Appunti di Analisi Numerica
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Giuseppe Profiti
27 settembre 2006
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Argomenti del corso
• numeri finiti
• polinomi e interpolazione • equazioni non lineari • integrazione numerica • algebra lineare
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Numeri finiti
2.1
Numeri reali
Definizione 1 (di numero reale) Definiamo un numero reale come α= ±mβp
con m = mantissa, β = base, p = esponente. m := α1β −1 + α2β −2 + · · · = ∞ X i=1 αiβ −i con 0 ≤ αi ≤ β − 1 e α1 6= 0
Esempi
• β = 10 αi ∈ {0, . . . , 9}
• β = 2 αi ∈ {0, 2}
2.1.1 Modi di scrittura
1. Forma mista p zeri
dopo il punto α= ( ±(0.00 . . . 0α1α2. . .)β se p ≤ 0 ±(α1α2. . . αp.αp+1. . .)β se p > 0 2. Forma scientifica α = ±0.α1α2. . .× βp Esempi
Di seguito sono elencati un numero reale come da definizione, in forma mista e in forma scientifica. α = +(3 · 10−1 + 7 · 10−2 + 2 · 10−3 )10· 10 3 α = 372 oppure α= +372. α = +0.372 × 103 π = +(3 · 10−1 + 1 · 10−2 + 4 · 10−3 + · · ·)10· 10 1 π = +3.1415 . . . π = +0.31415 . . . × 101
Nota: gli interi sono un caso particolare dei reali. Nel calcolatore si rappresentano in modo diverso e si usano in modo diverso.
2.2
Numeri finiti
I numeri finiti sono composti da un numero finito di cifre e sono finiti e numerabili. Nei calcolatori si usano numeri finiti che approssimano i reali (ad esempio π).
´
Definizione 2 (di numero finito per troncamento) Definiamo un nu-mero finito, basato su un nunu-mero reale α ∈ ℜ
f l(α) =
(
0 · β0
se α = 0 ±mtβp se α 6= 0
Definizione 3 (mantissa troncata) Definiamo mantissa troncata compo-sta da t cifre mt:= t X i=1 αiβ −i con α1 6= 0
Se β `e pari `e possibile definire una mantissa arrotondata, che somma β2
alla (t+1)-esima cifra e poi tronca alla t-esima cifra. Esempio α = 0.271826 × 100 t = 5 0.271826 + 0.000005 0.271831 → 0.27183 Definizione 4 (di numero finito) Formalmente:
• Troncamento f lT(α) = ±( t X i=1 αiβ −i )βp • Arrotondamento f lA(α) = f lT "t+1 X i=1 αiβ −i +β 2β −t−1 # βp !
2.3
Intervalli reali e numeri finiti
Siano X e Y due numeri finiti consecutivi tali che X ≤ α < Y .
X = t X i=1 αiβ −i ! βp il troncato di α Y = t X αiβ −i + 1 · β−t !
f lT(α) = X f lA(α) = X se α < X+Y 2 Y se α ≥ X+Y 2 Esempio
Definizione 5 (insieme dei numeri finiti) Definiamo l’insieme dei nu-meri finiti come F (β, t, λ, ω), dove β `e la base, t il numero di cifre del troncamento, λ ≤ p ≤ ω il range dell’esponente.
Per avere un numero uguale di numeri positivi e numeri negativi si pu`o prendere λ = −ω.
2.4
Esercizi
1. Trovare il numero di elementi di F (β, t, λ, ω) 2. Determinare tutti i numeri di F (2, 3, −1, 2) 2.4.1 Soluzioni
1. permutazioni delle cifre (tranne la prima che non pu`o essere zero) per i possibili esponenti, pi`u lo zero
2 · (β − 1) · βt−1· (ω − λ + 1) + 1
±.101 ×21 ±.110 ×21 ±.111 ×21 ±.100 ×22 ±.101 ×22 ±.110 ×22 ±.111 ×22
Sono 33 elementi, ed in effetti dalla formula dell’esercizio 1 otteniamo 2 · (β − 1) · βt−1· (ω − λ + 1) + 1 =
= 2 · (2 − 1) · 23−1
