A.A.2004/05
Eser izio 1.1. Si onsideri il sistema lineare
8
>
>
>
<
>
>
>
:
(1+k)x=0
ky+z+w =2
x+kz+2w =k
x+kw=0
(k parametro reale)
a) Si di a per quali valori di k il sistema ammette una uni a soluzione.
b) Si determinino tutte le soluzioni del sistema per k =0.
Soluzione:
Ridu iamo agradini lamatri easso iata a tale sistema
2
6
6
4
1+k 0 0 0 j 0
0 k 1 1 j 2
1 0 k 2 j k
1 0 0 k j 0
3
7
7
5 )
IV
I 2
6
6
4
1 0 0 k j 0
0 k 1 1 j 2
1 0 k 2 j k
1+k 0 0 0 j 0 3
7
7
5
)
III I
IV (1+k)I 2
6
6
4
1 0 0 k j 0
0 k 1 1 j 2
0 0 k 2 k j k
0 0 0 k(1+k) j 0 3
7
7
5
a) Il sistema ammetteuna uni a soluzione se rg(A)=rg(Ajb)=4, ioe sek 6=0; 1.
b) Torniamo alsistema nel aso k =0:
8
>
<
>
: x=0
z+w=2
2w =0
) 8
>
>
>
<
>
>
>
: x=0
y=t
z =2
w=0
8t2R
Eser izio1.2. Siar larettanellospaziodiequazioni artesianex+z+1=2x+2y z 3=0
e sia l laretta di equazioni parametri he x=2t; y= t; z =0.
a) Determinare una equazione artesiana del piano ontenente il punto P(1;2;3) e
ortogonale alla retta l.
b) Stabilire se esisteuna retta passante per P, ontenutain ed in idente laretta r. In
aso a ermativo determinare equazioni di tale retta.
Soluzione:
a) La rettal hadirezione (2; 1;0), quindi ilpiano ortogonale al haequazione deltipo
2x y=d. ImponendoilpassaggioperilpuntoP siottiene2 2=d, quindid=0e
b) Il punto P appartiene a ; se la retta r interse a in un punto A, la retta passante
per A eP e laretta er ata. Determiniamoquindi l'eventuale intersezione trar e :
8
>
<
>
:
2x y=0
x+z = 1
2x+2y z 3=0 )
8
>
<
>
:
y=2x
x+z = 1
6x z 3=0 )
8
>
<
>
:
y =2x
x+z = 1
7x=2
)A
2
7
; 4
7
; 9
7
Determiniamoquindi il vettore direzione
!
AP
!
AP =
5
7
; 10
7
; 30
7
paralleloa (1;2;6)
In ne la retta er ataha equazioni
8
>
<
>
:
x=1+t
y=2+2t
z =3+6t
8t 2R; e
(
2x y=0
6x z =3
Eser izio 1.3. Sia
S =
x2R 4
jx
1 4x
2 x
3
+2kx
4
=k+1; 2x
1 kx
3 +kx
4
=2k+2;
3x
1
4kx
2 +9x
3 +3x
4
=0 g
a) Stabilire per quali valori di k 2R l'insieme S e un sottospazio di R 4
.
b) Per i valori di k trovati al punto pre edente determinare la dimensione e una base di
S.
Soluzione:
a) Le soluzioni di un sistema omogeneo formano uno spazio vettoriale sse il sistema e
omogeneo:
(
k+1=0
2k+2=0
) k = 1
b) Cer hiamo le soluzioni del sistema nel aso k = 1 ridu endo a gradini la matri e
asso iata alsistema:
2
4
1 4 1 2 j 0
2 0 1 1 j 0
3 4 9 3 j 0
3
5
) II 2I
III 3I 2
4
1 4 1 2 j 0
0 8 3 3 j 0
0 16 12 9 j 0 3
5
)
III 2II 2
4
1 4 1 2 j 0
0 8 3 3 j 0
0 0 6 3 j 0
3
5
) 8
>
<
>
: x
1 4x
2 x
3 2x
4
=0
8x
2 +3x
3 +3x
4
=0
2x
3 +x
4
=0
)
8
>
>
>
<
>
>
>
: x
1
= 3
2 t
x
2
= 3
8 t
x
3
=t
x = 2t
8 t2R )S =
3
2
; 3
8
;1; 2
t j t2R
In ne
B(S)=
3
2
; 3
8
; 2;1
; dim(S)=1
Eser izio 1.4. Sia
V =h (1;1;2; 1); (2;k+3;4; 2); (0;1;1;k 2
1) i
on k parametro reale.
a) Si determini la dimensione di V al variare di k 2R.
b) Si stabilis a per quali valori di k 2R il vettore v
4
=(3;3;k+6; 3) appartiene a V.
Soluzione:
Per rispondere a entrambe le domande ridu iamo a gradini la matri e A formata dai tre
vettori v
1
;v
2 e v
3
, aÆan ata dalla olonna dei termini noti formata dal vettore v
4
(in modo
da risolvere an he l'equazione xv
1 +yv
2 +zv
3
=v
4 ):
2
6
6
4
1 2 0 j 3
1 k+3 1 j 3
2 4 1 j k+6
1 2 k
2
1 j 3
3
7
7
5 )
II I
III 2I
IV +I 2
6
6
4
1 2 0 j 3
0 k+1 1 j 0
0 0 1 j k
0 0 k
2
1 j 0 3
7
7
5 )
IV (k 2
1)III 2
6
6
4
1 2 0 j 3
0 k+1 1 j 0
0 0 1 j k
0 0 0 j k(k
2
1) 3
7
7
5
a) Consideriamola matri eA.
{ Se k 6= 1 allora rg(A)=3=dim(V)e B(V)=fv
1
;v
2
;v
3 g.
{ Se k = 1 allora rg(A)= 1=dim(V) e B(V)=fv
1
;v
3 g.
b) v
4
appartiene a V se ilsistema asso iato all'equazione xv
1 +yv
2 +zv
3
=v
4
ammette
soluzione, ovvero serg(A) =rg(Ajb).
Notiamo he k(k 2
1)=0 sek =0;1. Quindi
{ Se k =0;1, allora rg(A)=rg(Ajb)=3 ev
4
appartiene aV.
{ Se k = 1, allora rg(A)=2<rg(Ajb)=3e v
4
non appartienea V.
{ Se k 6=0;1, allorarg(A) =3<rg(Ajb)=4 e v
4
non appartiene a V.
Eser izio 1.5. Si onsiderino i polinomi p
1
=x 2
+ax+b+ ; p
2
=x 2
+bx+a+ ; p
3
=
x 2
+ x+a+b.
a) Mostrare he per ogni valore dei parametri a;b; i tre polinomi sono dipendenti nello
spazio dei polinomiR[x℄.
b) Cal olare ladimensione dello spazio hp
1
;p
2
;p
3
iR[x℄ al variare di a;b; .
Soluzione:
Asso iamo ad ogni polinomio il vattore he esprime le sue omponenti rispetto alla base
anoni a diR[x℄:
p
1
=(1;a;b+ ); p
2
=(1;b;a+ ); p
3
=(1; ;a+b)
Consideriamo lamatri e asso iataai tre vettori:
2
4
1 1 1
a b
b+ a+ a+b 3
5
) II aI
III (b+ )I 2
4
1 1 1
0 b a a
0 a b a 3
5
)
III+II 2
4
1 1 1
0 b a a
0 0 0
3
5
a) Lamatri e asso iataai tre vettori hasempre rangominore ditre, quindi i tre vettori
e i tre polinomisono linearmente dipendenti.
b) Dalpuntoa)sappiamo hehp
1
;p
2
;p
3
ihasi uramentedimensioneminoreditre. Inoltre
{ Se a=b= , allora la matri eha rango1 e hp
1
;p
2
;p
3
i hadimensione 1.
{ Se a6=b o a6= , allora lamatri e harango 2 ehp
1
;p
2
;p
3
iha dimensione 2.
Eser izio 1.6. Siano P
1
= (1; 1;0);P
2
=(1;0; 1);P
3
=
1+ 2
p
3
; 1
p
3
; 1 1
p
3
, e P
4
=
(1;2;1)quattro punti nello spazio.
a) Cal olare l'angolo tra i vettori
!
P
1 P
2 e
!
P
2 P
3 .
b) Mediante il determinante, al olare il volume delprisma on base il triangolo P
1 P
2 P
3
e lato il segmento P
1 P
4 .
Soluzione:
a) Sia# l'angolo er ato, usiamo laformula
os(#)= (
!
P
1 P
2
;
!
P
2 P
3 )
j
!
P
1 P
2 jj
!
P
2 P
3 j
Poi he
!
P
2 P
3
=
2
p
3
; 1
p
3
; 1
p
3
;
!
P
1 P
2
=(0;1; 1);
si ha
(
!
P
1 P
3
;
!
P
2 P
3 )=0
1
p
3 +
1
p
3
=0
Quindi os (#)=0e #=
2 .
b) Ilvolumedeltetraedoemetadelvolumedelparallelepipedodilati
!
P
1 P
2 ,
!
P
1 P
3 e
!
P
1 P
4 .
Poi he
!
P
1 P
3
=
2
p
3
;1 1
p
3
; 1 1
p
3
;
!
P
1 P
4
=(0;3;1)
otteniamo
V = 1
2
det
2
6
4
0 1 1
2
p
3 1
1
p
3 1
1
p
3
0 3 1
3
7
5
= 1
2
8
p
3
= 4
p
3
![11·11])1([ +=+=+=+= RCjRRCjCjCjRCjRCjCjRCjRCjRCjR +=+=+=+= ·11·1·1·11·11 ERCjERCjCjCjECjRCjCjECjRCjV rrrrr + += += ·)1(1·)1(1·)1(1 ECjRCjCjRRVCjRRV rrr += 11 ECjRCjV rr ++++ − R R ++++ − R R C](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)