Si supponga di voler verificare che due forniture di resistenze di valore nominale dichiarato (per esempio sia = 470 ) sia affidabile. Si supponga che ogni fornitura sia normalmente distribuita con deviazione standard = 20 ma con valor medio differente. Per una stima rapida del valor medio si misuri un campione di N = 25 resistenze da ogni fornitura. Si e’ trovato:
1° campione x
1= 480
2° campione x
2= 475
a) Quale è la probabilità che la differenza tra il valore medio osservato e quello atteso sia solamente di origine statistica ?
b) Quale valore di x, a livello di confidenza del 95 %, rappresenta una stima del valore vero ? c) Quale valore di x, a livello di confidenza del 98 %, rappresenta una stima del valore vero ? d) Quale deve essere il valore di N per essere sicuri, a livello di confidenza del 98%, che la
stima x non differisca da per più di 5 ?
Sappiamo il valore medio ‘vero’ 470 Sappiamo la deviazione standard ‘vera’ 20
Facciamo 1 cicli di 25 misure da una ‘popolazione’ per scatola di resistenze Otteniamo due valori medi
% 13 . 21 87 . 78 100 ) (
25 . 4 1
470 475
% 24 . 1 76 . 98 100 ) (
5 . 4 2
470 480 5 4 20
1 2
1 1
esterna x P
t
esterna x P
t
N
m m m
9 4 470
32 470 . 2
% 98 ) interna (
8 4 470
96 470 . 1
% 95 ) interna (
x x t x
P
x x t x
P
9 . 28 86
5 32 20 . 4 2
32 5 . 2
5 20
32 / . 2
% 98 ) interna (
2
N N
N N
x sigma
N x N
x t x
P
m
Il lato di un dado è pari a 2.1 cm.
Usando le cifre significative per stimare l’errore calcolare il volume del cubo
Supponendo che la deviazione standard nella misura del lato sia di 1 mm calcolare la deviazione standard che associata alla misura del volume. Supponendo che la sensibilità strumentale sia di 1 mm, calcolare la deviazione standard sul volume
1) Nota prima faccio i conti con tutte le cifre possibili V=l
3=(2,1)
3=9.261
Poi scrivo il risultato finale con le cifre significative corrette V = 9.3 cm
32) Anche in questo caso prima faccio i conti con tutte le cifre possibili, per trovare la deviazione standard devo usare la propagazione degli errori
V = 9.26 ± 0.63cm
33) E’ come l’esercizio 2 con deviazione standard pari a 0.05 mm Devo usare la propagazione degli errori con sigma = 0.05 mm
V = 9.26 ± 0.32cm
3Notate che:
1) Nel primo caso l’incertezza iniziale era del 5% (0.1/2.1) nel volume è diventata 1%
2) Nel secondo caso l’incertezza iniziale era del 5% (0.1/2.1) nel volume è diventata 7%
3) Nel terzo caso l’incertezza iniziale era del 2.5% (0.1/2.1) nel volume è diventata 3.5%
Un corpo è fatto da tre oggetti differenti di peso 10 g, 0.3 g, 0.01 g
Quanto è il peso del corpo usando le cifre significative per valutare l’incertezza.
Se ogni misura fosse fatta con una deviazione standard di 0.005 g, quale è la deviazione standard sulla massa del corpo (quindi 10.000, 0.3000, 0.010g)
1) Nota prima faccio i conti con tutte le cifre possibili M=m
1+m
2+m
3= 10 + 0.3 + 0.01 = 10.31 g
Poi scrivo il risultato finale con le cifre significative corrette M = 10 g
2) Anche in questo caso prima faccio i conti con tutte le cifre possibili, per trovare la deviazione standard devo usare la propagazione degli errori
M = 10.000 + 0.300+0.010=10.510 ± 0.087 g
2) Una serie composta da 5 cicli di 10 misure ripetute e indipendenti di un periodo di oscillazione di un pendolo semplice ha dato i seguenti risultati (si legga T valor medio e
T= deviazione standard)
I misura II misura III misura IV misura V misura
T = 1.174 s T = 1.184 s T = 1.171 s T =1.172 s T = 1.170 s
T= 0.006 s
T= 0.012 s
T= 0.012 s
T= 0.006 s
T= 0.013 s
Supponendo che ciascuna misura segua una distribuzione gaussiana, i cinque risultati ottenuti sono compatibili tra loro a livello di confidenza del 95% ?
Usando il risultato dell’analisi precedente, si calcoli il miglior valore di T ed il suo errore.
La seconda misura risulta incompatibile con le altre in quanto valutando la discrepanza d= T
2-T
idella stessa da ogni altra e il corrispondente errore
md= ((m
2)
2+ (m
i)
2)
1/2risulta (per ogni i=1,3,4,5) d/m
d> 1.96
La seconda misura è incompatibile con le altre in quanto anche considerando la misura con la più alta deviazione standard.
La misura 2 non risulta essere compatibile con un C.L. del 95%
Se questa è la soglia ‘statistica’ allora la misura 2 non rappresenta la stessa osservabile fisica delle misure 1,3,4,5. Quindi, una volta evidenziata la NON compatibilità con ogni altra misura non va inserita nella media pesata
T m
1.174 0.006 0.0019 1.184 0.012 0.0038 1.171 0.012 0.0038 1.172 0.006 0.0019 1.17 0.013 0.0041
d
m-tot d/
m-tot
-tot d/
-tot 1-2 0.01 0.004249 2.353756 0.013416 0.745356 3-2 0.013 0.005374 2.41905 0.016971 0.766032 4-2 0.012 0.004249 2.824507 0.013416 0.894427 5-2 0.014 0.00559 2.504396 0.017692 0.791327 1.151.155 1.16 1.165 1.17 1.175 1.18 1.185 1.19
1 2 3 4 5
P e ri o d o [s ]
Media 1.172 s dev.std 0.002 s
T m
T
m T(m)
1.174 0.006 0.0019 27778 32611 326111.1 277777.8
1.171 0.012 0.0038 6944 8132 81319.44 69444.44
1.172 0.006 0.0019 27778 32556 325555.6 277777.8
1.17 0.013 0.0041 5917 6923 69230.77 59171.6
Media Pesata 1.1725 s 1.1725 s
Dev. Std. 0.0038 s
Dev.st.Media 0.0012 s 0.0012 s
Notare che per la deviazione dalla media della media pesata devo dividere per rad(10) e che è indifferente
Notate che in questo caso la correzione con la ‘t’ di student non cambia la sostanza delle
conclusioni (sono state fatte 10 misure, un numero sufficiente per avere una buona stima della
deviazione standard)
E’ necessario misurare con precisione la massa di un corpo.
Sapendo che la deviazione standard della misura è pari a 1.3 g e che il corpo da pesare ha una massa
dell’ordine di 125 g valutare il numero di pesate necessarie per avere un errore pari al 0.5% e al
0.1% ?
In questo caso l’incertezza sul momento di inerzia è guidato dalla incertezza sulla misura del raggio
r della puleggia
La costante elastica K di una molla è stata misurata con il metodo statico. Sono state fatte 3 misure
con il metodo statico (3,45 N/m, 3,21 N/m e 3.47 N/m). Sapendo che il valore atteso per la K è di
3.67 valutare quale sia la probabilità che la differenza tra il valore misurato e atteso sia di origine
statistica
E’ possibile misurare la massa equivalente in un calorimetro attraverso la relazione
Dove T
3è la temperatura finale dell’acqua nel calorimetro, T
1quella iniziale e T
2quella dell’acqua versata.
Nell’ipotesi che M
1=M
2=100 g
m=5 g,T
1=26.0°,T
2=49.0 e T
3=37.0°
T=0.1° calcolare:
1) la massa equivalente ed il suo errore
2) Nella determinazione dell’errore pesa di più l’incertezza sulla misura della massa o della temperatura ?
Nota le variabili intermedie ! A1= T2-T3 e A2=T3-T1
2T
3 2T
1
3M
1T T
M
eM
La densità di un liquido viene misurata da 3 studenti differenti con metodologie e strumentazione differente. I valori medi e gli errori delle medie sono riportati in tabella :
Studente A 348.8 ± 2.5 Kg/m3 Per 10 misure
Studente B 352.0 ± 4.0 Kg/m3 Per 10 misure
Studente C 353.2 ± 2.0 Kg/m3 Per 10 misure
a) si dica se i 3 valori della densità sono compatibili a livello di confidenza del 95%
b) si calcoli il miglior valore della densità ed il suo errore tenendo conto del risultato del punto precedente.
c) Se lo studente B ripetesse la misura 20 volte (nelle stesse condizioni sperimentali) di quanto si ridurrebbe la sua incertezza?
Sono consistenti ? densità sigma
