Teoria degli Errori

Teoria degli Errori



Come si raccolgono, interpretano i dati e come si presentano i risultati di un esperimento?



Cosa significa che uno strumento `e pi `u preciso di un altro?



Quando vale la pena di ripetere pi `u volte una misura? E quante volte ?



Cosa fare di un dato che non va d’accordo con gli altri ?



Risposta quantitativa in termini di probabilit`a !

1

Errori Casuali



Errori come incertezze (fluttuazioni casuali, in generale simme- triche attorno al valore vero)



sono inevitabili nelle misure ;

indipendentemente dalla precisione dell’apparato di misura.

es. misure ripetute con risultati diversi.

es. misure non ripetibili

es. misure ripetute, con risultato un solo valore ben definito (l’er- rore proviene dalla ‘sensibilit`a ’ dello strumento)



Non si misura mai il “valore vero ” di una grandezza:

scopo dell’esperimento `e stimarlo con tutta l’accuratezza neces- saria.



`E importante che il risultato sia fornito insieme all’accuratezza

con cui `e stato misurato.

Errori sistematici



Non tutti gli errori sono incertezze (fluttuazioni casuali).

Esistono gli sbagli (trascureremo questa categoria nel corso teo- rico), ed esistono gli errori sistematici.



Costituiscono errori sistematici tutti quegli effetti reali che ven- gono tuttavia trascurati in un esperimento:

– Tipo teorico (resistenza dell’aria nella caduta di un grave, at- trito in un pendolo, rifrazione della luce in una lettura di scala attraverso un vetro, espansione del regolo misuratore con la temperatura, ecc.)

– Tipo strumentale (errori nelle divisioni delle scale graduate, eccentricit`a di cerchi graduati che dovrebbero essere concen- trici, ecc.)

Gli errori sistematici sono:

3



Eliminabili in linea di principio, calcolando l’effetto (o calibran- do lo strumento) e correggendo (se sono piccoli rispetto all’accu- ratezza richiesta pu `o non essere conveniente farlo!)



Non distribuiti simmetricamente

Cifre Significative



`E impossibile dire se una cifra `e significativa se non si indica l’errore !



L’ultima cifra significativa di un risultato `e quella dello stesso ordine di grandezza (nella stessa posizione decimale) dell’errore.



Sono non significative le cifre del risultato che rappresentano una frazione piccola (

) dell’errore!



Esempio:

il risultato

non ha senso scriver `o

se

il risultato va presentato cos`i

=) 5382  5

5

Rappresentazione ed Utilizzo degli errori



Il risultato di un esperimento va sempre espresso nella forma:

x  Æx

con

dove

`e la migliore stima del valore vero (

) e

`e “l’errore su

x

”:

`e tale che nell’intervallo

`e probabile che

si trovi il valore vero

. Vedremo che

`e scelto in maniera tale

che

ha il

di probabilit`a di contenere

Errori relativi



Se

allora:

l’ errore relativo (o errore frazionario) =

jxj



Quantit`a adimensionale: perch`e

ha le stesse dimensioni di



Moltiplicato 100 d`a l’errore percentuale (%)

7

Distribuzione



Un insieme di misure costituisce una Distribuzione:



illustreremo quindi i vari tipi di distribuzioni ed i loro parametri pi ´u significativi.



Supponiamo, per esempio, di avere fatto 9 misure di qualche grandezza

ed otteniamo 6 valori distinti:

2.2, 2.4, 2.6, 2.75, 2.85, 3.0

N = 9

numero delle misure

M = 6

numero di valori distinti



La Distribuzione Discreta di queste misure in un piano cartesia- no riporta in ascisse i valori, in ordinate il numero

di volte che ciascun valore `e stato ottenuto (frequenza assoluta); se sommia- mo tutti i numeri

, allora otteniamo il numero totale di misure

9

fatte, cio´e:

M

X

k =1 n

k

= N



Un modo diverso si esprimere questi concetti `e attraverso la de- finizione di frequenza relativa

F

k

= n

k

N



Se in ordinata riportiamo la frequenza relativa la distribuzio- ne si dice normalizzata; cio´e, la somma delle frequenze relative per tutti i risultati possibili `e uguale a 1. Qualunque insieme di numeri la cui somma `e 1 `e detta essere ”normalizzata”.

M

X

k =1 F

k

= 1

`e quindi chiamata ”condizione di normalizzazione”

Distribuzione Continua



Possiamo tracciare una curva continua che passi per i punti della distribuzione discreta; maggiori sono i punti della nostra distri- buzione migliore sar´a la curva che possiamo tracciare.



Possiamo introdurre il concetto di distribuzione limite delle fre- quenze per un esperimento infinito:

Tale concetto `e un’estrapolazione, quindi un’assunzione: In que- sto senso non si osserva mai. Ma `e utile perch`e permette una semplificazione (soprattutto) matematica.



Ovviamente la distribuzione limite sar`a una curva continua

.



Per la distribuzione continua avremo che la frazione di misure- eventi che cadono nell’intervallo infinitesimo

, con estremo inferiore

, sar`a

F(x) = f(x)dx

11



La condizione di normalizzazione per la curva continua `e

Z

+1

1

f(x)dx = 1

Una

particolarmente interessante, che soddisfa la condizio- ne di normalizzazione, `e la funzione di densit`a di probabilit`a (p.d.f.) e l’integrale tra due valori della p.d.f. d´a la probabilit`a dell’intervallo di valori, cio´e :

Z

b

a

f(x)dx

D`a la probabilit`a che una misura dia un risultato compreso tra

x = a

e

Caratteristiche di una Distribuzione



MEDIA:

– media aritmetica delle misure discrete

x = N

X

i=1 x

i

N

= M

X

k =1 x

k F

k

;

dove

`e il numero totale di misure,

`e il numero di misure con valori diversi. La seconda forma `e pi `u utile perch`e si generalizza meglio al caso continuo.

– media della distribuzione continua:

x = Z

+1

1

xf(x)dx



Altro parametro importante `e la ”larghezza” della distribu- zione. La deviazione di una misura

da

si chiama scarto:



k

= (x

k

x)

13



La media aritmetica di questa quantit`a non `e un buon indica- tore di larghezza, infatti `e nulla:

M

X

k =1



k F

k

= M

X

k =1 (x

k

x)F

k

= M

X

k =1 F

k x

k

x M

X

k =1 F

k

=

= x x
1 = 0



Usiamo quindi scarto (deviazione) quadratico medio

- discreta

 2

= M

X

k =1

 2

k F

k

= M

X

k =1 F

k (x

k

N

x) 2

Oppure calcolata con la solita notazione:

 2

= N

X

(x

k

x ) 2

N

- continua

 2

= Z

+1

1

(x x ) 2

f(x)dx

 

2

prende anche il nome di varianza: la sua radice si indi- ca con

e prende il nome di deviazione standard (standard deviation o root mean square deviation R.M.S.).

Un’espressione alternativa per il calcolo della varianza `e

 2

= x 2

x 2

dimostriamo tale relazione nel caso continuo

 2

= Z

+1

1

(x x ) 2

f(x)dx =

Z

+1

1 x

2

f(x)dx

Z

+1

1

2xx f(x)dx + Z

+1

1 x

2

f(x)dx =

15

x 2

x2

+1

1

xf(x)dx x 2

+1

1

f(x)dx =

x 2

x
2
x + x 2

1 = x 2

x 2

c.v.d.

Miglior stima del valore vero e della varianza



La miglior stima del valore vero misurato con

misure affette solo da errori casuali `e il valore medio della distribuzione delle misure.



La miglior stima della varianza

`e

 2

N

= N

X

i=1 (x

i

x) 2

N 1

dove abbiamo sostituito

a

: per stimare

in un cam- pione finito si dovrebbe sempre utilizzare

: per

piccolo `e importante.

17

La deviazione standard della media



Supponiamo che due sperimentatori (

e

) facciamo

mi- sure del periodo di oscillazione di un pendolo, ed ottengano i seguenti risultati (

(sec)):

X 2:58; 2:58; 2:56; 2:56; 2:59

Y 2:6; 2:6;2:5; 2:6; 2:7

!

T

x

= 2:576 

x

= 0:0114

T

y

= 2:56 

y

= 0:0707



A questo livello `e chiaro che

`e superiore, ma supponiamo che

Y

decida, senza cambiare il suo modesto apparato di misura, di

fare 500 misure invece delle 5 originali;

e

cambieranno di

poco, diciamo:

T

y

= 2:582 

y

= 0:075

Tuttavia il valore medio `e calcolato con molte pi `u misure, quello che ci interessa `e l’errore sul valore medio; dobbiamo tenere con- to del numero di misure: la deviazione standard su

si pu `o otte- nere dalla deviazione standard sulla singola misura applicando la propagazione degli errori come vedremo poi, ora anticipiamo l’importante risultato:

(x ) =

(x)

p

N

(x)

`e la quantit`a che cercavamo: prende il nome di ‘deviazione standard sulla media’ o ‘errore standard sulla media’ o sempli- cemente ‘errore standard’ ed `e la quantit`a che all’inizio abbiamo indicato con

19

Se

fa 500 misure

T

y

= 2:582 

y

= 0:075

(T) =

deviazione standard

Æ = (T) =

(T)

p

N

=

0:075

p

500

errore standard

Propagazione degli Errori



Estremamente Importante!



Nella maggior parte dei casi la quantit`a che si vuole conoscere in un esperimento non `e quella che si misura direttamente, ma si calcola a partire da grandezze misurate direttamente

Esempio: la velocit`a

di un corpo si calcola misurando la distan- za percorsa

ed il tempo impiegato

v = l=t

oppure l’accelerazione di gravit`a

usando un pendolo semplice

g =

4

2

l

T 2

ecc.



In generale la situazione si pu `o schematizzare come segue:

Conosciamo

,

, ecc. e

,

, sappiamo che

e

21

conosciamo la forma della funzione

. Vogliamo sapere

e



lavoreremo nell’ipotesi che

,

siano affette solo da errori casua- li ed indipendenti gli uni dagli altri;

,

, siano stati ottenuti dalle

delle distribuzioni di

e

,

si ottiene da

. E’ que- sto quello che si intende abitualmente per propagazione degli errori: se vi si chiede di propagare un errore senza altre specifi- cazioni, `e a questa propagazione che ci si riferisce.



E’ utile ricordare che nel caso gli errori sistematici non siano tra- scurabili, trattarli secondo l’ipotesi che abbiamo fatto `e in gene- rale sbagliato.



Cominceremo con funzioni semplici: somma-differenza, prodot-

to, quoziente, potenza. Vedremo poi la forma generale da cui si

possono ottenere tutti i casi particolari.

Somma - differenza

 z = x + y

,

valori

,

valori

misurati; dato che x e y sono indipendenti ogni

pu `o essere combinato con ogni

per dare la somma

Allora

z

nm

= 1

nm n

X

i

m

X

j

(x

i

+ y

j

) =

1

nm n

X

i

(mx

i

+ y

1

+ ::: + y

m

) = 1

n n

X

i

(x

i

+ y

m

) =

1

n (x

1

+ x

2

+ ::: + x

n

+ ny

m

) = x + y

Passiamo ora a

,



ij

(z) = z

ij

z = (x

i

+ y

j

) (x + y) = 

i

(x) + 

j

(y);

23

 2

nm

(z) = 1

nm

X

i

X

j

 2

ij

(z) = 1

nm

X

i

X

j (

2

i

(x) +  2

j

(y) + 2

i

(x)

j

(y)) =

1

nm n

X

i

(m

2

i

(x) +  2

1

(y) + ::: +  2

m

(y) + 2

i

(x)[

1

(y) + ::: + 

m (y)

| {z }

0

]) =

= 1

n n

X

i (

2

i

(x) +  2

m

(y)) =  2

n

(x) +  2

m

(y);

PROPAGAZIONE DELL’ ERRORE



La relazione funzionale `e

y = f(x)

(o

)

x =

quantit`a misurata



x

=

errore sulla misura di



Facciamo una serie di misure

x

1

; x

2

; x

3

; ::::::x

n



Costruiamo la serie

25

1 1 2 2 n n

Vogliamo calcolare

e

o

Si fanno i conti gi`a fatti seguendo una procedura pi `u rigorosa dalla precedente

a) valor medio

y = 1

N (y

1

+ y

2

+ ::: + y

N

) =

1

N

[f(x

1

) + f(x

2

) + ::: + f(x

N )]

Ricapitolazione su errori e propagazione



Il risultato della misura di X va sempre posto nella forma

con l’opportuno numero di cifre significative

 Æx

pu `o essere casuale o sistematico



Se la misura `e ripetibile la miglior stima di X `e

sull’insieme di

misure, questa stima `e affetta da errore casuale

Æx = 

N

(x ) =



N

(x)

p

N

dove con

si `e indicata la migliore stima della deviazione stan- dard tale che

 2

N

(x) = N

X

i=1 (x

i

x) 2

1

N 1

 (x)

`e un parametro collegato alla probabilit`a di deviazione di una

27

qualsiasi misura



La propagazione degli errori casuali ed indipendenti `e governata dalla legge:

dato

e note

,

,

 2

(z) = ( Æf

Æx )

2

 2

x

+ ( Æf

Æy )

2

 2

y

Somma in quadratura degli errori assoluti per somme e differenze,

somma in quadratura degli errori relativi per prodotti e quozienti

Esercizio



Si usano 2 metodi per misurare il carico di rottura di un filo d’ac- ciaio e si fanno 10 misure per ognuno dei 2. I risultati

in tonnelate peso sono:

A: 3.3, 3.5, 3.7, 3.2, 3.6, 3.5, 3.6, 3.4, 3.6, 3.9;

B: 3.5, 3.6, 3.6, 3.7, 3.5, 3.6, 3.5, 3.5, 3.6, 3.5;



Stimare la precisione di ciascun metodo.



Dare la migliore stima di

e l’errore standard su

per il me- todo A e il metodo B, trovare quante misure si dovrebbero fare con il metodo meno preciso per dare un risultato tanto accurato quanto con l’altro metodo.

29

Soluzione



A:



B:

 =)

Stima della precisione del metodo o dell’apparato



A:

Æ(F

R

) = (F

R

) =

(F

R )

p

N = p

10

Æ(F

R

) = 0:0633



B:

Æ N

A (F

R

) =



A (F

R )

p

N

= 0:0221

N =



A (F

R )

Æ

B

=

0:20028

0:0221

= 9:062

=) N



= 82

31