Quando l'IMPLICAZIONE è VERA si dice anche che essa è una PROPRIETA' o un TEOREMA.
Un TEOREMA è una PROPOSIZIONE che, partendo da delle condizioni iniziali giunge, attraverso una DIMOSTRAZIONE, a delle conclusioni.
Nel TEOREMA:
p è la condizione dalla quale si parte e prende il nome di IPOTESI;
q è la conclusione alla quale si giunge e prende il nome di TESI.
La DIMOSTRAZIONE non è altro che un ragionamento logico che permette, partendo dall'IPOTESI di giungere alla TESI: in pratica si tratta di una serie di IMPLICAZIONI LOGICHE che confermano che le ipotesi implicano la tesi.
La DIMOSTRAZIONE di un teorema consiste in una serie di considerazioni logiche che dobbiamo effettuare per poter dire che, essendo vera l'ipotesi è vera anche la tesi.
Le tecniche di ragionamento deduttive usate in matematica per dimostrare un teorema,
indipendentemente dal significato delle proposizioni in esse contenute ,sono chiamate FIGURE DI RAGIONAMENTO.
Le FIGURE DI RAGIONAMENTO più conosciute sono:
MODUS PONENS
; “accorciamento del latino modus ponendo ponens (letteralmente: modo che pone con l'aver posto)”
MODUS TOLLENS
; "il modo che toglie la verità di una proposizione togliendo quella di un'altra"In pratica esse sono delle tautologie che rappresentano le forme di ragionamento deduttive più impiegate in matematica.
MODUS PONENS
Supponiamo di avere due proposizioni p e q.
La
REGOLA DEL MODUS PONENS afferma che, se p implica q è vera e anche p è vera allora anche q è vera.
Quindi:
se ( p implica q è VERA e p è VERA) allora q è VERA.
Ora dimostriamo che questa è una TAUTOLOGIA usando le TAVOLE DI VERITA':
p q p→q (p→q)ʌ p [(p→q)ʌ p]→q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
Abbiamo così dimostrato che ci troviamo di fronte ad una TAUTALOGIA.
MODUS TOLLENS
Supponiamo di avere due proposizioni p e q.
La
REGOLA DEL MODUS TOLLENS
afferma che, se p implica q è vera e q è falsa, allora anche p è falsa.
Questo modo di dimostrare un teorema si dice METODO INDIRETTO.Quindi: se( p implica q VERO e q FALSO) allora p è FALSO.
Ora dimostriamo che questa è una TAUTOLOGIA usando le TAVOLE DI VERITA':
p q (not p) (not q) p→q (p→q)ʌ (not q) [(p→q)ʌ (not q)]→ not p
V V F F V F V
V F F V F F V
F V V F V F V
F F V V V V V
Abbiamo così dimostrato che ci troviamo di fronte ad una TAUTALOGIA.
Condizione NECESSARIA - condizione SUFFICIENTE
Può accadere che , in alcune situazioni , l’implicazione sia sempre VERA (cioè è impossibile che si verifichi il caso p Vero e q Falso).
In questo caso possiamo dire che:
p è CONDIZIONE SUFFICIENTE per q (perché sia vero q è sufficiente(basta) che sia vero p)
q è CONDIZIONE NECESSARIA per p (perché sia vero p è necessario(indispensabile) che sia vero q
In ogni TEOREMA:
la verità dell'IPOTESI p è CONDIZIONE SUFFICIENTE per la verità della TESI q la verità della TESI q è CONDIZIONE NECESSARIA per la verità dell'IPOTESI p.
Esempio:
p(x)=” x è multiplo di 4”
q(x)=” x è pari”
Se “x è multiplo di 4” allora “
x è pari”
L’implicazione
è sempre vera , quindi:Perché “x sia pari “ è sufficiente che “ x sia multiplo di 4”
Oppure
Perché “x sia multiplo di 4” è necessario che “ x sia pari”
Condizione NECESSARIA e SUFFICIENTE
In altre situazioni si verifica non solo che l’implicazione è sempre vera ma anche che l’implicazione contraria è sempre vera ,cioè che la
coimplicazione è sempre vera. Sappiamo che questo accade quando le due proposizioni p e q assumono lo stesso valore di verità.
Quindi in questo caso possiamo dire che:
poiché
p è CONDIZIONE SUFFICIENTE per q;
q è CONDIZIONE NECESSARIA per p.
poiché :
q è CONDIZIONE SUFFICIENTE per p;
p è CONDIZIONE NECESSARIA per q.
Pertanto, ognuna della proposizioni p e q, è
CONDIZIONE NECESSARIA e SUFFICIENTE
per l'altra.Il che viene espresso dicendo che
p è vera se, e solo se, q è vera.
Esempio:
p(x)=” x è un triangolo equilatero”
q(x)=” x è un triangolo equiangolo”
“x è un triangolo equilatero” se e solo se “x è un triangolo equiangolo”
La coimplicazione è sempre vera, quindi:
Perché “x sia un triangolo equiangolo” è necessario e sufficiente che “x sia un triangolo equilatero”
Oppure
Perché “x sia un triangolo equilatero” è necessario e sufficiente che “x sia un triangolo equiangolo”.
