Prova Scritta di Probabilit`a e Statistica - 12.01.2016

Universit` a degli Studi di Brescia

Prova Scritta di Probabilit` a e Statistica - 12.01.2016

Cognome e Nome . . . . C. d. L.: . . . . Anno di Corso: 1 2 3 altro

Matricola . . . Firma . . . FILA 1

Istruzioni

1. SCRIVERE cognome e nome (in stampatello), numero di matricola e firmare.

2. SCRIVERE la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.

3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla fine di ogni quesito.

4. PROIBITO usare libri, quaderni, telefoni cellulari.

5. CONSEGNARE questo foglio e tutti i fogli di protocollo.

6. TEMPO a disposizione: 120 min.

7. AMMISSIONE alla prova orale con PUNTI 18.

Quesito C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 QT1 QT2 TOT

Punti

(C1) Data una variabile casuale binomiale X di media 3 e varianza 2 calcolare la probabilit` a che X sia uguale a 7.

[punti 4]

C1

(C2) In una popolazione il 30% degli individui presenta una certa caratteristica A che manca invece ai re- stanti individui. Sapendo che nel gruppo degli individui con la caratteristica A l’80% presenta anche una caratteristica B, mentre nel gruppo di individui senza la caratteristica A solo il 20% possiede la caratteristica B, determinare la probabilit` a che un individuo estratto in modo casuale dalla popolazione presenti la caratteristica B.

[punti 4]

C2

(C3) L’altezza media di un gruppo di 20.000 individui ` e distribuita normalmente con media µ = 170 cm e con deviazione standard σ = 10 cm. Determinare quante persone sono alte almeno 2 metri.

[punti 4]

C3

(C4) Da un’urna contenente 20 palline bianche e 10 palline nere si estraggono senza reimmissione 5 palline.

Calcolare la probabilit` a di ottenere 3 palline bianche e 2 palline nere.

[punti 4]

C4

Probabilit` a e Statistica - 12.01.2016 - FILA 1

Universit` a degli Studi di Brescia

(C5) Sia X una variabile casuale di Poisson con media µ = 100. Calcolare il limite inferiore alla probabilit` a P [75 < X < 125].

[punti 4]

C5

(C6) Sia X

, ..., X

un campione casuale di dimensione n estratto da una popolazione con distribuzione ret- tangolare uniforme sull’intervallo [a, 2a]. Calcolare l’errore quadratico medio dello stimatore ˆ a, ottenuto col metodo dei momenti, del parametro a.

[punti 4]

C6

(C7) Si ritiene che i tempi di reazione ad un certo stimolo siano distribuiti normalmente con media µ. Di seguito sono riportati i tempi di reazione, espressi in secondi, di un campione casuale:

0.2 0.4 0.2 0.6 0.1

Se σ

non ` e nota, si determini la lunghezza dell’intervallo di confidenza bilaterale per la media µ al 90%.

[punti 4]

C7

Quesito Teorico 1

Dare la definizione di deviazione standard di una variabile casuale continua X.

[punti 2]

Quesito Teorico 2

Siano A, B e C tre eventi indipendenti. Dimostrare che

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) · P (B) · P (C) + P (B) · P (C) + P (C).

[punti 2]

Probabilit` a e Statistica - 12.01.2016 - FILA 1