28 settembre 2009 2 ore

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INGEGNERIA AEROSPAZIALE A.A.2009/2010

CANALE L–Z

Analisi Matematica 1

DIARIO DELLE LEZIONI

Prof. Dario Salvitti

28 settembre 2009 _{2 ore}

Presentazione del corso. Insiemistica e notazioni della logica matematica. Operazioni tra insiemi e loro propriet` a.

Bibliografia : [1] Introduzione.

30 settembre 2009 _{2 ore}

Insiemi numerici N, Z, Q. Operazioni binarie. Ordinamenti totali. Propriet` a di Archimede. Q `e un campo ordinato archimedeo. Allineamenti decimali (cenni). L’insieme R dei numeri reali.

√ 2 ∈ Q. Intervalli limitati o illimitati. Maggioranti e mi- noranti di un insieme non vuoto A ⊆ R. Massimi e mini- mi. Definizione di estremo superiore e di estremo inferiore.

Esempi: (0, 1), (0, 1], {1/n | n ∈ N, n
1}.

Bibliografia : [1] §§1.1; 1.2; 1.2.1

1 ottobre 2009 _{2 ore}

Propriet` a di densit` a di Q e di R. Allineamenti decimali propri. Dimostrazione dell’identit` a p, α

1

. . . α

_n−1

α

_n

¯ 9 = p, α

₁

. . . α

_n−1

(α

n

+1). Unicit` a del massimo e del minimo. Un insieme non vuoto finito A ⊆ R ammette massimo e mini- mo. Caratterizzazione di sup e inf . Sup e inf dell’unione di due o pi` u insiemi. Sup ∅, inf ∅.

Esercizio svolto:

n, − 1

n + 1   n ∈ N, n
1  .

Esercizi assegnati:

− 1

n , − n + 1 n , − 3n

2

  n ∈ N, n
1 

; {0, α

1

α

2

. . . α

n

. . . | α

i

= 0 oppure 1}.

Bibliografia : [1] §§1.1; 1.2; 1.2.1

2 ottobre 2009 _{1 ora}

L’insieme C dei numeri complessi. Rappresentazione vetto- riale e interpretazione grafica delle operazioni di addizione e di moltiplicazione. Inverso, complesso coniugato, modulo, argomento di un numero complesso. Forma trigonometrica.

Bibliografia : [1] §§1.3

5 ottobre 2009 _{2 ore}

Propriet` a della coniugazione complessa. Formule per il cal- colo di |z

1

z

2

|,   z

1

z

2

 , arg z

1

z

2

, arg z

1

z

2

. Formula di De Moivre.

Metodo di derivazione delle formule di duplicazione e trip- licazione degli archi. La rappresentazione esponenziale.

Radici complesse e loro rappresentazione grafica.

Bibliografia : [1] §§1.3; 1.3.1

7 ottobre 2009 _{2 ore}

Radici ennesime dell’unit` a. Dimostrazione della formula per il calcolo delle radici complesse. Soluzioni complesse di un’e- quazione di 2

^◦

grado. Teorema fondamentale dell’algebra.

Polinomi a coefficienti reali. C non `e un campo ordinato.

Ordinamento lessicografico, ordinamento a spirale.

Esercizi svolti: ¯ zz

²

− Rez

²

+ z Imz = 0; z

³

+ |z|

²

= 0.

Bibliografia : [1] §§1.3.1; appunti.

8 ottobre 2009 _{2 ore}

Fattorizzazione in R di un polinomio a coefficienti reali.

Equazione complessa della circonferenza. Significato di z
0 negli ordinamenti lessicografico o a spirale.

Generalit` a sulle funzioni. Le funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. La funzione inversa.

Esercizi svolti: fattorizzazione di z

³

− 1. |¯z + 6/z| = 5.

Esercizi assegnati: fattorizzazione di z

³

+ 8, z

²

+ 4, z

⁴

+ 6.

Bibliografia : [1] §§1.3.1; appunti.

9 ottobre 2009 _{1 ora}

Restrizione di una funzione. Composizione di applicazioni e sue propriet` a. Inverse a sinistra, inverse a destra. Condizioni equivalenti per l’iniettivit` a o per la suriettivit` a.

Esercizio assegnato:

f : N → N, f(x) :=

 x/2 se x `e pari x + 1

2 se x `e dispari

Bibliografia : [1] §§2.1; 2.4; appunti.

12 ottobre 2009 _{2 ore}

Inclusioni X ⊂ f

⁻¹

(f (X)), Y ⊃ f(f

⁻¹

(Y )). Propriet` a del prodotto operatorio. Invertibilit` a nel caso di insiemi finiti.

La funzione parte intera [x]. Se g ◦ f `e biunivoca, allora f

` e iniettiva e g ` e suriettiva. Il grafico ed il dominio di una funzione f : R → R. Le potenze a

^b

, b ∈ R. La funzione potenza f (x) = x

ⁿ

, n ∈ N.

Esercizio assegnato:

f : Z → Z, f(x) :=

 x + 3 se 3 divide x x se 3 non divide x

Bibliografia : [1] §§2.4; 3.1.1; appunti.

14 ottobre 2009 _{2 ore}

Traduzione grafica dei concetti di dominio, immagine,

iniettivit` a, suriettivit` a. Funzioni pari, dispari e relative sim-

metrie del grafico. Costruzione della funzione inversa. Le

funzioni f (x) = x

^1/n

, n ∈ N. La funzione esponenziale

f(x) = a

^x

nei casi 0 < a < 1, a > 1. La funzione logar-

itmo f (x) = log

_a

x nei casi 0 < a < 1, a > 1. Propriet`a dei

logaritmi.

Bibliografia : [1] §§2.1; 2.5; 3.1; 3.1.2

15 ottobre 2009 _{2 ore}

La funzione f (x) = x

⁻ⁿ

, n ∈ N, n
1. Il valore assoluto.

La disuguaglianza triangolare. Dimostrazione della disug- uaglianza ||x| − |y||  |x − y|. Le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente, arcoseno, arcocoseno, arcotangente.

Determinazione del dominio di una funzione.

Bibliografia : [1] §§2.1; 2.5.1;

16 ottobre 2009 _{1 ora}

Grafici delle funzioni parte intera f (x) = [x] e mantissa f(x) = x − [x]. Dal grafico della funzione y = f(x) al grafico delle funzioni f (x −a), f(x)+b, f(µx), νf(x), f(|x|), |f(x)|.

Bibliografia : [1] §§ 3.1; 3.2

19 ottobre 2009 _{3 ore}

Dal grafico della funzione y = f (x) al grafico delle funzioni

 f(x), [f(x)]

²

. Risoluzione grafica delle disequazioni.

Funzioni crescenti, decrescenti, monotone. La monoto- nia stretta implica l’invertibilit` a. Somma e composizione di funzioni (strettamente) monotone sono (strettamente) monotone.

La distanza euclidea. Intorni sferici di un punto. Famiglie di intorni e sue propriet` a. R come spazio metrico e come spazio topologico. Propriet` a di separazione. Insiemi limitati nella metrica euclidea.

Massimi e minimi locali (forti) di una funzione. Am- pliamento di R. Intorni di {+∞} e di {−∞}. Punti di accumulazione.

Bibliografia : [1] §§ 3.2; 3.3; 4.1

21 ottobre 2009 _{2 ore}

Punti isolati. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Propriet` a valide definitivamente. Definizione topologica di limite e sua traduzione metrica nei singoli casi. Verifica del limite di una funzione. Unicit` a del limite. Limiti destro e sinistro.

Bibliografia : [1] §§ 4.1; 4.2

22 ottobre 2009 _{2 ore}

Una funzione convergente ` e definitivamente limitata. Teore- ma della permanenza del segno. Algebra dei limiti e prime applicazioni alle funzioni razionali. Teorema del confronto e sue applicazioni al caso di rapporto tra una funzione limitata ed una divergente. Limite di polinomi.

Bibliografia : [1] §§ 4.3

26 ottobre 2009 _{3 ore}

Forme indeterminate ∞ − ∞, 0 · ∞, 0 0 , ∞

∞ . Estensione del- l’algebra dei limiti. Limiti di funzioni razionali e di fun-

zioni irrazionali. Esistenza del limite per funzioni monotone e sue conseguenze: limiti di funzioni potenze, esponenziali, logaritmi, goniometriche.

Bibliografia : [1] §§ 4.3

28 ottobre 2009 _{2 ore}

Limite di funzioni composte e cambiamento di vari- abile. Forme indeterminate 0

⁰

, 1

^∞

, ∞

⁰

. La forma 0

^∞

non ` e una forma indeterminata. Forme indeterminate log

₁

1, log

₀

0 log

_∞

∞ log

0

∞, log

_∞

0.

Il limite notevole lim

x→0

sinx

x e sue conseguenze lim

x→0

arcsinx

x ,

x→0

lim tg x

x , lim

x→0

arctg x x , lim

x→0

1 − cosx x

²

= 1

2 . Esercizio riepilogativo svolto:

x→0

lim

⁺

1 − cos(x arctg ( √ x − 1)) sin x arcsin x

Bibliografia : [1] §§ 4.3; 4.4

30 ottobre 2009 _{1 ora}

Gerarchie di infiniti e infinitesimi. Limiti con potenze, esponenziali e logaritmi.

Bibliografia : [1] §§ 4.4

2 novembre 2009 _{3 ore}

Successioni convergenti, divergenti, irregolari. Teoremi del- la permanenza del segno e del confronto. Una succesione convergente ` e limitata. Limiti di successioni definitivamente monot` one. Limite di a

ⁿ

, a ∈ R. Gerarchie di infiniti. Il fattoriale. lim

n→+∞

a

ⁿ

n! = 0 . lim

n→+∞

n!

n

ⁿ

= 0 . Il numero e. Limiti notevoli lim

n→+∞

n log  1 + 1

n



= 1,

n→+∞

lim n 

e

^1/n

− 1 

= 1 . Formula di Stirling.

Sottosuccessioni. Una successione ammette limite l ∈ R

^∗

se e solo se qualunque sua sottosuccessione ha limite l. Una successione in R limitata ammette una sottosuccessione con- vergente. Successioni di Cauchy. Una successione in R `e convergente se e solo se ` e di Cauchy.

Bibliografia : [1] §§ 5.1; 5.2; 5.3; 5.4

4 novembre 2009 _{3 ore}

La derivata. Significato geometrico e limite del rap- porto incrementale. Le derivate delle funzioni elemen- tari x

^α

, e

^x

, ln x, sin x, cos x, tgx, f(x)

^g(x)

. Operazioni con le derivate. Derivata di funzioni composte e della funzione inversa.

Teorema ponte. Generalizzazione di alcuni limiti notevoli di successioni.

Bibliografia : [1] §§ 6.3; 8.1, 8.3; 8.4

5 novembre 2009 _{2 ore} Limiti lim

x→±∞

 1 + 1

x



_x

= e, lim

x→0

(1 + x)

^1/x

= e, lim

x→0

log(1 + x)

x =

1 , lim

x→0

e

^x

− 1

x = 1 , lim

x→0

a

^x

− 1

x = ln a, lim

x→0

(1 + x)

^α

− 1

x = α.

Generalizzazione al caso di successioni x = a

n

→ 0.

Prima regola di Cesaro.

Esercizio svolto: dimostrare che esiste finito il seguente limite

n→+∞

lim

 1

n + 1 + 1

n + 2 + · · · + 1 2n



Bibliografia : [1] §§ 6.2; appunti.

9 novembre 2009 _{3 ore}

Seconda regola di Cesaro. Teoremi delle medie aritmetiche e geometriche. lim

n→+∞



n

β

n

= lim

n→+∞

β

n

β

n−1

. Se lim

n→+∞

β

n

β

n−1

< 1, allora lim

n→+∞

β

n

= 0.

Gerarchia degli infiniti come conseguenza delle regole di Cesaro. lim

n→+∞

 1 + 1

a

n



_bn

= e

^{limn→+∞bn/an}

. Alcuni degli esercizi svolti:

n→+∞

lim

n

1 · 3 · 5 · · · (2n + 1)

n! = 2

n→+∞

lim 1 + √

2 + √

³

3 + · · · + √

ⁿ

n

n = 1

n→+∞

lim

 n

²

+ 1 n

²

− 1



_2n²

= e

⁴

n→+∞

lim

 1 + 1

n



1+1/2+···+1/n log n

= 1

Notazione o(1). Confronto tra infinitesimi e tra infiniti.

Esercizi assegnati:

 Dimostrare che non esiste

n→+∞

lim

(n+1)1 ²

sin

^(n+1)π₂

−

_n¹2

sin

^nπ₂

n+11

−

_n¹

.

 Dimostrare:

a) lim

n→+∞

na

ⁿ

= 0, |a| < 1.

b) lim

n→+∞

a

ⁿ

n! = 0, a ∈ R.

Bibliografia : [1] §§ 6.1; [7] §§25; appunti.

11 novembre 2009 _{2 ore}

Simboli di Landau. Ordini di infinitesimo e di infinito rispet- to alle funzioni campione |x − x

0

|, 1

|x − x

0

| . Algebra degli o piccolo ed applicazione alla dimostrazione del limite notevole

x→0

lim

(1 + x)

^α

− 1

x .

Le funzioni iperboliche cosh x, sinh x.

Asintoti orizzontali, verticali, obliqui.

Bibliografia : [1] §§ 6.1; 6.2.1; 6.4

13 novembre 2009 _{3 ore}

Equivalenza asintotica ∼ di infinitesimi e di infiniti. Funzioni tghx, settsinhx, settcoshx.

Funzioni continue (continue da destra, da sinistra). Algebra delle funzioni continue. Composizione di funzioni continue.

Classificazione dei punti di discontinuit` a.

Bibliografia : [1] §§ 6.2; 7.1; 7.2

16 novembre 2009 _{3 ore}

Discontinuit` a di una funzione monot` ona su un intervallo.

Teoremi sulle funzioni continue: della permanenza del segno;

dell’esistenza degli zeri; dei valori intermedi. Ricerca delle soluzioni di un’equazione e metodo grafico. Una funzione continua e invertibile su un intervallo ` e ivi monot` ona stretta.

Una funzione invertibile e continua su un intervallo ammette inversa continua. Teorema di Weierstrass.

Bibliografia : [1] §§ 7.1; 7.2; 7.3; 7.4; 7.5

18 novembre 2009 _{3 ore}

Funzioni lipschitziane. Funzioni uniformemente continue.

La lipschitzianit` a implica l’uniforme continuit` a, ma non vale il viceversa. Teorema di Heine-Cantor. Dimostrazione del teorema di esistenza degli zeri.

Bibliografia : [1] §§ 7.3; 7.6

19 novembre 2009 _{2 ore}

Migliore approssimazione lineare. Crescenza e decrescenza locale. Relazione tra continuit` a e derivabilit` a. Derivate de- stra e sinistra. Punti a tangente verticale, punti angolosi, cuspidi.

Bibliografia : [1] §§ 8.1; 8.2

20 novembre 2009 _{1 ora}

Massimi e minimi locali. Teorema di Fermat. Ricerca degli estremanti di una funzione. Teoremi di Rolle e Lagrange.

Bibliografia : [1] §§ 8.6; 8.7

23 novembre 2009 _{3 ore}

Dimostrazione dei teoremi di Rolle e di Lagrange. Teorema di Cauchy. Teorema di monotonia. Dimostrazioni di alcune diseguaglianze e della lipschitzianit` a di alcune funzioni con il teorema del valor medio.

Condizione sufficiente per la determinazione della natura dei punti critici: il segno della derivata. Teorema di Darboux.

Estensione del teorema di Rolle. Estensione del teorema di Cauchy (teorema di Peano).

Il teorema di De L’Hˆ opital.

Bibliografia : [1] §§ 8.7: 8.7.1; 8.7.2; appunti

25 novembre 2009 _{2 ore}

Applicazione del teorema di De L’Hˆ opital a forme indeter- minate qualunque. Calcolo di f (x

0

) come lim

x→x0

f(x). Casi di non applicabilit` a del teorema di De L’Hˆ opital. Esempio in cui il teorema di De L’Hˆ opital ` e applicabile ma risulta inefficace.

Bibliografia : [1] §§ 8.7.2; appunti

26 novembre 2009 _{2 ore}

Concavit` a del grafico. Funzioni (strettamente) con- vesse/concave. Convessit` a e derivata seconda. Punti di flesso. Determinazione della natura di un punto critico tramite le derivate successive. Controesempio:

f(x) :=

 e

^−1/x2

se x = 0

0 se x = 0

Esercizio svolto: studio della funzione f (x) = x −  x

²

− 1 Bibliografia : [1] §§ 8.8; 8.9; 8.10; 8.12

27 novembre 2009 _{1 ora} Studio della funzione f (x) = log

 1 + cos x

| sin x|



Bibliografia : [1] §§ 8.10

30 novembre 2009 _{4 ore}

Notazioni: sommatorie e loro propriet` a; polinomi di centro x

0

e calcolo delle loro derivate di ordine j.

Polinomi di Taylor. Teorema di Peano. Sviluppi di MacLau- rin delle funzioni e

^x

, log(1 + x), sin x, cos x. Propriet`a dei polinomi T

n

[f, x

0

]. Polinomio di MacLaurin della funzione f(x) = 1

1 + x come derivata del polinomio di MacLaurin della funzione f (x) = log(1 + x). Applicazione al calcolo di limiti di funzioni.

Bibliografia : [1] §§ 8.11; 8.12.1

2 dicembre 2009 _{3 ore}

Sviluppo di MacLaurin di (1+x)

^α

. Applicazione degli svilup- pi di Taylor al calcolo di limiti di funzioni della forma f(x)

^g(x)

, e nel caso x → ±∞. Approssimazione di funzioni con polinomi di Taylor. Formula del resto di Lagrage. Stime dell’errore dell’approssimazione, ricerca del polinomio di gra- do minimo approssimante a meno di un errore prefissato, calcolo approssimato di valori numerici (esempi: √

³

e, sin 1).

Bibliografia : [1] §§ 8.11; 8.13

9 dicembre 2009 _{2 ore}

Applicazione degli sviluppi di Taylor alla dimostrazione di disuguaglianze particolari. Le classi di funzioni C

^k

([a, b]), k ∈ N, e C

^∞

([a, b]). Resto nelle forme di:

Schl¨ omilch-Roche, Cauchy, Lagrange, Peano.

Integrali di funzioni non negative continue su un intervallo chiuso e limitato [a, b] come limite di somme R

n^ext

approssi- manti per eccesso o di somme R

n^int

approssimanti per difet- to. Le successioni approssimanti sono monotone limitate.

La differenza R

n^ext

− R

n^int

tende a zero quando n → +∞.

Bibliografia : [1] §§ 9.1; 9.2

11 dicembre 2009 _{3 ore}

Somme integrali. Funzioni integrabili secondo Riemann. Le funzioni continue sono integrabili. La funzione di Dirich- let ` e limitata ma non integrabile secondo Riemann. Propri- et` a dell’integrale definito: linearit` a, positivit` a, monotonia, disuguaglianza del modulo, scomposizione del dominio di in- tegrazione. Teorema della media integrale. Funzioni inte- grali. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di una funzione continua definite su un intervallo. L’insieme delle primitive di una funzione differiscono tra loro per una costante. L’integrale indefinito di f (x) come controimmag- ine dell’operatore derivazione. Calcolo degli integrali definiti tramite una qualunque primitiva. Alcuni integrali immediati.

Integrazione per scomposizione.

Bibliografia : [1] §§ 9.1; 9.2; 9.3; 9.4; 9.4.1

14 dicembre 2009 _{2 ore}

Integrazione per sostituzione. Calcolo dell’area di regioni delimitate dai grafici di due funzioni. Sostituzioni tramite funzioni goniometriche o iperboliche. Integrazione per parti.

Esercizi.

Bibliografia : [1] §§ 9.5

16 dicembre 2009 _{2 ore}

Integrazione di funzioni razionali per denominatori di grado due nei tre casi ∆  0. Caso generale. Scomposizione di Hermite. Metodo diretto (dei logaritmi e arcotangenti).

Bibliografia : [1] §§ 9.5

17 dicembre 2009 _{2 ore}

Serie numeriche convergenti, divergenti, indeterminate. Se- rie geometrica e di Mengoli. Serie a termini positivi. Criterio del confronto. La serie esponenziale. Maggioranti e mino- ranti definitivi. Massimo e minimo limite. Una successione {a

n

}

_n∈N

ha limite L se e solo se lim sup

n→∞

a

_n

= lim inf

n→∞

a

_n

. Se la successione {a

n

}

n∈N

` e limitata, allora lim sup

h→∞

a

h

=

n∈N

inf sup

k
n

a

k

, lim inf

h→∞

a

h

= sup

n∈N

inf

k
n

a

k

. Caratterizzazione del massimo e minimo limite. Criterio di convergenza di Cauchy per le serie. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. La serie armonica ` e divergente. Criterio della radice e del rapporto e loro traduzione in termini di lim sup

h→∞

a

_n

e di lim inf

h→∞

a

_n

. Criterio di condensazione. Convergenza della

serie armonica generalizzata e della serie di Abel.

Bibliografia : [1] §§ 5.7; 5.8; 5.8.2; 5.8.3; [5] §§ 2.5; 2.6;

2.10; 2.12; 2.14; appunti

18 dicembre 2009 _{1 ora}

Serie assolutamente convergenti. La convergenza assoluta implica la convergenza. Il viceversa ` e falso. Serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz.

Bibliografia : [1] §§ 5.7; 5.8; 5.8.2; 5.8.3; [5] §§ 2.15;

appunti

21 dicembre 2009 _{3 ore}

Dimostrazione del criterio di Leibniz. Stima del resto di una serie a termini di segno alterno. Una serie a termini di segno alterno non decrescenti in valore assoluto ` e inde- terminata. Criterio asintotico: formulazione in termini di disuguaglianze ed in termini di limiti. Estensione al caso di successioni non confrontabili. Riformulazioni in termini della serie (di riferimento) armonica generalizzata.

Studio della convergenza della serie

∞ n=2

log n

n

^α

, α > 0, con il criterio asintotico o con le propriet` a dei logaritmi.

Criterio della convergenza della primitiva e sua appli- cazione allo studio della convergenza della serie armonica generalizzata e della serie

∞ n=2

1 n log n .

Esercizi sulle serie.

 Calcolo della somma di

^∞

n=1

(−1) 2

ⁿ

n

²

n

a meno di 10

⁻²

.

 Studio della convergenza della serie

^∞

n=1

e

⁻ⁿ

|x + 3|

n

n

.

 (Per casa) Dimostrare che la convergenza delle serie

∞

n=1

a

²_n

,

∞ n=1

b

²_n

implica la convergenza di

∞ n=1

a

n

b

n

.

Bibliografia : [1] §§ 5.9; [5] §§ 2.15; appunti

22 dicembre 2009 _{2 ore}

Criteri di convergenza di Kummer, di Raabe, di Gauss.

La serie ipergeometrica

∞

n=1

α(α + 1) · · · (α + n − 1)β(β + 1) · · · (β + n − 1) n! γ(γ + 1) · · · (γ + n − 1) x

ⁿ

.

Somma e differenza di due serie. La serie prodotto.

Bibliografia :[1] §§ Appendice 5.A; appunti

23 dicembre 2009 _{3 ore}

Convergenza semplice e convergenza assoluta della serie prodotto (teoremi di Mertens e di Abel). Calcolo delle serie prodotto

∞ n=1

(−1) n

n−1

∗ ∞

m=1

(−1)^m−1 log(m + 1)

 ,

∞ n=1

(−1) n

n−1

∗ ∞

m=1

(−1) m

m−1

Formula di Brunacci-Abel. Criteri di convergenza di Dedekind e di Abel. Riordinamento dei termini di una se- rie. Il riordinamento di una serie assolutamente convergente

` e assolutamente convergente ed ha la stessa somma. Calcolo della somma e riordinamento della serie convergente

∞ n=1

( −1) n

n−1

= log 2.

La costante di Eulero-Mascheroni. Comportamento asintoti- co delle somme parziali della serie armonica. Se una se- rie a

n

converge ma non converge assolutamente, per ogni L ∈ R

^∗

esiste un suo riordinamento α

n

tale che α

n

=

L ed esiste un suo riordinamento β

n

tale che β

n

` e indeterminata (cenni della dimostrazione).

rrrrrrrs

Cenni sulla serie di Taylor.

¹

Bibliografia : [1] §§ 5.11; 5.8.3; [5] §§ 2.16; appunti

Riferimenti bibliografici

[1] M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, McGraw- Hill

[2] R. A. Adams, Calcolo differenziale 1, Casa Editrice Ambrosiana

[3] P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica uno, Liguori Editore

[4] M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli

[5] E. Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri [6] E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi

Matematica, volume primo, Bollati Boringhieri [7] J. P. Cecconi, G. Stampacchia, Analisi Matematica,

1

^◦

volume, Liguori Editore

Programma d’esame

Le proposizioni dimostrate durante il corso sono riportate in corsivo. Le dimostrazioni che potrebbero essere oggetto del- la prova teorica sono quelle riportate in rosso. E inte- ` so che tutte le definizioni e propriet` a riportate nel diario del corso possono essere argomento dell’esame teorico anche quando di esse non ` e richiesta la dimostrazione. Analogamente per tutti i metodi o tecniche di risoluzione, il cui utilizzo potrebbe es- sere richiesto esplicitamente nella risoluzione degli esercizi della prova pratica o nei quesiti della prova teorica.

1

La serie di Taylor non ` e argomento d’esame