB [m²/s]

Gases

NH3 Air 298 0.28 · 10^-4

H2O Air 298 0.26 · 10^-4

CO2 Air 298 0.16 · 10^-4

H2 Air 298 0.41 · 10^-4

O2 Air 298 0.21 · 10^-4

Acetone Air 273 0.11 · 10^-4 Benzene Air 298 0.88 · 10^-5 Naphthalene Air 300 0.62 · 10^-5

Ar N2 293 0.19 · 10^-4

H2 O2 273 0.70 · 10^-4

H2 N2 273 0.68 · 10^-4

H2 CO2 273 0.55 · 10^-4

CO2 N2 293 0.16 · 10^-4

CO2 O2 273 0.14 · 10^-4

O2 N2 273 0.18 · 10^-4

Dilute solutions

Caffeine H2O 298 0.63 · 10^-9 Ethanol H2O 298 0.12 · 10^-8 Glucose H2O 298 0.69 · 10^-9 Glycerol H2O 298 0.94 · 10^-9 Acetone H2O 298 0.13 · 10^-8

CO2 H2O 298 0.20 · 10^-8

O2 H2O 298 0.24 · 10^-8

H2 H2O 298 0.63 · 10^-8

N2 H2O 298 0.26 · 10^-8

Solids

O2 Rubber 298 0.21 · 10^-9

N2 Rubber 298 0.15 · 10^-9

CO2 Rubber 298 0.11 · 10^-9

He SiO2 293 0.4 · 10^-13

H2 Fe 293 0.26 · 10^-12

Cd Cu 293 0.27 · 10^-18

Al Cu 293 0.13 · 10^-33

Tabella 1: Valori del coefficiente di diffusione binaria per diverse sostanze. [2]

Lezione del 08/03/2013 – 10:30-13:30

- 14 -

Gas Solid T [K]





= ⋅

m bar kmol p

S C

A AB

3

O2 Rubber 298 3.12 · 10^-3 N2 Rubber 298 1.56 · 10^-3 CO

2 Rubber 298 40.15 · 10^-3 He SiO2 293 0.45 · 10^-3 H2 Ni 358 9.01 · 10^-3

Tabella 2: Valori della solubilità di alcuni gas in determinati solidi. [2]

System D0 [m²/s]

Oxygen - Pyrex glass 6.19 · 10^-8 Oxygen - fused silica glass 2.61 · 10^-9 Oxygen - titanium 5.0 · 10^-3 Oxygen - titanium alloy (Ti-6Al-4V) 5.82 · 10^-2 Oxygen - zirconium 4.68 · 10^-5 Hydrogen - iron 7.60 · 10^-8 Hydrogen-α - titanium 1.80 · 10^-6 Hydrogen-β - titanium 1.95 · 10^-7 Hydrogen - zirconium 1.09 · 10^-7 Hydrogen - Zircaloy-4 1.27 · 10^-5 Deuterium - Pyrex glass 6.19 · 10^-8 Deuterium - fused silica glass 2.61 · 10^-9 Helium - Pyrex glass 4.76 · 10^-8 Helium - fused silica glass 5.29 · 10^-8 Helium - borosilicate 1.94 · 10^-8 Neon - borosilicate 1.02 · 10^-10 Carbon - FCC iron 2.3 · 10^-5 Carbon - BCC iron 1.1 · 10^-6

Tabella 3: Valori dei coefficienti di diffusione binaria in alcuni solidi. [2]

- 15 -

OPERAZIONI DI BASE PER L’UTILIZZO DI MICROSOFT EXCEL

Formattazione

L’utilizzo di Excel^® è molto comodo per fare calcoli poiché permette di integrare numeri e variabili con testo, immagini, grafici e disegni in modo da spiegare il procedimento utilizzato nello stesso foglio dove vengono svolti i calcoli. In ogni cella è possibile inserire numeri, testi e formule.

Il comportamento del software Microsoft dipende molto dalla versione e dalla formattazione usata per il sistema operativo. Se per la prima non è possibile far niente se non reinstallare il pacchetto Office^®, per la seconda è possibile impostare quella preferita.

Per impostare la formattazione del sistema operativo è necessario entrare nel “Pannello di controllo” (il percorso più veloce è utilizzando il Menù dello “Start”), cliccare sulla dicitura “Paese e lingua” e modificare il formato secondo la preferenza. Il formato consigliato da utilizzare è “inglese (Regno Unito)”. Con questa formattazione il programma considera valido solo il punto come separatore delle cifre decimali di un numero.

Infatti scrivendo ad esempio in una cella 345,23 si noterà che il contenuto sarà spostato sul margine sinistro della cella (significa che Excel^® considera il contenuto come uno stralcio di testo e non come un numero).

All’opposto scrivendo 345.23 si otterrà lo spostamento del contenuto verso il margine destro della cella (significa che Excel^® considera il contenuto come un numero utile per svolgere calcoli).

Excel^® per come è stato programmato non distingue le maiuscole dalle minuscole, quindi non è possibile differenziare i nomi delle celle utilizzando solo queste, ma è necessario usare lettere diverse.

Risoluzione di una formula matematica

Selezionare la cella nella quale si desidera che il risultato venga visualizzato e scrivere la formula preceduta dal simbolo “=”. È possibile inserire nella formula dati contenuti in altre celle del foglio di calcolo, semplicemente cliccando sulle celle stesse.

È possibile nominare le celle nelle quali sono contenuti i dati che la formula elabora con un nome che indica la natura del dato stesso. In questo modo si facilita la comprensione delle formule qualora le si volesse visualizzare o modificare successivamente (vedi confronto in Figura 1).

Lezione del 08/03/2013 – 10:30-13:30

- 16 -

Figura 1: Confronto tra formule.

Come nominare una cella:

Selezionare la cella da nominare, sostituire il valore del riferimento cartesiano contenuto nel riquadro indicato dalla freccia rossa (vedi Figura 2) con il nome desiderato.

Figura 2: nomina di una cella.

Operazione “copia-incolla” di celle: puntamento relativo Si vuole copiare la cella C5, contenente la formula per calcolare l’area di un rettangolo, nelle celle C6 e C7. Per farlo è sufficiente selezionare la cella e trascinare la crocetta nelle celle sottostanti come mostrato in Figura 3.

- 17 -

Figura 3: copia-incolla.

In questo modo nelle celle C6 e C7 è stata automaticamente inserita la stessa formula, ma con i dati delle righe rispettivamente 6 e 7.

Operazione “copia-incolla” di celle: puntamento assoluto In alcuni casi può essere necessario copiare una formula in una cella e mantenere i riferimenti ai dati originali. Per fare ciò bisogna inserire nella formula originale il simbolo “$” davanti alla coordinata numerica (se si vuole mantenere il riferimento alla riga) e o letterale (se si vuole mantenere il riferimento alla colonna) dei dati di cui si vuole mantenere il riferimento assoluto.

Es: E10→$E$10.

Il simbolo “$” può essere velocemente inserito premendo il tasto F4 quando si è selezionato un dato durante la digitazione della formula.

È possibile inoltre bloccare solo la coordinata letterale, e non quella numerica, di un dato, o viceversa. Questa operazione è utile, ad esempio, se si vuole creare una matrice che abbia come elementi le ipotenuse di tutti i triangoli rettangoli che si ottengono combinando cateti di lunghezza intera compresa tra 1 e 7 metri.

Figura 4: creare una matrice.

Una volta scritta la formula (Figura 4), per copiarla in tutte le altre celle costituenti la matrice è sufficiente selezionare la cella contenente la formula,

Lezione del 08/03/2013 – 10:30-13:30

- 18 -

premere Ctrl+C (percorso veloce per la funzione “Copia”), poi selezionare tutte le celle della matrice e premere Ctrl+V (percorso veloce per la funzione

“Incolla”) (vedi Figura 5).

Figura 5: copia-incolla in più celle di una matrice.

La stessa operazione di “Copia-Incolla” può esser velocemente attuata anche trascinando, sulle celle in cui si vuole copiare il contenuto, il quadratino nero che appare sullo spigolo inferiore a destra della cella da copiare (una volta selezionatala).

Operazione “copia-incolla” di celle: puntamento per nome Per semplificare la scrittura delle formule con puntamento assoluto è comodo utilizzare la nominazione delle celle in cui si inseriscono i dati o le variabili. In questo modo scrivendo le formule usando i nuovi nomi delle celle è possibile mantenere il puntamento assoluto su queste senza dover aggiungere “$”.

Nominare una matrice

Per nominare una matrice bisogna selezionarla completamente e sostituire il testo come fatto in precedenza per nominare una cella.

Inversa di una matrice

Per prima cosa è utile nominare la matrice della quale si vuole calcolare l’inversa. Nell’esempio la matrice è stata chiamata “matr”. Selezionare le celle nelle quali Excel^® scriverà gli elementi della matrice inversa, poi scrivere la formula: =MATR.INVERSA(Matr). Infine premere Shift+Ctrl+Invio per attuare la formula sull’intera matrice.

La formula “MATR.INVERSA” è in genere tipica solo delle versioni in italiano del pacchetto Office^®, quindi nel caso si utilizzasse un pacchetto inglese la formula sarebbe “MINVERS”.

- 19 -

In ogni caso è possibile visualizzare l’elenco delle formule preimpostate di Excel^® cliccando su a sinistra della barra in cui vengono scritte le formule (evidenziata in Figura 6).

Figura 7: calcolare l'inversa di una matrice.

Prodotto di matrici

Per verificare che la matrice inversa appena scritta sia corretta si può effettuare il prodotto matriciale della matrice originale con l’inversa stessa. Il risultato dev’essere la matrice identità. Per prima cosa è utile nominare la matrice inversa, in questo caso è stato preso “Matrinv”. Selezionare poi le celle nelle quali Excel^® scriverà gli elementi della matrice prodotto e scrivere la formula: =MATR.PRODOTTO(Matr;Matrinv). Infine premere Shift+Ctrl+Invio.

Ovviamente il risultato che deriverà da questa operazione non sarà una perfetta matrice identità se non approssimando ad un numero finito di cifre decimali. Questo accade perché ogni calcolo gestito da un calcolatore è puramente numerico e quindi è sempre derivato da un’approssimazione che per quanto piccola non può mai essere inesistente.

Lezione del 08/03/2013 – 10:30-13:30

- 20 -

Figura 8: calcolare il prodotto di due matrici.

Grafici di dati sperimentali

Partendo da dati sperimentali è possibile creare grafici che ne visualizzino l’andamento. Il grafico di una spezzata che collega i punti si ottiene selezionando i dati (vedi Figura 9) , seguendo il percorso

“Inserisci/Grafico a linee” e inserendo le etichette degli assi cartesiani.

È possibile interpolare i punti del grafico con una curva che ne approssima l’andamento. Si può dapprima interpolare i dati sperimentali con una retta selezionando col tasto destro del mouse la spezzata precedentemente creata e scegliendo la voce “aggiungi linea di tendenza”;

spuntare le caselle relative alla visualizzazione sul grafico dell’equazione della curva e del valore del quadrato dell’errore di approssimazione R. Il risultato di questa operazione è visibile in Figura 10. L’obiettivo risulta quindi essere il calcolo dello scarto quadratico medio o deviazione standard degli errori di approssimazione delle curve di approssimazione, in modo da visualizzare numericamente quanto la curva considerata si discosta da quella dei dati sperimentali.

La deviazione standard o scarto quadratico medio misura la dispersione dei dati attorno al valore atteso ed è calcolata come di seguito:

( )

n x x

n

i i

x

∑

−

=

2

σ

dove:

σxè la deviazione o lo scarto quadratico medio (SQM);

xi sono i valori della grandezza considerata;

∑

= ⁿ_i xi

x n1 ₁

è la media aritmetica degli xi; n è il numero di dati presi in considerazione.

- 21 -

Figura 9: grafico di una spezzata.

Figura 10: Fitting di dati sperimentali con una retta.

All’equazione della retta calcolata da Excel^® e visualizzata sul grafico si sostituisce il valore di x con i valori della distanza (m) e si calcola successivamente R², cioè l’errore di approssimazione che individua quanto l’approssimazione lineare si discosta dalla curva dei dati sperimentali. In seguito si calcola con la differenza tra i valori dell’approssimazione lineare e quelli della velocità, come riportato in Figura 11.

Lezione del 08/03/2013 – 10:30-13:30

- 22 -

Figura 12: Calcolo dell’errore di approssimazione.

Inoltre si procede a calcolare, come spiegato in precedenza, lo scarto quadratico medio o deviazione standard scrivendo nella cella scelta

“=radq(media(R²))” , dove per “R²” si intende la selezione di tutti i valori di R² calcolati.

Figura 13: Calcolo dello scarto quadratico medio.

L’approssimazione lineare non fitta perfettamente i dati sperimentali.

Una polinomiale potrebbe approssimare meglio i dati.

Partendo dall’equazione generica di una parabola y=a⋅x²+d⋅x+e e da valori casuali dei coefficienti, si approssimano i dati sperimentali con una parabola come mostra la Figura 14.

- 23 -

Figura 15: Approssimazione dei dati sperimentali con una parabola.

Anche in questo caso si procede calcolando l’errore di approssimazione R² e successivamente lo scarto quadratico medio come nel caso precedente.

Utilizzando lo strumento “Solver” o “Risolutore” si possono risolvere problemi di ottimizzazione, in questo caso lo si può utilizzare per minimizzare lo scarto quadratico medio. Un modello di ottimizzazione è composto da tre parti: la cella obiettivo, le celle variabili e i vincoli. La cella obiettivo in questo caso è lo scarto quadratico medio, le celle variabili sono i coefficienti della parabola (ovvero a, d ed e) ed il vincolo è e≥0. Si procede a utilizzare risolutore accedendo da Dati/Risolutore come da Figura 16.

Figura 17: Visualizzazione dello strumento Solver.

In questo caso si trova la parabola che approssima meglio i dati sperimentali. Successivamente si procede costruendo il grafico della parabola come riportato nella Figura 18.

Lezione del 08/03/2013 – 10:30-13:30

- 24 -

Figura 18: Individuazione della cella obiettivo e costruzione della parabola che approssima meglio i dati sperimentali.

BIBLIOGRAFIA E SITOGRAFIA

[1] “Principi di trasmissione del calore” Frank Kreith, Liguori Editore;

[2] https://www.thermalfluidscentral.org/encyclopedia/index.php/

Thermophysical_Properties (in questo sito è possibile trovare diverse informazioni utili su proprietà termofisiche dei materiali ed alcune tabelle).