GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova finale del 18 GIUGNO Compito A

GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova finale del 18 GIUGNO 2019 - Compito A Cognome e Nome:

Matricola:

Corso di laurea:

1 2 3 4

(a) (b) (c) (d) Parziali TOTALE:

Regole:

• Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato.

• Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia.

Esercizio 1. Dati i seguenti vettori di R⁴:

u1 = (1, 0, 1, 1) u2 = (2, −1, 1, 0) u3 = (0, 1, 1, 2) v1 = (0, 1, 0, 2) v2 = (1, 0, 1, 0), si considerino i sottospazi U = hu1, u2, u3i e V = hv₁, v2i.

(a) Trovare una base per U e una base per V . (3 punti)

(b) Determinare una base per il sottospazio somma U + V . (2 punti)

(c) Ricavare il sottospazio intersezione U ∩ V . (2 punti)

(d) Stabilire se la somma U + V `e diretta. (1 punto)

Esercizio 2. In un riferimento cartesiano ortogonale di R³ sono date le rette r ed s definite da:

r :

( x = t + 1 y = −2t + 2

z = −t + 1 ∀ t ∈ R e s :

( x = u + 1 y = −u + 2

z = 2u + 1 ∀ u ∈ R . Determinare:

(a) se r ed s individuano un piano π che le contenga entrambe,

ed in tal caso ricavarne l’equazione cartesiana; (2 punti) (b) l’equazione cartesiana del piano α che contiene r ed il punto P (2, 1, 1); (2 punti) (c) le coordinate del punto P^? proiezione ortogonale di P su s; (2 punti) (d) le equazioni cartesiane della retta w proiezione ortogonale di s sul piano α. (2 punti)

Esercizio 3. Si consideri l’applicazione f : R³ → R³ definita da:

f (x, y, z) = (−x + 2y − 3z, −x + y − z, −2x + y) . (a) Determinare la matrice rappresentativa A di f rispetto alla base

B = {(0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} sia in partenza che in arrivo. (2 punti) (b) Trovare una base e la dimensione del nucleo ker(f )

e dell’immagine Im(f ) di f . (3 punti)

(c) Stabilire, motivando la risposta, se la f precedente sia iniettiva e/o

suriettiva e se costituisca o meno un isomorfismo di R³. (1 punto) (d) Determinare una base e la dimensione del sottospazio f (V ),

essendo V = h(1, 0, 2), (−1, 1, 0)i. (2 punti)

Svolgimento dell’esercizio 3

Esercizio 4. Si consideri la matrice quadrata reale di ordine 3 dipendente dal parametro h ∈ R:

Bh =

" h + 2 h + 3 −h

0 1 0

h + 1 5 − 3h 1 − h

# .

(a) Calcolare gli autovalori di B_h al variare di h ∈ R. (2 punti) (b) Determinare, specificandone le basi, gli autospazi di Bh al variare di h ∈ R. (2 punti) (c) Individuare i valori h ∈ R per i quali Bh risulta diagonalizzabile. (2 punti) (d) Trovare, se possibile, un valore di h ∈ R, una matrice M ∈ R^3,3 e una matrice

diagonale D ∈ R^3,3 tali che M BhM⁻¹ = D. (3 punti)

GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova finale del 18 GIUGNO 2019 - Compito B Cognome e Nome:

Matricola:

Corso di laurea:

1 2 3 4

(a) (b) (c) (d) Parziali TOTALE:

Regole:

• Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato.

• Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia.

Esercizio 1. Dati i seguenti vettori di R⁴:

u1 = (1, 0, 1, 1) u2 = (2, −1, 1, 0) u3 = (0, 1, 1, 2) v1 = (0, 1, 0, 2) v2 = (1, 0, 1, 0), si considerino i sottospazi U = hu1, u2, u3i e V = hv₁, v2i.

(a) Trovare una base per U e una base per V . (3 punti)

(b) Determinare una base per il sottospazio somma U + V . (2 punti)

(c) Ricavare il sottospazio intersezione U ∩ V . (2 punti)

(d) Stabilire se la somma U + V `e diretta. (1 punto)

Esercizio 2. In un riferimento cartesiano ortogonale di R³ sono date le rette r ed s definite da:

r :

( x = t + 1 y = −2t + 2

z = −t + 1 ∀ t ∈ R e s :

( x = u + 1 y = −u + 2

z = 2u + 1 ∀ u ∈ R . Determinare:

(a) se r ed s individuano un piano π che le contenga entrambe,

ed in tal caso ricavarne l’equazione cartesiana; (2 punti) (b) l’equazione cartesiana del piano α che contiene r ed il punto P (2, 1, 1); (2 punti) (c) le coordinate del punto P^? proiezione ortogonale di P su s; (2 punti) (d) le equazioni cartesiane della retta w proiezione ortogonale di s sul piano α. (2 punti)

Esercizio 3. Si consideri l’applicazione f : R³ → R³ definita da:

f (x, y, z) = (−x + 2y − 3z, −x + y − z, −2x + y) . (a) Determinare la matrice rappresentativa A di f rispetto alla base

B = {(0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} sia in partenza che in arrivo. (2 punti) (b) Trovare una base e la dimensione del nucleo ker(f )

e dell’immagine Im(f ) di f . (3 punti)

(c) Stabilire, motivando la risposta, se la f precedente sia iniettiva e/o

suriettiva e se costituisca o meno un isomorfismo di R³. (1 punto) (d) Determinare una base e la dimensione del sottospazio f (V ),

essendo V = h(1, 0, 2), (−1, 1, 0)i. (2 punti)

Svolgimento dell’esercizio 3

Esercizio 4. Si consideri la matrice quadrata reale di ordine 3 dipendente dal parametro h ∈ R:

Bh =

" h + 2 h + 3 −h

0 1 0

h + 1 5 − 3h 1 − h

# .

(a) Calcolare gli autovalori di B_h al variare di h ∈ R. (2 punti) (b) Determinare, specificandone le basi, gli autospazi di Bh al variare di h ∈ R. (2 punti) (c) Individuare i valori h ∈ R per i quali Bh risulta diagonalizzabile. (2 punti) (d) Trovare, se possibile, un valore di h ∈ R, una matrice M ∈ R^3,3 e una matrice

diagonale D ∈ R^3,3 tali che M BhM⁻¹ = D. (3 punti)

GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova finale del 18 GIUGNO 2019 - Compito C Cognome e Nome:

Matricola:

Corso di laurea:

1 2 3 4

(a) (b) (c) (d) Parziali TOTALE:

Regole:

• Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato.

• Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia.

Esercizio 1. Dati i seguenti vettori di R⁴:

u1 = (1, 0, 1, 1) u2 = (2, −1, 1, 0) u3 = (0, 1, 1, 2) v1 = (0, 1, 0, 2) v2 = (1, 0, 1, 0), si considerino i sottospazi U = hu1, u2, u3i e V = hv₁, v2i.

(a) Trovare una base per U e una base per V . (3 punti)

(b) Determinare una base per il sottospazio somma U + V . (2 punti)

(c) Ricavare il sottospazio intersezione U ∩ V . (2 punti)

(d) Stabilire se la somma U + V `e diretta. (1 punto)

Esercizio 2. In un riferimento cartesiano ortogonale di R³ sono date le rette r ed s definite da:

r :

( x = t + 1 y = −2t + 2

z = −t + 1 ∀ t ∈ R e s :

( x = u + 1 y = −u + 2

z = 2u + 1 ∀ u ∈ R . Determinare:

(a) se r ed s individuano un piano π che le contenga entrambe,

ed in tal caso ricavarne l’equazione cartesiana; (2 punti) (b) l’equazione cartesiana del piano α che contiene r ed il punto P (2, 1, 1); (2 punti) (c) le coordinate del punto P^? proiezione ortogonale di P su s; (2 punti) (d) le equazioni cartesiane della retta w proiezione ortogonale di s sul piano α. (2 punti)

Esercizio 3. Si consideri l’applicazione f : R³ → R³ definita da:

f (x, y, z) = (−x + 2y − 3z, −x + y − z, −2x + y) . (a) Determinare la matrice rappresentativa A di f rispetto alla base

B = {(0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} sia in partenza che in arrivo. (2 punti) (b) Trovare una base e la dimensione del nucleo ker(f )

e dell’immagine Im(f ) di f . (3 punti)

(c) Stabilire, motivando la risposta, se la f precedente sia iniettiva e/o

suriettiva e se costituisca o meno un isomorfismo di R³. (1 punto) (d) Determinare una base e la dimensione del sottospazio f (V ),

essendo V = h(1, 0, 2), (−1, 1, 0)i. (2 punti)

Svolgimento dell’esercizio 3

Esercizio 4. Si consideri la matrice quadrata reale di ordine 3 dipendente dal parametro h ∈ R:

Bh =

" h + 2 h + 3 −h

0 1 0

h + 1 5 − 3h 1 − h

# .

(a) Calcolare gli autovalori di B_h al variare di h ∈ R. (2 punti) (b) Determinare, specificandone le basi, gli autospazi di Bh al variare di h ∈ R. (2 punti) (c) Individuare i valori h ∈ R per i quali Bh risulta diagonalizzabile. (2 punti) (d) Trovare, se possibile, un valore di h ∈ R, una matrice M ∈ R^3,3 e una matrice

diagonale D ∈ R^3,3 tali che M BhM⁻¹ = D. (3 punti)

GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova finale del 18 GIUGNO 2019 - Compito D Cognome e Nome:

Matricola:

Corso di laurea:

1 2 3 4

(a) (b) (c) (d) Parziali TOTALE:

Regole:

• Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato.

• Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia.

Esercizio 1. Dati i seguenti vettori di R⁴:

u1 = (1, 0, 1, 1) u2 = (2, −1, 1, 0) u3 = (0, 1, 1, 2) v1 = (0, 1, 0, 2) v2 = (1, 0, 1, 0), si considerino i sottospazi U = hu1, u2, u3i e V = hv₁, v2i.

(a) Trovare una base per U e una base per V . (3 punti)

(b) Determinare una base per il sottospazio somma U + V . (2 punti)

(c) Ricavare il sottospazio intersezione U ∩ V . (2 punti)

(d) Stabilire se la somma U + V `e diretta. (1 punto)

Esercizio 2. In un riferimento cartesiano ortogonale di R³ sono date le rette r ed s definite da:

r :

( x = t + 1 y = −2t + 2

z = −t + 1 ∀ t ∈ R e s :

( x = u + 1 y = −u + 2

z = 2u + 1 ∀ u ∈ R . Determinare:

(a) se r ed s individuano un piano π che le contenga entrambe,

ed in tal caso ricavarne l’equazione cartesiana; (2 punti) (b) l’equazione cartesiana del piano α che contiene r ed il punto P (2, 1, 1); (2 punti) (c) le coordinate del punto P^? proiezione ortogonale di P su s; (2 punti) (d) le equazioni cartesiane della retta w proiezione ortogonale di s sul piano α. (2 punti)

Esercizio 3. Si consideri l’applicazione f : R³ → R³ definita da:

f (x, y, z) = (−x + 2y − 3z, −x + y − z, −2x + y) . (a) Determinare la matrice rappresentativa A di f rispetto alla base

B = {(0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} sia in partenza che in arrivo. (2 punti) (b) Trovare una base e la dimensione del nucleo ker(f )

e dell’immagine Im(f ) di f . (3 punti)

(c) Stabilire, motivando la risposta, se la f precedente sia iniettiva e/o

suriettiva e se costituisca o meno un isomorfismo di R³. (1 punto) (d) Determinare una base e la dimensione del sottospazio f (V ),

essendo V = h(1, 0, 2), (−1, 1, 0)i. (2 punti)

Svolgimento dell’esercizio 3

Esercizio 4. Si consideri la matrice quadrata reale di ordine 3 dipendente dal parametro h ∈ R:

Bh =

" h + 2 h + 3 −h

0 1 0

h + 1 5 − 3h 1 − h

# .

(a) Calcolare gli autovalori di B_h al variare di h ∈ R. (2 punti) (b) Determinare, specificandone le basi, gli autospazi di Bh al variare di h ∈ R. (2 punti) (c) Individuare i valori h ∈ R per i quali Bh risulta diagonalizzabile. (2 punti) (d) Trovare, se possibile, un valore di h ∈ R, una matrice M ∈ R^3,3 e una matrice

diagonale D ∈ R^3,3 tali che M BhM⁻¹ = D. (3 punti)