• Non ci sono risultati.

Miglior approssimazione in spazi euclidei

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Miglior approssimazione in spazi euclidei"

Copied!
47
0
0

Testo completo

(1)

Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

30 aprile 2021

(2)

Uno spazio vettoriale E dotato di un prodotto interno (·, ·) in R cio`e una funzione a valori in R definita sulle coppie x, y ∈ E con le seguenti propriet`a

1 (x , x ) ≥ 0 per ogni x ∈ E ; inoltre (x , x ) = 0 se e solo se

x = 0;

2 (x , y ) = (y , x ) per ogni x , y ∈ E ;

3 (λx , y ) = λ(x , y ) per ogni x , y ∈ E e λ ∈ R; 4 (x , y + z) = (x , y ) + (x , z) per ogni x , y , z ∈ E .

si dicespazio euclideoin R.

(3)

Definizione (Spazio euclideo (in C))

Uno spazio vettoriale E dotato di un prodotto interno (·, ·) in C, cio`e una funzione complessa definita su (x , y ) ∈ E × E tale che

1 (x , x ) ≥ 0 per ogni x ∈ E ; inoltre (x , x ) = 0 se e solo se

x = 0;

2 (x , y ) = (y , x ) per ogni x , y ∈ E ; 3 (λx , y ) = λ(x , y ) per ogni x , y ∈ E ; 4 (x , λy ) = λ(x , y ) per ogni x , y ∈ E ;

5 (x , y + z) = (x , y ) + (x , z) per ogni x , y , z ∈ E .

si dicespazio euclideoin C.

A partire dal prodotto interno si pu`o definire lo spazio normato (E , k · k2) ponendokf k2 =p(f , f ).

(4)

(x , y + z) = (x , y ) + (x , z), per ogni x , y , z ∈ E

necessariamente per ”m” finito

(x ,Pm

k=1yk) =

Pm

k=1(x , yk);

(5)

Vediamo alcuni esempi di spazi euclidei:

Rn dotato dell’usuale prodotto scalare, `e uno spazio euclideo;

se e1, . . . , en `e una base ortonormale, cio`e per cui

(φj, φk) = δj ,k (dove al solito δj ,k `e il delta di Kronecker),

allora ogni vettore x ∈ Rn si pu`o scrivere come

x =

n

X

k=1

cnen, ck = (x , ek).

Infatti, moltiplicando ambo i membri di x per ek si ha per la

bilinearit`a del prodotto scalare

(x , es) = n X k=1 cnen, es ! = n X k=1 cn(en, es) = cs(es, es) = cs.

(6)

lo spazio C ([a, b])delle funzioni continue nel compatto [a, b], dotato del prodotto scalare

(f , g ) = Z b

a

f (x )g (x ) dx

`

e uno spazio euclideo, cf. [8, p.145]. lo spazio L2

R([a, b]) lo spazio dellefunzioni misurabili

f : [a, b] → R con [a, b] compatto e tali che |f |2 sia integrabile (cf.[4, p.5]), dotato del prodotto scalare

(f , g ) = Z b

a

f (x )g (x ) dx

`

(7)

lo spazio L2

C([a, b]) lo spazio delle funzioni misurabili

f : [a, b] → C con [a, b] compatto e tali che |f |2 sia integrabile (cf.[4, p.5]) , dotato del prodotto scalare

(f , g ) = Z b

a

f (x )g (x ) dx

`

e uno spazio euclideo completo, cf. (cf.[4, p.5]).

Ricordiamo che se z = a + i · b allora z = a − i · b e z si chiama ilconiugiodi z.

(8)

Teorema (Pitagora)

Sia E uno spazio euclideo, e siano f , g ∈ E tali che (f , g ) = 0 (cio`e f e g sono ortogonali). Allora kf + g k22 = kf k22+ kg k22.

Dimostrazione.

Essendo (f , g ) = 0, dalla bilinearit`a del prodotto interno,

kf + g k22 = (f + g , f + g ) = (f , f ) + (g , f ) + (f , g ) + (g , g ) = (f , f ) + 0 + 0 + (g , g )

= kf k22+ kg k22

4

Notazione.

Denoteremo con < φk >k=1,...,N lo spazio vettoriale definito da

(9)

Teorema (Proiezione ortogonale)

Sia f ∈ E , E spazio euclideo in C e {φj}1,...,N ⊂ E un sistema finito di

elementi linearmente indipendenti. Alloraf∗=PN j =1c

jφj, dove i coefficienti cj∗ verificano le cosidetteequazioni normali

N X k=1 (φj, φk)ck∗= (φj, f ), j = 1, . . . , N. `e tale che kf − f∗k2= min g ∈<φk>k=1,...,N kf − g k2.

La soluzione `e tale chef∗− f `e ortogonale a tutti i φk, con k = 1, . . . , N o equivalentemente

(10)

Dimostrazione.

Supponiamo che per un certo f∗ =P

1,...,Ncj∗φj si abbia che

f∗− f sia ortogonale a tutti i φk (e quindi a ogni loro

combinazione lineare).

Supponiamo f◦6= f∗ sia l’elemento di migliore approssimazione.

Allora, visto che f − f∗ `e ortogonale a f∗− f◦∈< φk >,

utilizzando il teorema di Pitagora

kf − f◦k22 = k(f − f∗) + (f∗− f◦)k22 = kf − f∗k2

2+ kf∗− f◦k22> kf − f∗k22 (2)

(11)

Di conseguenza se f∗ ∈< φk >k=1,...,N e f∗− f `e ortogonale a tutti

i φk allora f∗ `e la miglior approssimazione di f in < φk >k=1,...,N.

Rimane allora da mostrare che le condizioni di ortogonalit`a

  N X j =1 cj∗φj− f , φk  = 0, k = 1, . . . , N

sono soddisfatte per un qualche (unico!) c∗ = (cj)j =1,...,N.

Con qualche facile conto si vede che il problema `e equivalente alla esistenza della soluzione del sistema di equazioni normali

N

X

j =1

(φj, φk)cj∗= (f , φk), k = 1, . . . , N (3)

cio`e che la matrice G = (Gj ,k) = ((φj, φk)) `e non singolare.

(12)

Mostriamo che la matrice (di Gram) G `e hermitiana, cio`e G = G , definita positiva e quindi non singolare. Infatti gli autovalori di queste matrici sono tutti strettamente e quindi lo `e pure il loro prodotto che a sua volta `e esattamente il determinante.

Il fatto che siahermitiana `e di immediata verifica, poich`e Gj ,k = (φj, φk) = (φk, φj) = Gk,j.

Per mostrare che `edefinita positiva, basta vedere che se v = (vi) ∈ CN\{0}, Gj ,k = (φj, φk), allora vHGv > 0.

A tal proposito si osservi che vHGv ∈ Ressendo

(13)

Supponiamo sia v = (vj) ∈ CN\{0}, Gj ,k = (φj, φk). Allora, visto che 1 λ(u, v ) = (u, λv ), 2 λ(u, v ) = (λu, v ), 3 Pm k=1(x , yk) = (x ,Pmk=1yk), 4 Pm k=1(xk, y ) = (Pmk=1xk, y ), postou =P

jφjvj6= 0, visto che qualche vj6= 0, abbiamo

vHGv = X j vj X k Gj ,kvk= X j vj X k vk(φj, φk) (1) =X j vj X k (φj, vkφk) (3) = X j vj(φj, X k vkφk) (2) =X j (φjvj, X k φkvk) (4) = (X j φjvj, X k φkvk) = (u, u) = kuk22> 0.

Di conseguenza G `e definita positiva e quindi l’elemento di miglior

approssimazione f∗ esiste, `e unico e ha i coefficienti che risolvono le equazioni normali.

(14)

Nota.

Bisogna fare un po’ di attenzione al sistema da risolvere, qualora il prodotto scalare sia in C. La matrice di Gram G = (Gi ,j) = (φi, φj)C `e hermitiana e

quindi G = GH. Di conseguenza la k-sima equazione del sistema delle

equazioni normali X j (φj, φk)c ∗ j = (φk, f ), k = 1, . . . , N (4)

comporta che, supposto che b = (bk)k= (φk, f )C e c ∗

= (ck∗)ksiano vettori

riga, allora (4) si possa scrivere come c∗G = b. Osservato che (c∗)H, bH sono vettori colonna,

c∗G = b ⇔ (c∗G )H= bH⇔ GHc∗H = bH⇔ G c∗H= bH

Quindi si risolve Gu = bH e dalla soluzione u

(15)

Nota.

Osserviamo ora chese non si possiede una base ortogonale

k}k=1,...,N allora per ottenere l’elemento di miglior approssimazione, bisogna

calcolare i prodotti scalari (φj, φk) per j , k = 1, . . . , N;

calcolare i coefficienti bj = (φj, f ) per j , k = 1, . . . , N ;

risolvere numericamente X

j

(φj, φk)cj∗ = (φk, f ), k = 1, . . . , N. (5)

(16)

Sedisponiamo di una base ortogonale{φk}k=1,...,N si vede facilmente

chela soluzione del sistema delle equazioni normali N

X

j =1

(φj, φk)cj∗= (φk, f ), k = 1, . . . , N,

´e tale che i coefficienti di Fourier

ck∗= (φk, f ) (φk, φk)

k = 1, . . . , N,

la cui valutazione necessita il calcolo di 2N prodotti interni e N divisioni. Inoltre si noti che se la base {φk}k=1,...,N ´eortonormale, ovvero

(17)

Problema.

Sia E uno spazio euclideo.

Cosa ´e una base di E (si noti che E potrebbe non avere dimensione finita!)?

Data una definizione di base, cose serve richiedere ad E perch`e esista una base con cardinalit`a numerabile? Come ottenere basi ortonormali da una base arbitraria?

(18)

Definizione (Separabile, [8, p.48])

Uno spazio euclideo E si diceseparabile se e solo se contiene un sottinsieme S ⊆ E denso e numerabile.

Teorema

In uno spazio euclideo separabile esiste un sottinsieme {φk}k di

cardinalit`a finita o numerabile tale che se x ∈ E allora si pu`o scrivere formalmente

x =X

k∈N

ckφk

intendendo che limnkx −Pnk=0ckφkk2= 0;

(19)

Di seguito con la dicituraspazi euclidei, sottointenderemo che sono

separabili.

Vale il seguente teorema, basato sull’algoritmo diGram-Schmidt

(cf. [4, p.165]),

Teorema (Ortogonalizzazione)

Siano f1, . . . , fn, . . . un insieme numerabile di elementi linearmente

indipendentidi uno spazio euclideo E .

Allora E contiene un insieme di elementi {φk}k=1,...,n,... tale che

1 il sistema {φn} `e ortonormale (cio`e (φm, φn)=δm,n, dove δm,n

`

e il delta di Kronecker);

2 ogni elemento φn`e una combinazione lineare di f1, . . . , fn;

3 ogni elemento fn `e una combinazione lineare di φ1, . . . , φn.

(20)

Nota.

Si osservi che

l’insieme di partenza f1, . . . , fn, . . .non deve essere

necessariamente finito, come di solito viene spesso richiesto nell’algoritmo di ortogonalizzazione di matrici;

l’insieme φ1, . . . , φn, . . . non deve essere necessariamente

finito;

se lo spazio euclideo ha unabase numerabile formata da elementi linearmente indipendenti f1, . . . , fn, . . ., allora ha pure

(21)

Definizione (Serie di Fourier)

Se f ∈ E ,

ck = (f , φk), k = 1, 2, . . .

e {φk}k=1,...,∞ `e una successione di elementi ortonormali di E , la

serie (formale)

+∞

X

k=1

ckφk

`e chiamataserie di Fourier di f .

(22)

Definizione (Chiuso)

Sia

φ1, . . . , φn, . . .

una successione di elementi ortonormali di uno spazio vettoriale normato X . Se ogni elemento f ∈ X pu`o essere scritto

formalmente come serie di Fourier allora l’insieme {φk}k=1,..., si

dicechiusoin X .

Problema.

(23)

Teorema (Bessel-Parseval)

Sia φ1, . . . , φn, . . . una successione di elementi ortonormali di uno

spazio euclideo E e sia f ∈ E . Allora L’espressione kf − n X k=1 akφkk2 ha il minimo per ak = ck = (f , φk), k = 1, 2, . . . , n ed `e uguale a v u u tkf k2 2− n X k=1 ck2.

(24)

Vale ladisuguaglianza di Bessel

X

k=1

ck2 ≤ kf k22.

Vale l’uguaglianza di Parseval

X

k=1

ck2= kf k22

per ogni f ∈ E se e solo se l’insieme {φk}k=1,2,..., `e chiuso in

(25)

Nota.

Osserviamo che

la soluzione al problema di miglior appross. in norma k · k2

esiste ed `e unica: per ottenerla basta calcolare i coefficienti di Fourier.

se {ck}k=1,...,n determina l’elemento di miglior

approssimazione di f rispetto alla norma indotta dal prodotto scalare in Sn=< φ1, . . . , φn>, allora lim n kf − n X k=1 ckφkk2 = lim n v u u tkf k2 2− n X k=1 ck2 = 0

in virt`u dell’uguaglianza di Parseval.

(26)

Definizione (Polinomi trigonometrici)

Lo spazio vettoriale TR

n deipolinomi trigonometrici di grado n`e

costituito dalle combinazioni lineari delle funzioni

φ∗0(x ) ≡ 1

(27)

Osserviamo che per n = 1, 2, . . ., essendo per leformule di Werner

cos (nx ) · cos (mx ) = cos ((n + m)x ) + cos ((n − m)x )

2 (6) e Z π −π cos (kx )dx =  0, k 6= 0 2π, k = 0 (7)

applicando la formula di Werner nel primo e quarto punto sen > 0: Rπ −πcos2(nx ) dx = Rπ −π cos (2nx )+1 2 dx = π; sen > 0: Rπ −πsin 2(nx ) dx =Rπ −π(1 − cos2(nx )) dx = π; Rπ

−πcos (nx ) · sin (mx ) dx = 0, (integranda dispari);

−πcos (nx ) · cos (mx ) dx = 0, m 6= n, (da (6) e (7)).

(28)

Inoltre per n = 1, 2, . . .,

(29)

SiaL2

R([−π, π])lo spazio delle funzioni misurabili f : [−π, π] → R e

tali che |f |2 sia integrabile (cf.[4, p.5]), dotato del prodotto scalare

(f , g ) =

Z π

−π

f (x )g (x ) dx

.

Si dimostra che le 2n + 1 funzioni

φ0(t) = 1/ √ 2π φ2k−1(t) = cos (kt)/ √ π, k = 1, . . . , n φ2k(t) = sin (kt)/ √ π, k = 1, . . . , n

formano una base ortonormale di TR

n dotato del prodotto

scalare di L2

R([a, b]).

Si vede che {φk}k∈N `e chiuso in L2

R([−π, π]) (cf. [4, p.267]).

(30)

Teorema ([4, p.267])

Consideriamo la successione di elementi ortonormali

1/ √

2π, . . . , cos (nt)/√π, sin (nt)/√π, . . .

di L2

R([−π, π]). Allora i coefficienti di Fourier che determinano

l’elemento di miglior approssimazione corrispondono a

(31)

Definizione (Polinomi trigonometrici complessi)

Lo spazio vettoriale TC

n deipolinomi trigonometrici complessi di

grado n`e costituito dalle combinazioni lineari delle funzioni

φ∗0(x ) ≡ 1

φ∗2k−1(x ) ≡ exp (−ikx), k = 1, . . . , n φ∗2k(x ) ≡ exp (ikx), k = 1, . . . , n

dove ”i ”, come al solito, `e la costante immaginaria.

(32)

La successione {φ∗k}k `e composta di elementi ortogonali di L2C([0, 2π]).

Dimostrazione.

Per j , k ∈ Z, dall’identit`a di Eulero exp(it) = cos(t) + i sin(t), per t = kx, exp (ikx ) = cos (kx ) + i sin (kx ) = cos (kx ) − i sin (kx ) = exp (−ikx ) e dal fatto che exp (imx ) · exp (inx ) = exp (i (m + n)x ) ricaviamo

Z 2π 0

exp (ijx ) · exp (ikx ) dx = Z2π

0

exp (i (j − k)x ) dx .

Sej = k tale integrale vale evidentemente 2π altrimenti, sej 6= k vale 0 in quanto per il teorema fondamentale del calcolo integrale

Z2π 0

exp (i (j − k)x ) dx = (exp (i (j − k)2π) − exp (i (j − k)0)) i (j − k)

= (cos((j − k)2π) + i sin((j − k)2π)) − 1

i (j − k) =

(33)

Poich`e {φ∗k}k∈N `e chiusa in L2C([0, 2π])(cf.[2, p.24-27])

Teorema

Consideriamo la successione di elementi ortonormali di L2C([0, 2π]) 1/√2π,

exp (−ikx )/√2π, k = 0, . . . , n exp (ikx )/√2π, k = 0, . . . , n

Allora i coeff. di Fourier dell’elemento di miglior appross. sono c0=√1 R2π 0 f (x ) dx ; c2k−1=√1 R2π 0 f (x ) exp (ikx ) dx , k = 1, 2, . . .; c2k = √1 R2π 0 f (x ) exp (−ikx ) dx , k = 1, 2, . . .; ed `e limkEk(f ) = 0.

(34)

Di solito non si usa per tali serie di Fourier la notazione introdotta, ma si preferisce descriverla come la serie bilatera

(35)

Si supponga che la funzione f ∈ L2

C([0, 2π]) sia

continua in [0, 2π],

periodica cio`e f (0) = f (2π).

Dalla teoria `e noto che possiamo scrivere formalmente

f (x ) = ∞ X k=−∞ 1 2π Z 2π 0 f (x ) exp (−ikx ) dx  exp (ikx ). (10)

Usualmente non si calcola tutta la sommatoria ma si considera una sua approssimazione M X k=−M 1 2π Z 2π 0 f (x ) exp (−ikx ) dx  exp (ikx )

per M sufficientemente grande.

(36)

Osserviamo che differentemente dalla classica interpolazione polinomiale in nodi generici, l’approssimante trigonometrica `e disponibile se siamo in grado di calcolare numericamente la quantit`a

Ik := 1 2π Z 2π 0 f (x ) exp (−ikx ) dx per k = −M, . . . , M.

Per funzioni continue e periodiche, si prova che `e una buona scelta utilizzare la formula deitrapezi composta([1, p.285-288])

(37)

Supponiamo g : [0, 2π] → R sia continua,

periodica, cio`e g (0) = g (2π).

Utilizzando la formula composta dei trapezi basata su M∗ intervalli equispaziati, posti xj = jh, j = 0, . . . , M∗, h = 2π/M∗ Z 2π 0 g (x )dx ≈ h 2(g (0) + g (2π)) + h M∗−1 X j =1 g (xj) = h · g (2π) + h M∗−1 X j =1 g (xj) = h M∗ X j =1 g (xj) = 2π M∗ M∗ X j =1 g (xj)

(38)

Cos`ı, per g continua e periodica in [0, 2π] Z 2π 0 g (x )dx ≈ 2π M∗ M∗ X j =1 g 2jπ M∗  . Supposto che

f sia continua e periodica in [0, 2π], g (x ) = f (x ) exp (−ikx ), k = −M, . . . , M, M∗ = 2M + 1

posto γk = 1

R2π

0 f (x ) exp (−ikx ) dx , k = −M, . . . , M si ha che

(39)

Supposto k = −M, . . . , M, da γk≈ 1 2M + 1 2M+1 X j =1 f  j · 2π 2M + 1  · exp  −ik · j 2π 2M + 1  . definiti Xj = 2M+11 f 2M+12π j (con j = 1, . . . , 2M + 1); γNUM k := P2M+1 j =1 Xj · exp  −ik2πj 2M+1  , abbiamo γk ≈ γNUMk , per k = −M, . . . , M.

(40)

L’algoritmo dellaFast Fourier Transform, sotto opportune condizioni, permette di calcolare i 2M + 1 coefficienti

γNUM

−M, . . . , γMNUM

non inO(M2) operazioni come farebbe un gi`a oculato algoritmo, bens`ı in soleO(M · log(M)).

Originariamente fu scoperto da Cooley-Tukey nel 1965 (anche se secondo alcuni era noto aGauss!).

IEEE Guest Editors’ Introduction: The Top 10 Algorithms.

(41)

Teorema (Polinomio trigonometrico interpolante, [1, p.179])

Se f : [0, 2π] → R `e continua e periodica, allora il polinomio trigonometrico pM(x ) = M X k=−M γNUM k · exp (ikx) dove γNUM k = 1 2M + 1 2M+1 X j =1 f  j · 2π 2M + 1  · exp  −ik · j 2π 2M + 1 

interpolala funzione ”f ” nei nodi equispaziati

xj = j ·

2M + 1 j = 1, . . . , 2M + 1.

(42)

Ci poniamo varie domande:

Quanto buona `e l’approssimazione fornita dal metodo dei trapezi, nel calcolo degli integrali?

Come decadono i coefficienti di Fourier (vedasi anche il Lemma di Lebesgue-Riemann)?

(43)

Definizione (Variazione limitata o rettificabile)

Una funzione f : [a, b] → R si dice a variazione limitata se

Tab(f ) = sup{ n

X

i =1

|f (ti) − f (ti −1)| : a = t0< t1< . . . < tn= b} < +∞.

La quantit´a Tab(f ) si chiama variazione. Esempi di funzioni a variazione limitata sono

Le funzioni L-lipschitziane su [a, b] in quanto facilmente Tab(f ) ≤ L · (b − a);

le funzioni di classe C1([a, b]) poich´e L-lipschitziane.

(44)

Di seguito denotiamo con

S (α) = {z = x + iy : −α < y < α}

la striscia aperta di semiampiezza α attorno all’asse reale del piano complesso. Teorema ( [10, p.561])

Se

f `e η ≥ 1 volte differenziabile, periodica,

f(η)`e periodica e avariazione limitataV in [0, 2π],

I (f )=R2π 0 f (x )dx ,IN(f )= π N(f (0) + f (2π)) + 2π N PN−1 j =2f (j 2π/N), |IN(f ) − I (f )| ≤ 4V Nη+1.

Se f `e analitica in S (α) con |f (t)| ≤ ˜M, allora |IN(f ) − I (f )| ≤

(45)

Teorema (Grandezza coeff. Fourier, [10, p.560])

Se f `e

f `e η ≥ 1 volte differenziabile, periodica,

f(η)`e periodica e a variazione limitata V in [0, 2π], allora

k| ≤ V 2π|k|η+1.

Se f `e analitica con |f (t)| ≤ ˜M nella striscia aperta di

semiampiezza α attorno all’asse reale del piano complesso, allora

k| ≤ ˜M · exp (−α|k|).

(46)

Teorema (Qualit`a approssimazione, [10, p.560])

Se f `e

f `e η ≥ 1 volte differenziabile, periodica,

f(η)`e periodica e a variazione limitata V in [0, 2π], allora la miglior approssimante fM(x ) = PM k=−Mγk · exp (ikx) in norma 2, il polinomio interpolante pM(x )= PM j =−Mγ NUM k · exp (ikx)

sono tali che

kf − fMk∞≤

V

πηMη, kf − pMk∞≤

(47)

K. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, Wiley, 1989.

K. Atkinson e W. Han, Theoretical Numerical Analysis. A Functional Analysis Framework, Springer, 2001. G. Dahlquist e A. Bjorck , Numerical methods, Dover, 2003.

P.J. Davis, Interpolation and Approximation, Dover, 1975. Encyclopedia of Math, (Orthogonal Series),

http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Orthogonal series. G. Gilardi Analisi Due, seconda edizione, McGraw-Hill, 1996. D.H. Griffel, Applied functional analysis, Dover publications, 2002.

A.N. Kolmogorov e S.V. Fomin, Introductory Real Analysis, Dover publications, 1970. A. Quarteroni, R. Sacco e F. Saleri Matematica Numerica, Springer, 1998.

G.B. Wright, M. Javed, H. Montanelli, L.N. Trefethen, Extension of Chebfun to periodic functions, SIAM J. Sci. Comp., 2015.

Wikipedia, (Fourier Series), http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier series.

Riferimenti

Documenti correlati

Ortogonalit`a e Indipendenza Lineare Per due vettori non nulli del piano, la pro- priet`a di essere fra loro ortogonali implica la propriet`a di essere fra loro

Altre informazioni possono essere ottenute contattando i docenti per posta elettronica agli indirizzi.

Nella ricerca dell’e- lemento di miglior approssimazione in spazi euclidei partiamo da un teorema in un sottospa- zio di dimensione finita.. Cominciamo introducendo una

Alla domanda su quali propriet`a abbia l’elemento di miglior approssimazione, e cosa bisogna assumere perch`e la serie di Fourier di f converga a f , risponde il seguente teorema,

un insieme numerabile di elementi linearmente indipendenti di uno spazio euclideo E?. non deve essere necessariamente fi- nito, come di solito viene spesso richiesto nell’algoritmo

Si dice

Poich`e esistono due sole distinte orientazioni su ogni spazio vettoriale V non nullo di dimensione finita su R, esistono quindi due distinte orientazioni su ogni spazio affine reale

Poich`e esistono due sole distinte orientazioni su ogni spazio vettoriale V non nullo di dimensione finita su R , esistono quindi due distinte orientazioni su ogni spazio affine reale