f g' = f g- f ' g FORMULA DI INTEGRAZIONE PER PARTI Più sinteticamente possiamo scrivere:

(1)

INTEGRALI PER PARTI ESERCIZI

FORMULA DI INTEGRAZIONE PER PARTI

Più sinteticamente possiamo scrivere:

∫f ∘ g' = f ∘ g- ∫f '∘ g

La formula è utile nei casi in cui la funzione integranda si può pensare come prodotto di due fattori: f (x) viene chiamato fattore finito e g’(x) dx è detto fattore differenziale.

’ RICORDA

In generale, negli integrali del tipo

∫xⁿ sinx dx, ∫xⁿ cos x dx, ∫xⁿ e^x dx Si considera

xⁿ = fattore finito Negli integrali del tipo

∫xⁿ lnx dx, ∫xⁿ arctan x dx, ∫xⁿ arcsin x dx Consideriamo

xⁿ =fattore differenziale

ESERCIZIO 1

Applichiamo direttamente la formula per l’integrazione per parti:

Poniamo

(2)

x = fattore finito = f(x)

sin x = fattore differenziale = g’ x f(x) = x → f’ x 1

’

sin Di conseguenza:

dg(x) = sin x dx → g x -cosx+C Il nostro integrale diventa:

1 ESERCIZIO 2

Ponendo:

 sin x= fattore finito

 e^x dx = fattore differenziale Abbiamo

 f(x) = sin x → f’ x cosx

 ’

→ dg x e^x dx → g x e^x + c Risulta quindi :

Risolviamo per parti anche il secondo integrale

Ponendo

f(x) = cos x= fattore finito g’ x e^x = fattore differenziale

(3)

otteniamo

Rimettendo insieme i risultati, abbiamo:

Ovvero :

1

sin ESERCIZIO 3

Ponendo:

 arctg x= fattore finito

 xdx = fattore differenziale Abbiamo

’

1 1 Ovvero :

1 Abbiamo poi

’ Da cui :

La primitiva è quindi

(4)

Ritornando al nostro integrale abbiamo :

1

1 Ora dobbiamo “lavorare” sull’integrale rimasto. Sommiamo e sottraiamo 1 al numeratore.

Otteniamo:

1 1 1

Otteniamo quindi 1 1

1 1

1 1 1

1 Ricomponiamo ora l’integrale di partenza:

1

1 1

1

ESERCIZIO 5

Quando compare lnx, lo consideriamo fattore finito. Applichiamo quindi la regola di integrazione per parti

(5)

Con

f(x) = ln x → ’

→ Per il fattore differenziale abbiamo

’

⇨ dg(x) = xdx ⇨ Rimettiamo insieme i pezzi:

1

ESERCIZIO 6

Possiamo risolvere quest’integrale per parti., applicando la regola

Quando compare l’esponenziale, esso diventa fattore differenziale, mentre l’altra funzione è considerato fattore finito.

Abbiamo

f(x) = x → ’

1 → ’

→ →

Il nostro integrale diventa:

1

ESERCIZIO 7

cos

Applichiamo la regola di derivazione per parti:

Consideriamo x fattore finito e

fattore differenziale.

(6)

Abbiamo cioè :

f(x) = x → ’

1 → ’

1

cos →

cos → Ricomponiamo il nostro integrale

cos sin

cos sin cos

Abbiamo perciò

cos ln cos

ESERCIZIO 8

ln 1 Innanzitutto poniamo

e^x = t da cui : x = ln t

Il nostro integrale diventa:

ln 1

(7)

Possiamo ora applicare la regola dell’integrazione per parti, considerando ln 1 t fattore finito e t come fattore differenziale. Abbiamo cioè

f(t) = ln(1+t)

’ 1

1 → 1 g’ t t → dg(t) = tdt

Applichiamo ora la formula per l’integrazione per parti

Otteniamo

ln 1 ln 1

1 ln 1 1

1

Lavoriamo sul secondo integrale, sommando e sottraendo al numeratore 1:

1 1 1

1 1

1 1 1

Scomponiamo il prodotto notevole t²-1 che compare nel primo integrale e semplifichiamo il denominatore:

1

1 1

1 1 1

1 1

1 1 1 1 Ricomponiamo ora il nostro integrale di partenza:

(8)

ln 1

ln 1 ln 1 1

1 1 1 1 ln 1 1

1

ln 1

ln 1 1

1

ln 1 ln 1 1

1

ln 1 Sostituiamo ora a t il valore che gli avevamo assegnato

e^x = t e otteniamo così la soluzione del nostro integrale:

ln 1

1

ln 1 OSSERVAZIONE :

Ricordando le proprietà dei logaritmi, possiamo anche scrivere 1ln 1 ln 1

ln 1

ln 1 ESERCIZIO 9

arcsin

Questo integrale apparentemente presenta una sola funzione. Possiamo però pensare che arcsin x sia moltiplicato per 1:

∫ arcsin 1 ∘ arcsin In questo modo possiamo porre:

f(x) = arcsinx → ’

’ 1 →

Applicando la regola di derivazione per parti otteniamo:

1 ∘ arcsin

1

Sappiamo ora risolvere il secondo integrale, applicando la regola di integrazione per le funzioni composte. Otteniamo perciò:

(9)

∫ arcsin 1

ESERCIZI PROPOSTI

:1

1

cos ln 1

:1

1

1 NOTA : Per risolvere questo integrale dovete immaginarlo scritto nella forma:

In questo modo abbiamo :

f(x) = x² → f’ x x

’ → per la regola di integrazione delle funzioni potenza composte

∫x e

^-x

dx

∫ln (2x+3) dx

∫x e

^2x

dx

∫(x

²

-1) e

^x

dx

∫x ∘3

^x

dx

∫ x

²

ln x dx

∫x sin3x dx 1

: arctan 1 1

ln 1

∫x

²

sinx dx R : (2-x

²

) cos x + 2x sinx+c

ln 1

1

(10)

1

ln

1 1

1 Suggerimento:

Considera l’integrale scritto nella forma:

1

In questo modo abbiamo : f(x) = x² → f’ x x ’

1