COMPLEMENTIDI MATEMATICA
Eser itazione in lassedel 1.122006 Tempo on esso: 90 minuti
Vengono proposti piueser izi per ogni tipo. Nella prova parziale verranno
proposti ir adie ieser izi ditipodiverso. Glialtri sonopereser itarsi.
1. a) Larghezza di banda e larghezza onvenzionale di banda: se ne de-
s riva larelazione on il teorema del ampionamento.
b) Sis riva laformuladiShannone si fa ianoigra idellefunzioni
he vi ompaiono. Sottoqualiipotesisiha lari ostruzionedelsegnale
senza erroredialiasing?
) la trasformata di Fourier della derivata di f e ...; si metta in re-
lazionela derivabilitadi f on latendenzaa 0dellasua trasformata.
d) prodotto di onvoluzionein R e inR +
0
: de nizionie di erenze.
2. Data la soluzione di un'equazione di erenziale presentata sotto la
forma y=h+fg sidi a osaindi ano lesingole funzionif; g; h.
3. Nellaformuladiinversione dellaL-trasformatain unmembro appare
unavariabile he non apparenell'altro. Spiegarel'apparente ontrad-
dizione.
4. La trasformata di Fouriere uniformemente ontinua suR; l'integrale
diLapla e e uniformemente onvergente in un erto angolo (quale?);
lanormadi C 0
([ ;℄) e quella he indu ela onvergenza uniforme.
Sidi a osa signi ail on etto diuniformitainquesti asi spe i i.
5. Sifa ia un esempio difunzione appartenente allo spazioD e si di a
per heessanonpuoesserelarestrizioneadR diunafunzioneolomorfa.
Siespongaquindila onvergenza nellospazioDesidi a osasigni a
he un funzionalee ontinuo suD.
6. Si di a quali tra le seguenti funzioni olomorfe non sono trasformate
di Lapla e, di endo il per he, e inve e per quelle he lo sono si tro-
vinole rispettive as isse di onvergenza e le funzioni di uiesse sono
trasformate:
F
1 (s)=
s
s 2
4
; F
2 (s)=
s 2
s 2
4
; F
4 (s)=
2
s 2
4s+4
7. LafunzioneF(s)=e as
elatrasformatadiLapla edelledistribuzione
Æ
(a)
. Per he non e la trasformata di Lapla e di una funzione, pur
tendendoa0 pers!1,s2A(s
0
;)?
8. La trasformata di Lapla e di f e sL(f) f(0); da dove proviene il
9. Si dia la de nizionedi L-trasformata assoluta e della relativa as issa
di onvergenza. Si dia poi un esempio di funzione he pur essendo
lo almente sommabilenon e L-trasformabile,spiegandoneilmotivo.
10. a) Si risolva l'equazione y 0
2y = e 2t
+t sia on il metodo della L-
trasformatasia onilmetodostandardesiparagoninoleduesoluzioni:
dove sono uguali?
b) Si risolva l'equazione y 00
2y 0
= e t
sia on il metodo della L-
trasformatasia onilmetodostandardesiparagoninoleduesoluzioni:
dove sono uguali?
) Si risolva l'equazione y 0
y = sint sia on il metodo della L-
trasformatasia onilmetodostandardesiparagoninoleduesoluzioni:
dove sono uguali?
11. a) Cal olarela L-trasformatadi
f(t)=t Z
4t
0 e
u
e 2u
u du
pre isandoiteoremiutilizzatie leas issedi onvergenza he sivanno
on gurando neisingolipassaggi.
b) Enun iare edimostrareil teorema del ambiamento dis alaperla
L-trasformata.
) Cal olare
L
Z
2t
0
sin3u
2u du
d) Si risolval'equazioneintegrale
y(t)=2 Z
t
0
sin(t )y( ) d +e t
d) Si risolvail problemaintegro-di erenziale
(
y 0
(t)= R
t
0
y( ) d
y(0)=1
Se si di erenziassero ambo i membri giungendo ad un'eqazione dif-
ferenziale del se ondo ordine, quale ondizione sulla derivata prima
verrebbedaimporresesivuole helesoluzionisianoan oralestesse?
12. Si veri hilavaliditadelteorema sullaL-trasformata delprodottodi
onvoluzione al olandoL(e t
e t
).
13. Si de nis aladerivazionenel senso delledistribuzioni,e poisi al oli
quale distribuzione e la derivata della (distribuzione asso iata alla)
funzionef(x)=jxj. Side nis ala onvoluzioneST tradistribuzioni.
14. Cal olare R
+1
0 e
5t
tsint dt: Si puo al olare on lo stesso metodo
R
+1
e 5t
tsint dt?
