Onde di luce: da Maxwell a d'Alambert

Lezione 8 - L’equazione di Schr¨

odinger

Unit`

a 8.1 Onde di luce: da Maxwell a d’Alambert

Luca Salasnich

Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova

Le equazioni di Maxwell (I)

La luce `e un campo elettromagnetico caratterizzato dalla co-presenza di un campo elettrico E(r, t) e un campo magnetico B(r, t). La dinamica spazio-temporale di questi campi `e descritta dalle equazioni di James Clerk Maxwell1, date da

∇ · E = ρe ε , (1) ∇ · B = 0 , (2) ∇ ∧ E = −∂B ∂t , (3) ∇ ∧ B = µ je+ ε µ∂E ∂t , (4)

dove ρe(r, t) e je(r, t) sono rispettivamente la densita di carica elettrica e la densita superficiale di corrente elettrica nel punto r al tempo t. Inoltre, ε e µ sono rispettivamente la costante dielettrica e la permeabilit`a magnetica del mezzo.

1_{In effetti colui che scrisse le equazioni di Maxwell nella attuale forma compatta}

Le equazioni di Maxwell (II)

In assenza di cariche e correnti elettriche, cio`e assumendo che ρe(r, t) = 0 e je(r, t) = 0, e nel vuoto, cio`e con ε = ε0 e µ = µ0, le equazioni di Maxwell si semplificano e diventano

∇ · E = 0 , (5) ∇ · B = 0 , (6) ∇ ∧ E = −∂B ∂t , (7) ∇ ∧ B = ε0µ0∂E ∂t . (8)

Maxwell si accorse che

c = √1

ε0µ0 = 3 · 10

8_{m/s (9)}

Equazione di d’Alambert per le onde elettromagnetiche (I)

Dalle sue 4 equazioni, in assenza di cariche e correnti e nel vuoto, Maxwell ottenne le seguenti equazioni d’onda, di tipo d’Alambert, per il campo elettrico ed il campo magnatico

 1 c2 ∂2 ∂t2− ∇ 2  E(r, t) = 0 , (10)  1 c2 ∂2 ∂t2 − ∇ 2  B(r, t) = 0 , (11)

Le equazioni (10) e (11), che sono pienamente confermate dagli esperimenti, ammettono soluzioni di tipo onda piana monocromatica

E(r, t) = E0ei (k·r−ωt), (12)

B(r, t) = B0ei (k·r−ωt) , (13)

dove k `e il vettore d’onda e ω `e la frequenza angolare, tali che

ω = c k , (14)

Equazione di d’Alambert per le onde elettromagnetiche (II)

Dalle equazioni di Maxwell si trova che i vettori E and B sono ortogonali tra di loro e tali che

E0= c B0. (15)

In aggiunta, i vettori campo elettrico e campo magnetico sono campi trasversi, cio`e perpendicolari al vettore d’onda k, che definisce la direzione di propagazione dell’onda.

Per completezza, ricordiamo che la lunghezza d’onda λ `e data da λ = 2π

k , (16)

e che la frequenza lineare ν e la frequenza angolare ω = 2πν sono legate alla lunghezza d’onda λ e al numero d’onda k dalle formule

λ ν = ω

Derivazione della equazione di d’Alambert (I)

Vediamo ora come si ricava l’equazione di d’Alambert per il campo elettrico E a partire dalle equazioni di Maxwell in assenza di cariche e correnti elettriche e nel vuoto. Dalla terza equazione di Maxwell (legge di Faraday) ∇ ∧ E = −∂B ∂t , (18) si ha subito ∇ ∧ ∇ ∧ E = −∇ ∧∂B ∂t = − ∂ ∂t∇ ∧ B . (19)

Usando una identita fondamentale del calcolo differenziale vettoriale e la quarta equazione di Maxwell (legge di Ampere-Maxwell) si ottiene

∇ · (∇ · E) − ∇2E = −ε0µ0 ∂2

Derivazione della equazione di d’Alambert (II)

In definitiva, usando la prima equazione di Maxwell (legge di Gauss) ed il legame tra la velocit`a della luce c e le costanti ε0e µ0, si ricava

−∇2E + 1 c2

∂2

∂t2E = 0 , (21)

che `e proprio l’equazione di d’Alambert per il campo elettrico E. In maniera simile si puo ricavare l’equazione di d’Alambert per il campo magnetico B.