Scambio termico e di massa. Lind. Vietato alla vendita

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Lind

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Questi sono gli appunti riguardante al corso di Scambio termico e di massa dell’anno 2018-2019, sostenuto dal prof. Niro per il corso magistrale dell’ingegneria energetica.

Per la letteratura riferire a:

• Baehr and Stephan [1]

• Bejan and Kraus [2]

• Bird et al. [3]

• Incropera et al. [4]

• Iv and Lienhard [5]

Questi appunti sono vietati in vendita e spargere senza il consenso dell’autore.

Se lo trovo in giro giuro che ti strappo sia le tue budelle che quelle della tua madre Ps. Con questi appunti ho preso 30 a questo esame, sarete voi a decidere se fidarvi o no.

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1 Introduzione 7

2 Irraggiamento 9

2.1 Approssimazione ottica e geometrica . . . 10

2.2 Grandezze geometriche . . . 11

2.3 Le superficie ideali . . . 13

2.4 Emissione di banda . . . 17

2.5 Superfici reali . . . 19

2.6 Superficie irradiata . . . 22

2.7 Teorema di Kirchhoff . . . 24

2.8 Superficie selettiva . . . 25

2.9 Effetto serra . . . 26

2.10 Irraggiamento solare e atmosferico . . . 27

2.11 Scambio termico radioattivo tra superfici (reali ma opache) . . . 29

2.12 Metodi per determinare fij . . . 31

2.13 Scambio termico radioattivo . . . 33

2.14 Analogia elettrica . . . 35

2.15 Scambio radioattivo tra n superfici . . . 36

2.16 Superficie non opaca (semi-trasparente) . . . 40

2.17 La radiazione riflessa e rifratta . . . 41

2.18 Applicazione . . . 42

2.19 Irraggiamento nei gas . . . 45

3 Conduzione 49 3.1 Trasporto di energia nei punti materiali fermi . . . 49

3.2 Conduzione (diffusione). . . 50

3.3 Il valore di k nei mezzi . . . 52

3.4 Con la produzione di potenza . . . 55

3.5 Le condizione a contorno (BC). . . 55

3.6 L’interfaccia complementare . . . 56

3.7 Flusso di calore caso stazionario . . . 57

3.8 Modello a circuito equivalente . . . 61

3.8.1 Geometria cilindrica . . . 61

3.8.2 Utilizzo del modello a circuito equivalente con la generazione di potenza . . . 64

3.8.3 Geometria sferica . . . 64

3.8.4 Riassunto delle Resistenze equivalente . . . 65

3.9 Geometria 2D . . . 65

3.10 Applicazione pratica: le alette . . . 68

3.10.1 Punta adiabatica . . . 72

3.10.2 Punta non adiabatica . . . 74

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3.11 Laminazione . . . 74

3.11.1 Casi particolari . . . 77

3.12 Caso 2D . . . 78

3.13 Modelli a parametri concentrati . . . 79

3.13.1 Forzanti . . . 84

3.14 Dimensione 1D, piano semi-infinito . . . 89

3.15 Una lastra di dimensione finita. . . 96

3.16 Facoltativo: determinare Cn . . . 99

3.16.1 Geometria 1D piana . . . 100

3.16.2 Geometria 1D cilindrica . . . 101

3.16.3 Geometria 1D sferica . . . 102

3.17 Facoltativo 2: mezzo semi-infinito con la sollecitazione periodica . . . 103

4 Scambio di massa 109 4.1 Equazione della conservazione di massa . . . 111

4.2 Sistema bi-componente . . . 113

4.2.1 Interazione gas-gas . . . 114

4.2.2 Interazione gas liquido . . . 115

4.2.3 Le condizioni a contorno . . . 116

5 Avvezione 125 5.1 Equazioni di conservazione . . . 127

5.2 Fluido incomprimibile . . . 144

5.3 Campo di velocità 2D. . . 145

5.3.1 Adimensionalizzazione . . . 146

5.3.2 Limiti notevoli . . . 149

5.4 Flussi di parete . . . 150

5.4.1 Stratto limite . . . 152

5.4.2 Andamento di velocità nello stratto limite su lastra piana . . . 155

5.4.3 Valore medio del coefficiente termico . . . 160

5.5 Convezione di una lastra piana e superficie cilindrica . . . 160

5.6 Convezione interna . . . 171

5.6.1 Campo di velocità . . . 171

5.6.2 Campo di temperatura . . . 172

5.6.3 Convezione in un tubo . . . 174

5.6.4 Quantità di moto . . . 175

5.6.5 Gli sforzi . . . 176

5.6.6 Bilancio di energia . . . 176

5.6.7 All’imbocco . . . 178

5.6.8 Convezione interna turbolenta . . . 179

5.7 Convezione naturale . . . 179

5.7.1 Soluzione in similitudine o col metodo integrale . . . 183

5.7.2 Turbolenza . . . 185

5.7.3 Legge di parete . . . 188

Bibliografia 195

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Introduzione

Il trasporto avviene in due modi:

• radioattivo, quindi in assenza di massa, dove varia l’energia

• in presenza di massa, quindi convettivo, conduzione ecc.

Nella realtà avviene una mix tra due modalità di scambio termico.

Il trasporto avviene anche a livello microscopico (dove varia l’energia e magari anche la densità ), molecolare (diffusivo) e a livello macroscopico (avvettivo).

avvezione + diffusione =⇒ convezione (1.1)

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Irraggiamento

Figura 2.1: Il corpo A e il corpo B in equilibrio termico

Riferendo alla Figura 2.1 il sistema andrà ad un equilibrio, c’è stato un travaso di energia, generalmente dal corpo più caldo al corpo più freddo radiazione → radiazione.

Andando al fine della materia, fatta degli atomi, gli e⁻ non stanno mai fermi, ma cambiano il loro livello energetico in maniera quantizzata → meccanismo di scambio di energia elettromagnetica.

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2.1. APPROSSIMAZIONE OTTICA E GEOMETRICA

Figura 2.2: Spettro delle onde

Lo scambio di energia elettromagnetico avviene a diversi livelli di lunghezza d’onda.

La radiazione termica include il range 0.1 ÷ 100 µm. Il motivo è semplice, perché le onde elettromagnetiche di questa lunghezza d’onda, interagendo con la materia viene trasferita l’energia cinetica traslazionale, rotazionale e vibrazionale, che non è altro l’energia interna. Questa energia cinetica viene definita come l’energia interna perché è un energia non organizata, caotica e casuale, mentre l’energia cinetica è un energia organizzata, che ha un verso di preferenza.

Nel caso micronde avviene in due fasi, solo le molecole polari rispondono seguono le oscillazioni del campo elettromagnetico, dopo un po’ tutte le ci sarà un equagliazione delle direzioni. Quindi questo caso non è radiazione termica, ma l’energia cinetica (organizzata) che una volta rilasciato le oscillazioni, viene trasformata in energia interna (non organizzata) con un processo spontaneo.

Spettro termico: intervallo di lunghezza d’onda che portano dal campo elettromagnetico direttamente all’energia interna, spesso si fa riferimento al campo del visibile, ma attenzione, non tutta la radiazione termica è il visibile.

La prima caratteristica dell’energia termica è di natura spettrale, la seconda caratteristica è di natura direzionale, quindi dipende dalla direzione.

I problemi di radiazione termica vengono risolti con l’equazione di Maxwell, si utilizza approssimazione dell’ottica e geometrica. Questo metodo è valido quando la lunghezza d’onda è piccola rispetto alle dimensione caratteristiche dell’oggetto in considerazione.

2.1 Approssimazione ottica e geometrica

Figura 2.3: Coordinate polari Figura 2.3 esprime le coordinate polari sferiche con:

r = |OP| 0 < θ < π 0 < ϕ < 2π {x, y, z} → {r, θ, ϕ} (2.1)

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dω := dA r² [sr]

Figura 2.5: Angolo solido steradiante

Dal Figura 2.5, si calcola l’angolo solido integrando per tutta emmisfera.

Ω = Z

dω = Z

0<θ<π 0<ϕ<2π

sin θ dθ dϕ = 2π[− cos θ]^2π₀ = 2π [sr] (2.2)

dove

dA = db · dh = r²sin θ dθ dϕ (2.3)

dh = r dθ (2.4)

db = r sin θ dϕ (2.5)

2.2 Grandezze geometriche

Intensità monocromatica si riferisce ad una sola lunghezza d’onda.

λ =⇒ λ +dλ ω =⇒ ω +dω dA⊥ =dA cos θ

Figura 2.7: Grandezze radiometriche

I_λ := dQ

dA⊥dω dλ = ˜I(λ, θ, ϕ, T ) I_λ varia con λ, θ, ϕ (2.6) Dove Iλ è l’intensità monocromatica (si riferisce solo ad una lunghezza d’onda).

Attenzione il cono nella Figura 2.7che parte dal punto P non si allarga all’infinito.

Per una superficie diffusa, l’energia che passa per un unità di superficie proiettata è costante per qualunque le direzioni, quindi ciò non dipende da θ e ϕ, quindi:

I_λ = ˜I_λ(λ, θ, ϕ, T )superficie diffusa

= I_λ⁰(λ, T ) (2.7)

Quindi segue che per la superficie diffusa → dQ

dA^⊥ = dQ

dA cos θ =const.

N.B. dQ 6= const e dA 6= const

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2.2. GRANDEZZE GEOMETRICHE La superficie diffusa viene chiamata anche superficie D’Alambertiana.

Riprendendo l’Equazione 2.6, il dQ è di ordine infinitesimo 5.

Iλ :=

deve essere di ordine 5

z }| { d⁽⁵⁾Q dA cos θdω

| {z }

infinitesimo di 2nd ordine

dλ

|{z}

infinitesimo di 1st ordine

(2.8)

• Iλ^e: intensità emessa, dove e sta per l’emissione

• Iλⁱ: intensità incidente, dove i sta per l’incidenza

• I_λ^e+r(λ, θ, ϕ, T ): radiosità , dove r sta per radiazione

La radiosità è la potenza che viene intercettata o percepita, cioè dipende da θ, ϕ, λ, e T . I_λ^e è l’energia emessa dalla superficie

I_λ^e+r è l’energia che lascia la superficie



→ I_λ^e+r> Iλ^e

Spesso nei conti si usa una media spaziale

Figura 2.8: Emisfero

Allora si fa una media sull’emisfera, come mostrato Figura 2.8.

Il potere emissivo monocromatico è:

E_λ := d⁽³⁾Q^e

dA dλ non c’è né θ né ϕ (2.9) Irradianza monocromatica:

Gλ := d⁽³⁾Qⁱ

dA dλ −→ (2.10)

c’è da prestare attenzione che per l’irradianza la superficie si intende quella che intercetta i raggi, cioè quello intorno al punto P.

Radiosità monocromatica:

J_λ := d⁽³⁾Q^e+r

dA dλ (2.11)

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









I_λ := d⁽⁵⁾Q^e dA cos θ dωdλ E_λ := d⁽³⁾Q^e

dA dλ

−→ Iλcos θ = d⁵Q

dA dω dλ = d⁽²⁾

dω " d⁽³⁾Q dA dλ

#

= d⁽²⁾E_λ

dω (2.12)

Sostituendo allora si ha:

E_λ = Z

dEλ = Z

Emisf era

I_λ^ecos θ dω =

2π

Z

0

dϕ

2π

Z

0

I_λ^ecos θ sin θ dθsuperficie diffusa

=

= I^e(λ, T )

2π

Z

0

dϕ

2π

Z

0

sin θ cos θ dθ = I^e(λ, T )2π

2π

Z

0

sin 2θ 2 dθ

| {z }

1/2

= πI^e(λ, T ) (2.13)

Allo stesso modo, la procedura dell’Equazione 2.13 può essere applicata anche alle altre due grandezze dell’Equazione 2.11e Equazione 2.10.

Le grandezze emisferiche:

Monocromatiche Totali

E_λ = d⁽³⁾Q^e

dA dλ Potere emissivo E := d⁽²⁾Q^e dA

G_λ = d⁽³⁾Qⁱ

dA dλ Irradianza G := d⁽²⁾Qⁱ dA

J_λ = d⁽³⁾Q^e+r

dA dλ Radiosità J := d⁽²⁾Q^e+r dA

Le grandezze totali sono la media su tutto lo spettro, facendo lo stesso gioco di prima si trova il legame tra il potere emissivo monocromatica con quello totale:

E_λ = d⁽³⁾Q^e dA dλ = d

dλ

" d⁽²⁾Q^e dA

#

= dE

dλ (2.14)

E = Z

dE =

∞

Z

0

Eλ dλ =

∞

Z

0

dλ

2π

Z

0

dϕ

π/2

Z

0

Iλsin θ cos θ dθ (2.15)

La radiazione termica è stata definita nell’intervallo di 0.1 µm < λ < 100 µm, ma nell’Equazione 2.15 è stato integrato su tutto il campo. Questo è dovuto al fatto che l’integrale degli altri non danno il contributo, tranne che sia un corpo nero (assorbitore ideale). In questo corso si utilizzeranno le grandezze emisferiche totali o quelle totali.

2.3 Le superficie ideali

Ad un ingegnere energetico interessa due famiglie di casi: casi da un contesto industriale e quelli del contesto ambientale, sia indoor che outdoor. Sulle lampade led il vetro assorbe

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2.3. LE SUPERFICIE IDEALI la luce monocromatica, ne trasforma poi in uno spettro più ampio.

Una superficie ideale è un "corpo" assorbitore totale, che assorbe indipendentemente dalla lunghezza d’onda (λ) e dall’incidenza (θ e ϕ). Questa superficie assorbe anche tutta la potenza, ma a patto che cambi lo stato, per es. la temperatura cambia poi. Questa superficie assorbe la potenza più di quanto, alla stessa temperatura, che nessun altro superficie riesca a fare.

Nella realtà un pezzo di ferro arrugginito risponde abbastanza bene a questa caratteristica, che assorbe quasi tutte lunghezza d’onda e tutte le incidenze. Questa superficie viene chiamata superficie nera, questa definizione perché generalmente appare nero nel campo del visibile.

Nota. Non è detto che qualcosa di nero fosse una superficie nera. Per contro non è detto che il bianco fosse l’opposto della superficie nera. Infatti la neve, non assorbe niente nel visibile, ma sotto 0.4 µm assorbe tutto. Una superficie nera, oltre ad essere un’assorbitore totale, gode altre proprietà . Allo stesso tempo un emettitore ideale, che per una data lunghezza d’onda e temperatura, nessun altro corpo riesce ad emettere quanto esso. Questo si può dedurre o sperimentalmente, facendo delle misure, o facendo dei ragionamenti termodinamiche. Supponendo il corpo A, corpo nero alla data temperatura emette 100, in mutuo equilibrio con un’altro corpo, il corpo B ne assorbe e poi ne emette 50, la parte di energia non emessa, allora aumenta la temperatura. La situazione è che un corpo nero in mutuo equilibrio con l’ambiente (corpo B) inizia a riscaldarsi, il ché è impossibile. É vietato una situazione del passaggio da uno stato di equilibrio ad uno non equilibrio spontaneo.

Questo ci porta dire che il potere emissivo di un corpo nero è solo in funzione della temperatura:

E_b = ˜E_b(T ) = c₃T⁴ = σT⁴ Legge di Stephan-Boltzmann (2.16) dove σ = 5.67 · 10⁻⁸ W

m²·K⁴ è il constante di Stefan-Boltzmann . L’Equazione 2.16 è una legge trovata sperimentalmente in primo momento, poi viene calcolata anche analiticamente. Per capire se un corpo fosse nero, basta misurare la potenza emessa data una certa temperatura, se fosse uguale al valore c3T⁴ allora è nero.

Questo porta un’altra scoperta.

Figura 2.9: Un corpo vuoto all’interno con una piccola cavità

Nella Figura 2.9 mostra un corpo di forma generica, di temperatura precisa, quindi si trova ad uno stato di equilibrio stabile, in cui all’interno l’unico modo che avvenga lo scambio fosse uno scambio elettromagnetico. Si suppone di fare un forelino, allora si misura l’intensità della radiazione. Poi si vede che la radiazione non dipende né da θ né da ϕ, quindi è una radiazione diffusa. Poi se si va a misurare la radiazione integrale su tutto lo spettro, allora si trova che la radiazione è uguale all’Equazione 2.16. Se cambio il materiale, ripetendo l’esperimento, trovo lo stesso risultato. Qualunque fosse la superficie all’interno il risultato è lo stesso.

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Allora si definisce anche lo spettro per un corpo nero:

E_b = ˜E_b(T ) (2.17)

E_λb= ˜E_λb(λ, T ) (2.18)

L’emissione monocromatico non dipende da θ e ϕ perché o il corpo è diffusivo o è stato fatto la media sulla superficie.

Se si va a fare il grafico il risultato è riportato in Figura 2.10Al variare della temperatura

Figura 2.10: Lo spettro di un corpo nero a diversi temperatura l’emissione varia secondo la legge di T⁴ definita dall’Equazione 2.16.

Nota. L’insieme delle curve dellaFigura 2.10non intersecano mai, infatti se intersecassero, la T1 ad un certo punto emetterebbe più energia di T2, come mostrato in Figura 2.11

Figura 2.11: La dimostrazione che le curve nella Figura 2.10non intersecano mai Ci furono vari tentativi di scrivere la formula dell’emissione di un corpo nero, quello che ebbe maggiore successo è quello di Planck, che trovò una formulazione empirica:

E_λb= 2πc₁c²₀

λ⁵[exp(^c_kT^1ν − 1] (2.19)

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2.3. LE SUPERFICIE IDEALI dove

λν =velocità di propagazione = c0 oppure c velocità della luce (2.20) Nell’Equazione 2.20 la velocità di propagazione dipende dove si propaga l’onda (se vuoto allora è c0, mentre in generale è c). L’Equazione 2.19, essendo una formula interpolante, andava benissimo e i conti tornavano perfettamente. Allora qualcuno iniziava a fare qualche modello sull’interazione della materia e l’onda elettromagnetica. Allora si immagina una cavità fatta dagli atomi, quando l’onda colpisce la parete, quest’ultima inizia a vibrare, maggiore è la vibrazione maggiore è l’energia. In base a questo modello si ottiene la curva mostrata in Figura 2.12. Infatti il modello andava bene per casi con le basse frequenze (ampiezza grande) ma entrava in crisi col aumentare della frequenza.

Figura 2.12: Confronto di modello e l’esperimento

Allora il paradosso sta nel fatto che se apro la cavità , nella realtà esce l’energia pari a σT⁴, ma il modello dice ∞, cosଠil corpo va a 0 K, il che sarebbe impossibile e non fisico. Questo caso descritto come catastrofe ultraviolette o paradosso della chiesetta in campagna.

Questo paradosso viene risolto dal Planck ipotizzando una quantità discreta di energia, allora poi i conti tornano.

c₁ = 6.025 · 10⁻³⁴ J · s → ~ costante di Planck (2.21) k = 1.38 · 10⁻²³ J

kg · K (2.22)

Questo risultato segnò la nascita della fisica quantistica.

Riassumendo allora il corpo nero non è la proprietà di una superficie, ma un un particolare stato di equilibrio tra la materia e la radiazione. Quando una qualunque materia subendo una radiazione, poi entra in equilibrio. Tutto questo a patto che se il corpo non fosse perfettamente riflettente, se lo fosse allora il corpo non è più un corpo nero.

Facendo il riferimento a Figura 2.10la Legge di Wien è:

∂E_λb

∂λ    λmax

= 0 (2.23)

λ_max· T = c₂ = 2897.6 µm · K Legge di Wien (2.24)

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2.4 Emissione di banda

Si definisce:

F0→λ :=

λ

R

0

Eλb dλ⁰

∞

Z

0

Eλb dλ

| {z }

Eb

= 1 E_b

λ

Z

0

Eλb(λ, T ) dλ (2.25)

Figura 2.13: Emissione a banda

Il significato geometrico è che la frazione dell’area sottesa alla curva.

Analiticamente significa:

λ

Z

0

Eλb(λ, T ) dλ⁰ = F0→λ · Eb (2.26)

Al crescere di T , questa curva si sposta a sinistra.

Inoltre è possibile dimostrare che:

F_0→λ = ˜F_0→λ(λ, T ) = ˜F_0→λ(λ · T ) (2.27)

Partendo dall’Equazione 2.25:

F_0→λ = 1 E_b

λ

Z

0

E_λbdλ⁰ = 1 E_b

λ

Z

0

2π~c²0

λ⁵



exp(~c0

kλT − 1)



| {z }

ν=^c0_λ

dλ⁰·T⁵ T⁵ = 1

E_b

λ

Z

0

2π~c²0

(λT )⁵exp(_kλT^~c0 − 1) T

4·Tdλ⁰ =

essendo T fissato

=

T⁴ E_b

λT

Z

0

2π~c²0

(λT )⁵exp(_kλT^~c0 − 1) d(T λ)⁰ E_b = σT⁴

=

1 σ

λT

Z

0

2π~c²0

(λT )⁵exp(_kλT^~c0 − 1) d(T λ)⁰ =

= ˜F_0→λ(λT ) (2.28)

Figura 2.14: Il risultato della dimostrazione dell’Equazione 2.28

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2.4. EMISSIONE DI BANDA Si definiscono due valori particolari, riferendo alla Figura 2.14:

(λT )₀₁= 1500 ⇒ λ₀₁ := (λT )₀₁ T (λT )99 = 25000 ⇒ λ99 := (λT )₉₉

T

Quindi si costruisce il seguente tabella: Le due fasce di lunghezze d’onda mostrato nella [K] [µm] [µm]

T λ₀₁ λ₉₉ ... ... ...

300 5 83.3

... ... ... 5800 0.26 4.3

... ... ...

banda ambiente 5 ←→ 83.3 banda solare

0.26 ←→ 4.3

Tabella 2.1: Tabelle del confronto della banda dell’ambiente e del Sole

Tabella 2.1 emettono circa il 99% della radiazione termica. La parte del visibile (che comprende 0.4 ÷ 0.7 µm) cade nella banda solare, mente una piccolissima frazione nella banda del corpo nero.

Dall’Equazione 2.28 segue:

λ2

Z

λ1

E_λb dλ =

λ2

Z

0

E_λb dλ −

λ1

Z

0

E_λb dλ = F0→λ(λ₂T )E_b− F_0→λ(λ₁T )E_b =

= E_b(T ) [F_0→λ(λ₂T ) − F_0→λ(λ₁T )]

| {z }

emissione a banda

= E_b(T )F_λ1→λ2(λT ) (2.29)

Le bande solare e le bande ambientale, come mostrato nella Tabella 2.1, sono disgiunti, nell’intervallo di 4.3 al 5−→vedi effetto serra (vedi sezione 2.9)

Nella realtà trovare un corpo approssimamente nero è abbastanza facile, infatti l’ambiente e il Sole, così anche una lampada incandescente sono dei corpi neri, perché facendo lo spettro risulta quello come mostrato nella Figura 2.11. N.B. Alla T = 5800 K è la temperatura apparente sulla superficie del Sole, non è detto che sia anche all’interno.

Mettere un pezzo di metallo sul fuoco anche essa risulta il comportamento di un corpo nero, che diventa incandescente di color rosso, come il Sole, ciò significa che anche essa ha raggiunto alla temperatura di 5800 K, cioè un corpo nero. Al contrario, facendo lo spettrografia al neon, LED o laser (vedi la Figura 2.15), non risulta corpo nero.

Nota. Il corpo nero è uno stato di equilibrio, infatti il plasma, che non è in equilibrio, non si presenta come un corpo nero.

Figura 2.15: Lo spettro di un neon, LED e laser

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2.5 Superfici reali

LA radiazione si caratterizza in due grandezze:

• Direzione

• Lunghezza d’onda Direzione

Figura 2.16: Diagramma polare e intensità di una superficie reale diffusa e superficie reale

Allora si definisce: ελ,θ 7→ emissività monocromatico e direzionale.

ε_λ,θ := I_λ^e(λ, θ, ϕ, T )

I_λb(λ, T ) (2.30)

0 6ε^λ,θ 6 1 (2.31)

Anche in questo caso si fa la media sullo spettro:

ε_θ

|{z}

Emissività totale direzionale

:=

∞

R

0

I_λ^e(λ, θ, ϕ, T ) dλ

∞

R

0

I_λb(λ, T ) dλ

=

∞

R

0

ε_λbI_λb^e dλ

∞

R

0

I_λb dλ

= ˜ε_θ(θ, ϕ, T ) (2.32)

Questo non è altro che la media pesata dell’emissività di un corpo nero.

E questo implica, come mostrato nella Figura 2.18 significa che la mia superficie non dipende dall’angolo di osservazione, non è valida quando la superficie ha una direzione preferenziale.

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2.5. SUPERFICI REALI

→ ∂ε_θ

∂ϕ ' 0 → ε_θ(θ, T ) =⇒

ε_θ non fipende da ϕ

Figura 2.18: La media angolare

Ora si definisce:

ε_N

|{z}

Emissività totale normale

= ˜ε_θ(θ = 0, T ) (2.33)

Figura 2.19: Confronto dell’emissività di vari superfici Se si scalda in un forno una sfera metallica e una non metallica, si nota che:

(a) Metallica

la massima

emissività è al θ = 0^o

(b) Non metallica

la massima

emissività è ai bordi

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Lunghezza d’onda

Figura 2.21: Emissione monocromatica emisferica

Si definisce:

ε_λ

|{z}

Emissività monocromatica

emisferica

:= E_λ(λ, T )

E_λb(λ, T ) = ˜ε_λ(λ, T ) con 0 6 ελ 6 1 (2.34)

Dall’Equazione 2.34 si ha:

ε_λ =

2π[sr]

R

0

I_λ^ecos θ dω

2π[sr]

R

0

I_λb^e cos θ dω

=

2π[sr]

R

0

ε_λ,θ

I_λb^e (λ, T ) cos θ dω

2π[sr]

R

0 I_λb^e (λ, T ) cos θ dω

=

2π[sr]

R

0

ε_λ,θcos θ dω

2π[sr]

R

0

cos θ dω

= 1 π

2π[sr]

Z

0

ε_λ,θcos θdω

(2.35) Dove è stato usato:

Eλ = d⁽³⁾Q dA dλ =

2π[sr]

Z

0

Iλcos θ dω (2.36)

I_λ = d⁽⁵⁾Q

dA cos θ dλ dω (2.37)

Facendo la media delle medie dell’Equazione 2.35:

ε

|{z}

Emissività tolate emisferica

:= E(T ) E_b(T ) =

∞

R

0

E_λ dλ E_b = 1

E_b

∞

Z

0

ε_λE_λb(λ, T ) dλ (2.38)

Se ∂ε_λ

∂λ = 0 −→ ελ ≡ ε il valore locale coincide con il valore medio.

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2.6. SUPERFICIE IRRADIATA

(a) Emissivià di un corpo grigio

Il corpo grigio è un corpo che ha la superficie reale diffusa e non dipende dalla lunghezza d’onda

Figura 2.24: Una superficie irradiata

2.6 Superficie irradiata

I seguenti parametri sono definiti, vedi la Figura 2.24:

BRDF

| {z }

Bidirectional Reflactivity Distribuition

Function

= I_λ^r(λ, θ_r, ϕ_r, T )

I_λⁱ(λ, θ_i, ϕ_i, T ) = ˜f (λ, θ_i, ϕ_i, θ_r, ϕ_r, T ) (2.39)

α_λ,θ

|{z}

Assorbanza monocromatica

direzionale

= I_λ^a(λ, θ_i, ϕ_i, T )

I_λⁱ(λ, θi, ϕi, T ) = ˜g (λ, θ, ϕ, T )

| {z }

l’ordine dell’inportanza della dipendenza

decrescente

(2.40)

DDF

| {z }

Diffractional Distribuition Function

↓ un onda che entra

viene spezzato in tante onde

= I_λ^t(λ, θ_t, ϕ_t, T )

I_λⁱ(λ, θ_i, ϕ_i, T ) = ˜h(λ, θ_i, ϕ_i, θ_t, ϕ_t, T ) (2.41)

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Ora i conti si faranno sulle grandezze medie emisferiche.

Figura 2.25: Rappresentazione della media emisferica delle irradianza

G_λ rappresenta l’energia che incide su una superficie che viene da qualunque direzione (fatta la media emisferica).

BRDF, α_λ,θ e DDF non sono le proprietà della superficie, infatti il numeratore dell’Equazione 2.39, Equazione 2.40 e Equazione 2.41 rappresentano le proprietà della superficie, mentre il denominatore non lo è.

Si vedrà che αλ,θ dipende in modo drammatico dal Iλⁱ. Infatti se un oggetto bianco venisse illuminato da una luce gialla, anche essa apparirà più più gialla del solito.

Gⁱ_λ = dQⁱ dA dλ =

2π[sr]

Z

0

I_λⁱ cos θ dω

Gⁱ_λ = G^a_λ+ G^t_λ+ G^r_λ

Ora si definisce

α_λ

|{z}

Assorbanza monocromatica

emisferica

:= G^a_λ Gⁱ_λ =

2π[sr]

R

0

I_λ^acos θ dω

2π[sr]

R

0

I_λⁱ cos θ dω

=

2π[sr]

R

0

α_λ,θI_λⁱ cos θ dω

2π[sr]

R

0

I_λⁱcos θ dω

(2.42)

Se la radiazione fosse diffusa:

α_λ =

2π[sr]

R

0

αλ,θ

I_λⁱ cos θ dω

2π[sr]

R

0 I_λⁱ cos θ dω

=

2π[sr]

R

0

αλ,θcos θ dω

2π[sr]

R

0

cos θ dω

= 1 π

2π[sr]

Z

0

α_λ,θcos θdω = 1 π

2π

Z

0

dϕ

π/2

Z

0

α_λ,θcos θdθ

(2.43)

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2.7. TEOREMA DI KIRCHHOFF Per la grandezza totale diventa:

α = G^a Gⁱ =

∞

R

0

G^a_λ dλ

∞

R

0

Gⁱ_λ dλ

=

∞

R

0

α_λGⁱ_λ dλ

∞

R

0

Gⁱ_λ dλ (2.44)

Nel caso specifico con il sorgente corpo nero: Gⁱλ = E_λb(λ, T_sorgente), l’Equazione 2.44 diventa:

α(T ) =

∞

R

0

αλEλb dλ

∞

R

0

Eλb dλ

= 1

E_b(T_sorg.)

∞

Z

0

α(λ, T )Eλb(λ, Tsorg.) dλ (2.45)

La capacità dell’assorbimento dipende in modo drastico dalla Tsorg..

2.7 Teorema di Kirchhoff

Figura 2.28: Due corpi in equilibrio, B come il sorgente e A come la superficie ricevente

dQ^e= I_λ^e dA cos θ dω dλ = ελ,θI_λb^e (λ, θ, ϕ, T^B) dA cos θ dω dλ (2.46) dQ^a= I_λ^a dA cos θ dω dλ = αλ,θI_λbⁱ dA cos θ dω dλ (2.47) All’equilibrio: dQ^e =dQ^a

Dall’Equazione 2.46 eEquazione 2.47 si ha:

ε_λ,θI_λb^e (λ, θ, ϕ, T^B) = α_λ,θI_λbⁱ (λ, θ, ϕ, T^A) (2.48) Essendo T^A= T^B e corpo nero, ciò significa Iλb^e = I_λbⁱ , allora si ottiene:

ε_λ,θ = α_λ,θ Legge di Kirchhoff (2.49) Questo teorema è valido se i due corpi sono in equilibrio, cioè hanno la stessa T . Ma nella realtà questo non accade mai. Poiché αλ,θ e ελ,θ dipendono poco dalla T , l’esperienza

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dimostra che la legge di Kirchhoff è valido anche a diverse T , quindi si ottiene una buona approssimazione.

Ora si fa ma media emisferica:

ε_λ := E_λ E_λb = 1

E_λb

2π[sr]

Z

0

I_λ^ecos θdω = 1 E_λb

corpo nero|{z}

è una superficie

diffusa Eλb=πIλb

2π[sr]

Z

0

ε_λ,θI_λb^e cos θdω = ^I^_λb πI_λb

2π[sr]

Z

0

ε_λ,θcos θdω =

= 1 π

2π[sr]

Z

0

ε_λ,θcos θ dω espressione sempre vera

approssimazione Kirchhoff

=

1 π

2π[sr]

Z

0

αλ,θcos θ dω ^{radiazionediffusa}vedi Equazione 2.43

=

αλ (2.50) L’Equazione 2.50 vale solo se la radiazione è diffusa

Facendo un ulteriore passo, la media sui spettri:

α :=

∞

R

0

α_λGⁱ_λ dλ

∞

R

0

Gⁱ_λ dλ

radiazione diffusa

=

∞

R

0

ε_λGⁱ_λ dλ

∞

R

0

Gⁱ_λ dλ

corpo grigio

=

ε_λ









∞

R

0

Gⁱ_λ dλ









∞

R

0

Gⁱ_λ dλ

= ε_λ = ε (2.51)

L’Equazione 2.51: α = ε è valido solo se radiazione diffusa e corpo grigio per

∀T_sorg6= T_corpo

Se il corpo non fosse grigio, α è basata sulla Tsorg e ε è basata sulla Tcorpo. C’è da precisare:

α(T, T_sorg)

| {z }

generalmente

grigia

=

α(T ) (2.52)

α dipende solo da T se la superficie è grigia.

Per le le condizioni più chiare vedi Section 12.8 su Incropera et al. [4].

2.8 Superficie selettiva

Una superficie selettiva è l’opposto di una superficie grigia, in cui l’emissività dipende dalla λ.

Figura 2.29: Irradiazione Dalla Figura 2.29:

Gⁱ_λ Gⁱ_λ = G^r_λ

Gⁱ_λ +G^t_λ Gⁱ_λ +G^a_λ

Gⁱ_λ 1 = G^r_λ

Gⁱ_λ +G^a_λ

Gⁱ_λ + αλ(λ, T )

(2.53)

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2.9. EFFETTO SERRA

Monocromatico Totali

ρ_λ := G^r_λ

Gⁱ_λ Riflettanza ρ := G^r Gⁱ τ_λ := G^a_λ

Gⁱ_λ Trasmittanza τ := G^t Gⁱ Se ρλ = 0 −→

>

ρ_λ 0+ α_λ+ τ_λ = 1

Figura 2.30: Superficie selettiva, vetro, è completamente trasparente fino a λ, dopo si comporta completamente opaco

Caso radiazione diffusa −→ αλ = ε_λ, allora il vetro da un certo valore di λ in poi assorbe ed emette tutto.

2.9 Effetto serra

Facendo l’esempio con il vetro, che ha λ = 2 µm F0→λ

λ₀₁÷ λ₉₉ Sole (5800 K) 0.26 ←→ 4.3 µm

Terreno (300 K) 5 ←→ 83 µm

Si vede dalla Figura 2.31 che una parte della radiazione solare passa attraverso il vetro (0.26 ÷ 2 µm) e viene assorbita dal terreno e il resto viene assorbita, allora il vetro si riscalda. Dall’altra parte, la radiazione emessa dal terreno (300 K), che aveva assorbito la parte passata dal vetro precedentemente, viene assorbita tutta. Questo porta ad un accumulo di energia, implicando l’aumento di Tcorp del vetro. Questo accumulo finisce quando arriva ad un certo T che sbatte tutto fuori. Questo è come funziona allo stesso modo l’atmosfera per l’effetto serra. I gas serra sono fatte dalle molecole

Figura 2.31: Vetro, superficie selettiva

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polari, che interagiscono facilmente con le radiazioni elettromagnetiche. Il vetro, essendo una superficie selettiva, non è una superficie grigia, infatti ελ nell’Equazione 2.51 non è possibile portare fuori dall’integrale, poiché non è costante. L’esempio dell’Equazione 2.52 applicata ad una superficie selettiva facendo il riferimento alla Figura 2.32:

Figura 2.32: Superficie selettiva, con il sorgente e il corpo Si calcola ε e α:

ε = 1 E_b(T )

∞

Z

0

ε_λ(λ, T )E_λb(T ) dλ = 1 E_b







λ=λ01

Z

0

ε_λE_λb(λ, T )

| {z }

1·0

dλ +

∞

Z

λ

ε_λE_λb(λ, T )

| {z }

0·Eb

dλ





= 0 (2.54)

α = 1

E_b(λ, T_irr)





λ99

Z

0

α_λE_λb(λ, T_irr)

| {z }

1·Eλb

dλ +

∞

Z

λ99

α_λE_λb(λ, T_irr)

| {z }

0·0

dλ



≈ 1 (2.55)

Questo significa che riga per riga, l’Equazione 2.50 è soddisfatta, ma il suo integrale non lo è.

2.10 Irraggiamento solare e atmosferico

Ebs = 1350 W/m² −→ 1000 W/m² al livello del mare, che si attenua, il massimo è allo stesso punto, l’atmosfera ha assorbito 350 W/m²

Figura 2.34: Radiazione solare

Nella Figura 2.34 la curva reale è frastagliata perché l’aria, che è un gas, non assorbe uniformemente come un liquido. L’attenuazione generale è modulata, ci sono dei picchi di assorbimento. L’assorbimento dal 0.2 al 0.4 è dovuto all’ozono, o3, la fascia dove sono concentrati gli UV. Il buco dell’ozono, dove nell’atmosfera sono stati creati un impoverimento dell’ozono, generalmente all’Antartide, in cui la Terra percepisce maggiore radiazione solare. Questo impoverimento è dovuto agli alogeni, come Cl e F, che catalizzano la decomposizione dell’ozono.

Nell’atmosfera le molecole che assorbono sono quelle che interagiscono la radiazione elettromagnetica. Queste molecole sono polari, che hanno una carica elettrica simmetrica.

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2.10. IRRAGGIAMENTO SOLARE E ATMOSFERICO

He è un monoatomico, cosଠanche biatomica, sono apolari, mentre quelle triatomiche possono essere polari se lineari o tirate, momentaneamente diventano polari. L’acqua è polare per l’eccellenza. Loro assorbono ed emettono le radiazione. La radiazione emessa dalle molecole varia da 230 K ÷ 280 K (vedi Figura 2.36), dove la banda di 50 K dipende dalla quantità dell’acqua nell’atmosfera. In una giornata chiara, sulla montagna, ha una percentuale piccola dell’acqua, mentre in una giornata coperta la percentuale dell’acqua è alta.

Ha un buco tra 8 µm e 13 µm, ciò significa che l’atmosfera assorbe ed emette di meno. Questo può essere utilizzato per i radiatori atmosferici.Se volessimo buttare fuori qualcosa è meglio concentrare tra 8 µm e 13 µm, dove l’atmosfera assorbe di meno.

Figura 2.36: Emissione dell’atmosfera

L’atmosfera assorbe, quando lo riemette lo la direzione diventa isotropa, perciò vediamo il cielo luminoso, invece sulla Luna vediamo il cielo scuro col Sole. Questa riemissione isotropa è più efficiente sulle lunghezze d’onda corta. Perciò vediamo il cielo azzurro.

Nell’atmosfera oltre alla diffusione molecolare, ci sono anche altri componenti come gli aereosol e micro componenti come l’acqua. Loro riemettono la radiazione con la stessa direzione che hanno ricevuto la radiazione. Il cielo diventa rosso quando il sole sorge o tramonta perché, nonostante la maggiore efficienza della regione a bassa lunghezza d’onda, per quella data inclinazione, le lunghezze d’onde lunghe come il rosso sopravvive meglio rispetto a quelle corte.

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2.11 Scambio termico radioattivo tra superfici (reali ma opache)

I_λ^e+r= dQ^e+r dA cos θ dλdω dQ^e+r = I_λ^e+rcos θ dλdω

Figura 2.38: Radianza Facendo il riferimento alla Figura 2.38 si ha

Q^(e+r)→ = Z

A1

dA

∞

Z

0

dλ

2π[sr]

Z

0

I_λ^e+rcos θ dω sup. irradaita diffusa

=

Z

A1

dA

∞

Z

0

I_λ^e+r dλ

2π[sr]

Z

0

cos θ dω

| {z }

π

=

= Z

A1

dA

∞

Z

0

πI_λ^e+r

| {z }

Jλ

dλ =Z

A1

dA

∞

Z

0

Jλ dλ =Z

A1

J dA _superficie^{uniformesulla}

=

J · A (2.56)

Nell’Equazione 2.56 j è la radiosità emisferica totale.

Q^→ > 0 dove va a finire?

Figura 2.39: N superfici rachiusi

Q

J₁A₁ = Q_1→2

J₁A₁ + Q_1→3

J₁A₁ + . . . +Q_1→i

J₁A₁ + . . . + Q_1→n

J₁A₁ = J₁A₁

J₁A₁ = 1 (2.57) Nell’Equazione 2.57 Q_1→i

J1A1 rappresenta la percentuale di potenza emessa dalla superficie 1 alla superficie i-esima, chiamato anche il fattore di vista

Proprietà :

Dall’Equazione 2.57 si ottiene

F1→2+ F1→3+ . . . + F1→j+ . . . + F1→n =X

j6=i

Fi→j = 1 additiva (2.58)

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2.11. SCAMBIO TERMICO RADIOATTIVO TRA SUPERFICI (REALI MA OPACHE)

A_j =X

k

A_jk F_ijk = Q_i→jk J_iA_i Q_i→j

J_iA_i = Q_i→j1

J_iA_i + Q_i→j2

J_iA_i + . . . + Q_i→jk

J_iA_i + . . . + Q_i→jn J_iA_i

Figura 2.41: Proprietà distributiva

Dalla Figura 2.41si ha:

F_ij = F_ij1+ F_ij2+ . . . + F_ijk+ . . . + F_ijn =

n

X

k=1

F_ijk distibutiva (2.59)

dω1 = dA2⊥

r² = dA2

r² nb₂ · −→ω₁₂ = dA2

r² cos θ2

|P₁P₂| = r

Figura 2.43: Radiazione superficie 1 e 2

Q_1→2 = Z

A1

dA

∞

Z

0

dλZ

Ω12

I_λ1cos θ₁ dω1 radiazione isotropa

=

Z

A1

dA

∞

Z

0

I_λ1 dλZ

Ω12

cos θ₁ dω1 =

= Z

A1

dA

∞

Z

0

J_λ1 π dλZ

Ω12

cos θ₁ dω1 = Z

A1

dA

∞

Z

0

J_λ1 π dλZ

A2

cos θ₁cos θ₂

r² dA2 radiazione uniforme

=

= J₁ π

Z

A1

Z

A2

cos θ₁cos θ₂

r² dA1dA2 (2.60)

F_1→2 = Q_1→2 J1A1

= 1

πA1

Z

A1

Z

A2

cos θ₁cos θ₂

r² dA1dA2 (2.61)

Facendo lo stesso procedimento dell’Equazione 2.60e Equazione 2.61 allora si ottiene:

Q_2→1 = . . . = J₂ π

Z

A2

Z

A1

cos θ₂cos θ₁

r² dA2dA1 (2.62)

F_2→1 = 1 πA₂

Z

A2

Z

A1

cos θ₂cos θ₁

r² dA2dA1 (2.63)

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(F_1→2

F_2→1 ⇒ F_1→2A₁ = F_2→1A₂ (2.64) Quindi in generale l’Equazione 2.64 viene scritto:

F_i→jA_i = F_j→iA_j Relazione di reciprocità (2.65)

F_ii= 0 sempre? ⇐⇒ Qii = 0 m

F_ii= Q_i→i J_iA_i

É sempre vero se

oppure

Non è valido se qualche raggio colpisce sulla superficie Quindi Fii = 0 ⇐⇒ superficie piatta o convessa.

2.12 Metodi per determinare f

Ricapitolando, dall’Equazione 2.57:

F_ij := Q_i→j JiAi

superficie opaca

=

1 π

Z

Ai

dAi

Z

Aj

cos θ_icos θ_j

r² dAj (2.66)

Le geometrie sono state già calcolate generalmente, per i maggiori informazioni consultare la Tabella 13.1 in Incropera et al. [4]. I metodi principali sono:

Figura 2.44: Gli esempi dalla Tabella 13.1 in Incropera et al. [4]

• Metodo numerico: calcolare numericamente con l’integrazione

• Metodo Monte Carlo: descritto nella Figura 2.46

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2.13. SCAMBIO TERMICO RADIOATTIVO

Si fanno un numero degli spari dalla superficie i alla superficie j, se lo colpisce allora segna 1 come risultato positivo, altrimenti 0. Alla fine con il calcolo statistico sulla probabilità si ottiene il valore di Fij

Figura 2.46: Metodo di Monte Carlo

F₁₂= d₁d₂− l₁l₂

2A₁ (2.67)

Figura 2.48: Metodo delle corde (Cross Strings Methods)

• Metodo delle corde (cross strings methods), detto anche Metodo di Hottel (MIT):

è stato un metodo inventato per il caso 2D, ma estendibile se il caso fosse 3D se la superficie ottenuta è estrusa, vedi Figura 2.48

Per il metodo delle corde, l’Equazione 2.67 è valido anche quando le superfici non sono piane e se ci fossero degli ostacoli, purché non interferiscano le corde d1 e d2, come mostrato nella Figura 2.49.

Figura 2.49: Metodo delle corde con superfici irregolari

Esempi:



>

0

F₁₁ + F₁₂+ F₁₃= 1 F₁₃= 1 − F₁₂

F₁₂₄= F₁₂+ F₁₄

Figura 2.52: Esempi del calcolo di Fij

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Figura 2.53: Cavità

2.13 Scambio termico radioattivo

Le cavità nella realtà non sono sempre necessariamente chiuse nella realtà .

Le cavità sono sempre chiuse, male che vada verrà chiuso dall’atmosfera

Figura 2.55: Le cavità sono sempre chiuse

Q₁₂ = σ(T₁⁴− T₂⁴)

1−ε1

ε1A1 + _F ¹

12A1 +^1−ε_ε ²

2A2

(2.68)

Figura 2.57: Equazione di Oppenheim Dimostrazione: facendo riferimento allaFigura 2.57

Q₁₂:= Q_1→2 + Q_2→1

| {z }

scambio netto

(2.69)

Q12esprime il calore netto scambiato tra la superficie 1 e la superficie 2. L’Equazione 2.45 può essere espresso anche come:

Q₁₂ = F₁₂A₁J₁− F₂₁A₂J₂ = F₁₂A₁(J₁− J₂) (2.70) Dove è stata applicata la proprietà della reciprocità F12A₁ = F₂₁A₂.

J = E + ρG se fosse nera → J = Eb = σT⁴ (2.71) τ = 0 superficie opaca −→ ρ = 1 − α grigia

=

1 − ε (2.72)

Bilancio facendo Figura 2.58:

Q + GA = J A (2.73)

Q = (J − G)A (2.74)

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2.13. SCAMBIO TERMICO RADIOATTIVO

Figura 2.58: Una generica superficie opaca diffusa

Dall’Equazione 2.71 si ottiene:

J = E + ρG = εE_b + (1 − ε)G =⇒ G = J − εE_b

1 − ε (2.75)

Sostituendo l’Equazione 2.75nell’Equazione 2.74:

Q =



J − J − εE_b 1 − ε

 A =





J − εJ −_J + εE_b 1 − ε



A = ε(E_b− J)

1 − ε A = E_b− J

1−ε εA

(2.76)

J = E_b− 1 − ε

εA Q (2.77)

Inserendo l’Equazione 2.77nell’Equazione 2.70 si ha:

Q₁₂

F₁₂A₁ = J₁− J₂ = E_b1− 1 − ε₁

ε₁A₁ Q^←₁ − E_b2 +1 − ε₂

ε₂A₂ Q^←₂ (2.78) Cosଠl’ho eliminato dall’equazione la dipendenza da J, poi riferendo alla Figura 2.57 di nuovo:

Q^←₁ = Q₁₂ = Q^→₂ = −Q^←₂ (2.79)

Q^←₁ = Q₁₂ (2.80)

Q^→₂ = Q12 (2.81)

Inserendo l’Equazione 2.80e Equazione 2.81 nell’Equazione 2.78 Q₁₂

F₁₂A₁ = E_b1 − 1 − ε₁

ε₁A₁ Q₁₂− E_b2 − 1 − ε₂

ε₂A₂ Q₁₂ (2.82) E_b1 − E_b2 = Q₁₂

 1

F₁₂A₁ +1 − ε1

ε₁A₁ + 1 − ε2

ε₂A₂



(2.83) A questo punto allora si ottiene la legge di Oppenheim, l’Equazione 2.68:

Q₁₂= σ(T₁⁴− T₂⁴)

1−ε1

ε1A1 +_F ¹

12A1 + ^1−ε_ε ²

2A2

(2.84) Ora guardando per bene l’Equazione 2.70 eEquazione 2.77, rocavando Q:

Q₁₂ = J₁− J₂

1 F12A1

(2.85)

Q = E_b− J

1−ε εA

(2.86) Si vede che l’Equazione 2.85e Equazione 2.86sono lo stesso flusso di calore, ma solo con i "potenziali" e "resistenza" diversa, quindi si introduce analogia elettrico.

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2.14 Analogia elettrica

Analogia elettrica della Figura 2.57 è rappresentata nellaFigura 2.59

Figura 2.59: Analogia elettrico Riferendo alla Figura 2.59, la resistenza equivalente è:

Req = 1 − ε₁

ε₁A₁ + 1

F₁₂A₁ +1 − ε₂

ε₂A₂ (2.87)

Figura 2.60: Vari superfici Caso particolare:

F12 = 1 − ε₁

ε₁A₁ + 1

F₁₂A₁ + 1 − ε₂ ε₂A₂ = 1

A₁

 1 − ε₁ ε₁ + 1

F₁₂ +1 − ε₂ ε₂

A₁ A₂



(2.88)

A1lim

A2→0

F₁₂ = 1 A₁

 1 − ε₁ ε₁ + 1

F₁₂



(2.89) oppure

F₁₂(ε₂ = 1) = 1 A₁

 1 − ε₁ ε₁ + 1

F₁₂



(2.90) l’Equazione 2.89 significa che quando A₁

A₂ → 0, indipendentemente dalla natura del corpo 2, esso si comporta come se fosse un corpo nero. Infatti la radiazione emessa dal corpo 1, se il corpo 2 fosse nero (caso dell’Equazione 2.90) allora lo assorbe in un solo colpo, mentre se non fosse nero allora lo assorbe dopo un numero infinito (sufficientemente grande) di rimbalzi.

Il metodo per ridurre la radiazione tra i due corpi:

Il metodo per ridurre la radiazione tra le due superfici, mostrato nella Figura 2.61a, può essere o riempire del materiale in mezzo, ma in quel caso incentiva lo scambio convettivo, ma un metodo più "furbo" è porre una superficie in mezzo ad essi, come mostrato nella Figura 2.61b.

Supponendo:

ε₁ = ε₂ = ε₃₁= ε₃₂= ε (2.91)

Fij = 1 ∀i, j (2.92)