Alvise Sommariva
Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica
30 aprile 2021
Uno spazio vettoriale E dotato di un prodotto interno (·, ·) in R cio`e una funzione a valori in R definita sulle coppie x, y ∈ E con le seguenti propriet`a
1 (x , x ) ≥ 0 per ogni x ∈ E ; inoltre (x , x ) = 0 se e solo se
x = 0;
2 (x , y ) = (y , x ) per ogni x , y ∈ E ;
3 (λx , y ) = λ(x , y ) per ogni x , y ∈ E e λ ∈ R; 4 (x , y + z) = (x , y ) + (x , z) per ogni x , y , z ∈ E .
si dicespazio euclideoin R.
Definizione (Spazio euclideo (in C))
Uno spazio vettoriale E dotato di un prodotto interno (·, ·) in C, cio`e una funzione complessa definita su (x , y ) ∈ E × E tale che
1 (x , x ) ≥ 0 per ogni x ∈ E ; inoltre (x , x ) = 0 se e solo se
x = 0;
2 (x , y ) = (y , x ) per ogni x , y ∈ E ; 3 (λx , y ) = λ(x , y ) per ogni x , y ∈ E ; 4 (x , λy ) = λ(x , y ) per ogni x , y ∈ E ;
5 (x , y + z) = (x , y ) + (x , z) per ogni x , y , z ∈ E .
si dicespazio euclideoin C.
A partire dal prodotto interno si pu`o definire lo spazio normato (E , k · k2) ponendokf k2 =p(f , f ).
(x , y + z) = (x , y ) + (x , z), per ogni x , y , z ∈ E
necessariamente per ”m” finito
(x ,Pm
k=1yk) =
Pm
k=1(x , yk);
Vediamo alcuni esempi di spazi euclidei:
Rn dotato dell’usuale prodotto scalare, `e uno spazio euclideo;
se e1, . . . , en `e una base ortonormale, cio`e per cui
(φj, φk) = δj ,k (dove al solito δj ,k `e il delta di Kronecker),
allora ogni vettore x ∈ Rn si pu`o scrivere come
x =
n
X
k=1
cnen, ck = (x , ek).
Infatti, moltiplicando ambo i membri di x per ek si ha per la
bilinearit`a del prodotto scalare
(x , es) = n X k=1 cnen, es ! = n X k=1 cn(en, es) = cs(es, es) = cs.
lo spazio C ([a, b])delle funzioni continue nel compatto [a, b], dotato del prodotto scalare
(f , g ) = Z b
a
f (x )g (x ) dx
`
e uno spazio euclideo, cf. [8, p.145]. lo spazio L2
R([a, b]) lo spazio dellefunzioni misurabili
f : [a, b] → R con [a, b] compatto e tali che |f |2 sia integrabile (cf.[4, p.5]), dotato del prodotto scalare
(f , g ) = Z b
a
f (x )g (x ) dx
`
lo spazio L2
C([a, b]) lo spazio delle funzioni misurabili
f : [a, b] → C con [a, b] compatto e tali che |f |2 sia integrabile (cf.[4, p.5]) , dotato del prodotto scalare
(f , g ) = Z b
a
f (x )g (x ) dx
`
e uno spazio euclideo completo, cf. (cf.[4, p.5]).
Ricordiamo che se z = a + i · b allora z = a − i · b e z si chiama ilconiugiodi z.
Teorema (Pitagora)
Sia E uno spazio euclideo, e siano f , g ∈ E tali che (f , g ) = 0 (cio`e f e g sono ortogonali). Allora kf + g k22 = kf k22+ kg k22.
Dimostrazione.
Essendo (f , g ) = 0, dalla bilinearit`a del prodotto interno,
kf + g k22 = (f + g , f + g ) = (f , f ) + (g , f ) + (f , g ) + (g , g ) = (f , f ) + 0 + 0 + (g , g )
= kf k22+ kg k22
4
Notazione.
Denoteremo con < φk >k=1,...,N lo spazio vettoriale definito da
Teorema (Proiezione ortogonale)
Sia f ∈ E , E spazio euclideo in C e {φj}1,...,N ⊂ E un sistema finito di
elementi linearmente indipendenti. Alloraf∗=PN j =1c
∗
jφj, dove i coefficienti cj∗ verificano le cosidetteequazioni normali
N X k=1 (φj, φk)ck∗= (φj, f ), j = 1, . . . , N. `e tale che kf − f∗k2= min g ∈<φk>k=1,...,N kf − g k2.
La soluzione `e tale chef∗− f `e ortogonale a tutti i φk, con k = 1, . . . , N o equivalentemente
Dimostrazione.
Supponiamo che per un certo f∗ =P
1,...,Ncj∗φj si abbia che
f∗− f sia ortogonale a tutti i φk (e quindi a ogni loro
combinazione lineare).
Supponiamo f◦6= f∗ sia l’elemento di migliore approssimazione.
Allora, visto che f − f∗ `e ortogonale a f∗− f◦∈< φk >,
utilizzando il teorema di Pitagora
kf − f◦k22 = k(f − f∗) + (f∗− f◦)k22 = kf − f∗k2
2+ kf∗− f◦k22> kf − f∗k22 (2)
Di conseguenza se f∗ ∈< φk >k=1,...,N e f∗− f `e ortogonale a tutti
i φk allora f∗ `e la miglior approssimazione di f in < φk >k=1,...,N.
Rimane allora da mostrare che le condizioni di ortogonalit`a
N X j =1 cj∗φj− f , φk = 0, k = 1, . . . , N
sono soddisfatte per un qualche (unico!) c∗ = (cj)j =1,...,N.
Con qualche facile conto si vede che il problema `e equivalente alla esistenza della soluzione del sistema di equazioni normali
N
X
j =1
(φj, φk)cj∗= (f , φk), k = 1, . . . , N (3)
cio`e che la matrice G = (Gj ,k) = ((φj, φk)) `e non singolare.
Mostriamo che la matrice (di Gram) G `e hermitiana, cio`e G = G , definita positiva e quindi non singolare. Infatti gli autovalori di queste matrici sono tutti strettamente e quindi lo `e pure il loro prodotto che a sua volta `e esattamente il determinante.
Il fatto che siahermitiana `e di immediata verifica, poich`e Gj ,k = (φj, φk) = (φk, φj) = Gk,j.
Per mostrare che `edefinita positiva, basta vedere che se v = (vi) ∈ CN\{0}, Gj ,k = (φj, φk), allora vHGv > 0.
A tal proposito si osservi che vHGv ∈ Ressendo
Supponiamo sia v = (vj) ∈ CN\{0}, Gj ,k = (φj, φk). Allora, visto che 1 λ(u, v ) = (u, λv ), 2 λ(u, v ) = (λu, v ), 3 Pm k=1(x , yk) = (x ,Pmk=1yk), 4 Pm k=1(xk, y ) = (Pmk=1xk, y ), postou =P
jφjvj6= 0, visto che qualche vj6= 0, abbiamo
vHGv = X j vj X k Gj ,kvk= X j vj X k vk(φj, φk) (1) =X j vj X k (φj, vkφk) (3) = X j vj(φj, X k vkφk) (2) =X j (φjvj, X k φkvk) (4) = (X j φjvj, X k φkvk) = (u, u) = kuk22> 0.
Di conseguenza G `e definita positiva e quindi l’elemento di miglior
approssimazione f∗ esiste, `e unico e ha i coefficienti che risolvono le equazioni normali.
Nota.
Bisogna fare un po’ di attenzione al sistema da risolvere, qualora il prodotto scalare sia in C. La matrice di Gram G = (Gi ,j) = (φi, φj)C `e hermitiana e
quindi G = GH. Di conseguenza la k-sima equazione del sistema delle
equazioni normali X j (φj, φk)c ∗ j = (φk, f ), k = 1, . . . , N (4)
comporta che, supposto che b = (bk)k= (φk, f )C e c ∗
= (ck∗)ksiano vettori
riga, allora (4) si possa scrivere come c∗G = b. Osservato che (c∗)H, bH sono vettori colonna,
c∗G = b ⇔ (c∗G )H= bH⇔ GHc∗H = bH⇔ G c∗H= bH
Quindi si risolve Gu = bH e dalla soluzione u∗
Nota.
Osserviamo ora chese non si possiede una base ortogonale
{φk}k=1,...,N allora per ottenere l’elemento di miglior approssimazione, bisogna
calcolare i prodotti scalari (φj, φk) per j , k = 1, . . . , N;
calcolare i coefficienti bj = (φj, f ) per j , k = 1, . . . , N ;
risolvere numericamente X
j
(φj, φk)cj∗ = (φk, f ), k = 1, . . . , N. (5)
Sedisponiamo di una base ortogonale{φk}k=1,...,N si vede facilmente
chela soluzione del sistema delle equazioni normali N
X
j =1
(φj, φk)cj∗= (φk, f ), k = 1, . . . , N,
´e tale che i coefficienti di Fourier
ck∗= (φk, f ) (φk, φk)
k = 1, . . . , N,
la cui valutazione necessita il calcolo di 2N prodotti interni e N divisioni. Inoltre si noti che se la base {φk}k=1,...,N ´eortonormale, ovvero
Problema.
Sia E uno spazio euclideo.
Cosa ´e una base di E (si noti che E potrebbe non avere dimensione finita!)?
Data una definizione di base, cose serve richiedere ad E perch`e esista una base con cardinalit`a numerabile? Come ottenere basi ortonormali da una base arbitraria?
Definizione (Separabile, [8, p.48])
Uno spazio euclideo E si diceseparabile se e solo se contiene un sottinsieme S ⊆ E denso e numerabile.
Teorema
In uno spazio euclideo separabile esiste un sottinsieme {φk}k di
cardinalit`a finita o numerabile tale che se x ∈ E allora si pu`o scrivere formalmente
x =X
k∈N
ckφk
intendendo che limnkx −Pnk=0ckφkk2= 0;
Di seguito con la dicituraspazi euclidei, sottointenderemo che sono
separabili.
Vale il seguente teorema, basato sull’algoritmo diGram-Schmidt
(cf. [4, p.165]),
Teorema (Ortogonalizzazione)
Siano f1, . . . , fn, . . . un insieme numerabile di elementi linearmente
indipendentidi uno spazio euclideo E .
Allora E contiene un insieme di elementi {φk}k=1,...,n,... tale che
1 il sistema {φn} `e ortonormale (cio`e (φm, φn)=δm,n, dove δm,n
`
e il delta di Kronecker);
2 ogni elemento φn`e una combinazione lineare di f1, . . . , fn;
3 ogni elemento fn `e una combinazione lineare di φ1, . . . , φn.
Nota.
Si osservi che
l’insieme di partenza f1, . . . , fn, . . .non deve essere
necessariamente finito, come di solito viene spesso richiesto nell’algoritmo di ortogonalizzazione di matrici;
l’insieme φ1, . . . , φn, . . . non deve essere necessariamente
finito;
se lo spazio euclideo ha unabase numerabile formata da elementi linearmente indipendenti f1, . . . , fn, . . ., allora ha pure
Definizione (Serie di Fourier)
Se f ∈ E ,
ck = (f , φk), k = 1, 2, . . .
e {φk}k=1,...,∞ `e una successione di elementi ortonormali di E , la
serie (formale)
+∞
X
k=1
ckφk
`e chiamataserie di Fourier di f .
Definizione (Chiuso)
Sia
φ1, . . . , φn, . . .
una successione di elementi ortonormali di uno spazio vettoriale normato X . Se ogni elemento f ∈ X pu`o essere scritto
formalmente come serie di Fourier allora l’insieme {φk}k=1,..., si
dicechiusoin X .
Problema.
Teorema (Bessel-Parseval)
Sia φ1, . . . , φn, . . . una successione di elementi ortonormali di uno
spazio euclideo E e sia f ∈ E . Allora L’espressione kf − n X k=1 akφkk2 ha il minimo per ak = ck = (f , φk), k = 1, 2, . . . , n ed `e uguale a v u u tkf k2 2− n X k=1 ck2.
Vale ladisuguaglianza di Bessel
∞
X
k=1
ck2 ≤ kf k22.
Vale l’uguaglianza di Parseval
∞
X
k=1
ck2= kf k22
per ogni f ∈ E se e solo se l’insieme {φk}k=1,2,..., `e chiuso in
Nota.
Osserviamo che
la soluzione al problema di miglior appross. in norma k · k2
esiste ed `e unica: per ottenerla basta calcolare i coefficienti di Fourier.
se {ck}k=1,...,n determina l’elemento di miglior
approssimazione di f rispetto alla norma indotta dal prodotto scalare in Sn=< φ1, . . . , φn>, allora lim n kf − n X k=1 ckφkk2 = lim n v u u tkf k2 2− n X k=1 ck2 = 0
in virt`u dell’uguaglianza di Parseval.
Definizione (Polinomi trigonometrici)
Lo spazio vettoriale TR
n deipolinomi trigonometrici di grado n`e
costituito dalle combinazioni lineari delle funzioni
φ∗0(x ) ≡ 1
Osserviamo che per n = 1, 2, . . ., essendo per leformule di Werner
cos (nx ) · cos (mx ) = cos ((n + m)x ) + cos ((n − m)x )
2 (6) e Z π −π cos (kx )dx = 0, k 6= 0 2π, k = 0 (7)
applicando la formula di Werner nel primo e quarto punto sen > 0: Rπ −πcos2(nx ) dx = Rπ −π cos (2nx )+1 2 dx = π; sen > 0: Rπ −πsin 2(nx ) dx =Rπ −π(1 − cos2(nx )) dx = π; Rπ
−πcos (nx ) · sin (mx ) dx = 0, (integranda dispari);
Rπ
−πcos (nx ) · cos (mx ) dx = 0, m 6= n, (da (6) e (7)).
Inoltre per n = 1, 2, . . .,
SiaL2
R([−π, π])lo spazio delle funzioni misurabili f : [−π, π] → R e
tali che |f |2 sia integrabile (cf.[4, p.5]), dotato del prodotto scalare
(f , g ) =
Z π
−π
f (x )g (x ) dx
.
Si dimostra che le 2n + 1 funzioni
φ0(t) = 1/ √ 2π φ2k−1(t) = cos (kt)/ √ π, k = 1, . . . , n φ2k(t) = sin (kt)/ √ π, k = 1, . . . , n
formano una base ortonormale di TR
n dotato del prodotto
scalare di L2
R([a, b]).
Si vede che {φk}k∈N `e chiuso in L2
R([−π, π]) (cf. [4, p.267]).
Teorema ([4, p.267])
Consideriamo la successione di elementi ortonormali
1/ √
2π, . . . , cos (nt)/√π, sin (nt)/√π, . . .
di L2
R([−π, π]). Allora i coefficienti di Fourier che determinano
l’elemento di miglior approssimazione corrispondono a
Definizione (Polinomi trigonometrici complessi)
Lo spazio vettoriale TC
n deipolinomi trigonometrici complessi di
grado n`e costituito dalle combinazioni lineari delle funzioni
φ∗0(x ) ≡ 1
φ∗2k−1(x ) ≡ exp (−ikx), k = 1, . . . , n φ∗2k(x ) ≡ exp (ikx), k = 1, . . . , n
dove ”i ”, come al solito, `e la costante immaginaria.
La successione {φ∗k}k `e composta di elementi ortogonali di L2C([0, 2π]).
Dimostrazione.
Per j , k ∈ Z, dall’identit`a di Eulero exp(it) = cos(t) + i sin(t), per t = kx, exp (ikx ) = cos (kx ) + i sin (kx ) = cos (kx ) − i sin (kx ) = exp (−ikx ) e dal fatto che exp (imx ) · exp (inx ) = exp (i (m + n)x ) ricaviamo
Z 2π 0
exp (ijx ) · exp (ikx ) dx = Z2π
0
exp (i (j − k)x ) dx .
Sej = k tale integrale vale evidentemente 2π altrimenti, sej 6= k vale 0 in quanto per il teorema fondamentale del calcolo integrale
Z2π 0
exp (i (j − k)x ) dx = (exp (i (j − k)2π) − exp (i (j − k)0)) i (j − k)
= (cos((j − k)2π) + i sin((j − k)2π)) − 1
i (j − k) =
Poich`e {φ∗k}k∈N `e chiusa in L2C([0, 2π])(cf.[2, p.24-27])
Teorema
Consideriamo la successione di elementi ortonormali di L2C([0, 2π]) 1/√2π,
exp (−ikx )/√2π, k = 0, . . . , n exp (ikx )/√2π, k = 0, . . . , n
Allora i coeff. di Fourier dell’elemento di miglior appross. sono c0=√12π R2π 0 f (x ) dx ; c2k−1=√12π R2π 0 f (x ) exp (ikx ) dx , k = 1, 2, . . .; c2k = √12π R2π 0 f (x ) exp (−ikx ) dx , k = 1, 2, . . .; ed `e limkEk(f ) = 0.
Di solito non si usa per tali serie di Fourier la notazione introdotta, ma si preferisce descriverla come la serie bilatera
Si supponga che la funzione f ∈ L2
C([0, 2π]) sia
continua in [0, 2π],
periodica cio`e f (0) = f (2π).
Dalla teoria `e noto che possiamo scrivere formalmente
f (x ) = ∞ X k=−∞ 1 2π Z 2π 0 f (x ) exp (−ikx ) dx exp (ikx ). (10)
Usualmente non si calcola tutta la sommatoria ma si considera una sua approssimazione M X k=−M 1 2π Z 2π 0 f (x ) exp (−ikx ) dx exp (ikx )
per M sufficientemente grande.
Osserviamo che differentemente dalla classica interpolazione polinomiale in nodi generici, l’approssimante trigonometrica `e disponibile se siamo in grado di calcolare numericamente la quantit`a
Ik := 1 2π Z 2π 0 f (x ) exp (−ikx ) dx per k = −M, . . . , M.
Per funzioni continue e periodiche, si prova che `e una buona scelta utilizzare la formula deitrapezi composta([1, p.285-288])
Supponiamo g : [0, 2π] → R sia continua,
periodica, cio`e g (0) = g (2π).
Utilizzando la formula composta dei trapezi basata su M∗ intervalli equispaziati, posti xj = jh, j = 0, . . . , M∗, h = 2π/M∗ Z 2π 0 g (x )dx ≈ h 2(g (0) + g (2π)) + h M∗−1 X j =1 g (xj) = h · g (2π) + h M∗−1 X j =1 g (xj) = h M∗ X j =1 g (xj) = 2π M∗ M∗ X j =1 g (xj)
Cos`ı, per g continua e periodica in [0, 2π] Z 2π 0 g (x )dx ≈ 2π M∗ M∗ X j =1 g 2jπ M∗ . Supposto che
f sia continua e periodica in [0, 2π], g (x ) = f (x ) exp (−ikx ), k = −M, . . . , M, M∗ = 2M + 1
posto γk = 2π1
R2π
0 f (x ) exp (−ikx ) dx , k = −M, . . . , M si ha che
Supposto k = −M, . . . , M, da γk≈ 1 2M + 1 2M+1 X j =1 f j · 2π 2M + 1 · exp −ik · j 2π 2M + 1 . definiti Xj = 2M+11 f 2M+12π j (con j = 1, . . . , 2M + 1); γNUM k := P2M+1 j =1 Xj · exp −ik2πj 2M+1 , abbiamo γk ≈ γNUMk , per k = −M, . . . , M.
L’algoritmo dellaFast Fourier Transform, sotto opportune condizioni, permette di calcolare i 2M + 1 coefficienti
γNUM
−M, . . . , γMNUM
non inO(M2) operazioni come farebbe un gi`a oculato algoritmo, bens`ı in soleO(M · log(M)).
Originariamente fu scoperto da Cooley-Tukey nel 1965 (anche se secondo alcuni era noto aGauss!).
IEEE Guest Editors’ Introduction: The Top 10 Algorithms.
Teorema (Polinomio trigonometrico interpolante, [1, p.179])
Se f : [0, 2π] → R `e continua e periodica, allora il polinomio trigonometrico pM(x ) = M X k=−M γNUM k · exp (ikx) dove γNUM k = 1 2M + 1 2M+1 X j =1 f j · 2π 2M + 1 · exp −ik · j 2π 2M + 1
interpolala funzione ”f ” nei nodi equispaziati
xj = j ·
2π
2M + 1 j = 1, . . . , 2M + 1.
Ci poniamo varie domande:
Quanto buona `e l’approssimazione fornita dal metodo dei trapezi, nel calcolo degli integrali?
Come decadono i coefficienti di Fourier (vedasi anche il Lemma di Lebesgue-Riemann)?
Definizione (Variazione limitata o rettificabile)
Una funzione f : [a, b] → R si dice a variazione limitata se
Tab(f ) = sup{ n
X
i =1
|f (ti) − f (ti −1)| : a = t0< t1< . . . < tn= b} < +∞.
La quantit´a Tab(f ) si chiama variazione. Esempi di funzioni a variazione limitata sono
Le funzioni L-lipschitziane su [a, b] in quanto facilmente Tab(f ) ≤ L · (b − a);
le funzioni di classe C1([a, b]) poich´e L-lipschitziane.
Di seguito denotiamo con
S (α) = {z = x + iy : −α < y < α}
la striscia aperta di semiampiezza α attorno all’asse reale del piano complesso. Teorema ( [10, p.561])
Se
f `e η ≥ 1 volte differenziabile, periodica,
f(η)`e periodica e avariazione limitataV in [0, 2π],
I (f )=R2π 0 f (x )dx ,IN(f )= π N(f (0) + f (2π)) + 2π N PN−1 j =2f (j 2π/N), |IN(f ) − I (f )| ≤ 4V Nη+1.
Se f `e analitica in S (α) con |f (t)| ≤ ˜M, allora |IN(f ) − I (f )| ≤
Teorema (Grandezza coeff. Fourier, [10, p.560])
Se f `e
f `e η ≥ 1 volte differenziabile, periodica,
f(η)`e periodica e a variazione limitata V in [0, 2π], allora
|γk| ≤ V 2π|k|η+1.
Se f `e analitica con |f (t)| ≤ ˜M nella striscia aperta di
semiampiezza α attorno all’asse reale del piano complesso, allora
|γk| ≤ ˜M · exp (−α|k|).
Teorema (Qualit`a approssimazione, [10, p.560])
Se f `e
f `e η ≥ 1 volte differenziabile, periodica,
f(η)`e periodica e a variazione limitata V in [0, 2π], allora la miglior approssimante fM(x ) = PM k=−Mγk · exp (ikx) in norma 2, il polinomio interpolante pM(x )= PM j =−Mγ NUM k · exp (ikx)
sono tali che
kf − fMk∞≤
V
πηMη, kf − pMk∞≤
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