Il test del massimo valore

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Il test del massimo valore

Per dimostrare che in alcuni casi la legge del valore estremo EV1 non è adeguata a descrivere le scie degli estremi idrologici, si può far ricorso ad un test molto semplice, nel quale la statistica di riferimento è il valore massimo tra i dati del campione.

L’ipotesi H0 da sottoporre a verifica è: “Il valore massimo Xn appartiene alla distribuzione dei massimi di una variabile di Gumbel”?

Per la statistica Xn è semplice ricavare per via diretta la distribuzione. Infatti, come risulta dal procedimento di costruzione della distribuzione del massimo di una variabile casuale, si ha:

 



X

  

^N

X x F x

F N ( )

Se la variabile FX (x) è una Gumbel, la distribuzione del massimo di un campione di N dati estratti da una Gumbel è pertanto:

F

_X_{ }_N

  x  e

^e^

1

2X1



  

 

N

L’espressione precedente è ancora una legge di Gumbel. Si vede infatti che:

   ₁

2 1 1 ln

2

1 

 

 ^ ^ ^

 

^Ne ^X

 e

^e ^N^e ^x

e

per cui, ipotizzando una distribuzione di Gumbel con un nuovo valore modale



₁^*, questo risulta dall’equivalenza:

e

^e

1

₂

 

^X^₁^*

 e

^e^

1

₂^X^₁^{ln N}

per cui:

 1



₂



^X ^



₁^*



^{ }

_

¹

2

x



₁

 

^{ lnN}

x  

₁^*

 x  

₁

 

₂

ln N



₁^*

 

₁

 

₂

ln N

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5 La nuova distribuzione è quindi ancora una Gumbel, ma con un parametro ε incrementato:

F

_X

 N

  x  e

^e^

1

₂^X^_1_{2 ln N} .

In carta probabilistica di Gumbel ciò equivale a traslare della quantità ₂ln N la retta di Gumbel originaria.

Nota quindi la distribuzione della statistica test se ne deduce l’intervallo di accettazione, in funzione del livello di significatività α. Se α = 5%, trattandosi di un controllo per estremi positivi, si lascia l’errore solo da un lato, per cui risulta che il limite di accettazione positivo per X(N) è X(F_X_{( N}₎=0.95). Di conseguenza, se il valore max campionato su N dati risulta essere superiore al valore limite al 95% dei massimi su N dati estratti da una Gumbel, tale distribuzione mostra di essere inadatta a rappresentare il campione, almeno nella sua coda positiva. Si rende quindi necessario far ricorso a distribuzioni più asimmetriche.

0 500 1000 1500 2000 2500 300

0.01 0.02 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99 0.995 0.999

Probabilità cumulata ²

5 10 20 100

[T]

Max annuale delle portate al colmo di piena [mc/s]

GUMBEL

₂₀₀



_

Ln N

1000

Q

_n,0.95

Regione di accettazione